第六讲 无源网络综合

第六讲 无源网络综合
一、基本概念
1.电路综合是电路分析的逆过程——已知数学模型建立电路模型 数学模型：端口的VCR 、网络函数、状态—输出方程
电路模型：⎩⎨
⎧（含有源元件）、运放、电流模放大器
、有源网络，、变压器、、无源网络，C R C L R 2.电路设计步骤
(1) 按给定要求，确定一个可实现的逼近函数（数学模型） ①给定技术要求
时域： 时延，超调，速度，峰值，持续时间，周期
频域：通频带，截止频率，谐振频率，通、阻带衰减，品质因数，相移 ②理想函数 理想特性许多无法实现，无过渡带
δ
p
s
p1p2s1s2
p 1p 2
s1s2
③可实现的逼近函数
网络函数必须是物理可实现的，因而要满足因果性和稳定性。

因为实际器件：X C =
C
ω1
， X L =ωL ，它们是连续、随频率渐变的，所以用R 、L 、C 无法实现频带陡变。

可实现的网络函数只能是逼近理想，无法实现理想。

满足条件：⎪⎩
⎪
⎨
⎧=为有理多项式：可以实现的应具有形如尽量逼近理想
)()
()( s D s N s H 巴特沃思型 N
c
j H 22
)(11
|)(|ωω
ω+=
切比雪夫型Ⅰ、Ⅱ型 )(11
|)(|222
c
n C j H ωωεω+=
其中 ⎩⎨⎧>
≤=--1|| ),( 1
|| ),cos cos()(1
1x x nch ch x x n x C n 椭圆型 ）（ωεω2
22
11
|)(|n
R j H +=
（2）根据网络函数，确定可实现的电路（不唯一）
KVL ∑=k
u
u 串联电路模型、二端网络最简为戴维宁电路
KCL ∑=
k
i
i 并联电路模型、二端网络最简为诺顿电路
例：等效电路、去耦、s 域模型等
今天的任务：给定一个满足某些特性的H (s )，寻找几个可实现的无源电路。

（3）设计：选择一种对某种设计准则来讲是最佳的实现
设计准则：⎩⎨⎧，简单性电气：可靠性，灵敏度
量经济：成本，尺寸，重
二、给定驱动点函数
⎭⎬⎫)()(s Y s Z H (s )=
)
())(()
())(()()(2121n n m m p s p s p s b z s z s z s a s D s N ------=
例如:
驱动点导纳
转移导纳
（一） 驱动点函数的一般特性
1、正实函数
当s 是实数时，H (s )是实数（即多项式系数是实的） 当σ≥0时, R e [H (s )] ≥ 0
2、无源网络的驱动点函数一定是正实的，正实函数可以看作无源网络的驱动点函数。

3、正实函数含义：
（1）是具有实系数的s 的有理函数（对应元件参数为R 、L 、C ）
（2）极点和零点不能位于s 平面的右半部 （稳定，可利用霍尔维茨判据） （3）在虚轴上的极点和零点不能是重的 （稳定）
(S U s ()
R s 2
()(1)()()
11S S U s RCs I s U s RLCs Ls R R sC sL R sC
+==++++
12
()1
()()S I s RCs H s U s RLCs Ls R
+==++21
()1()()1R S I s sC I s U s RLCs Ls R R
sC ==+++22()1()()R S I s H s U s RLCs Ls R ==++
（4）分子和分母的次数差不大于1，即|m-n|≤1 (驱动点函数特点) （5）对所有s =j ω，只能有非负的实部 （无源性，正弦作用下，
0)Re()Re(>==G
Y R Z ）
例： Z 1(s )=)16)(4()
9)(1(2222++++s s s s s =s
s s s s 64209103524++++ 无损，特征根无实部
Z 2(s )=)4)(2(3)
(s 1)(s ++++s s s =s
s s 863)4s (s 2
32++++ 有损 （二） LC （无损）驱动点函数的特性与实现
1、特性
（1）全部极点和零点在s 平面的虚轴上，共轭成对 （2）极零点沿虚轴交错排列
（3）s =0，s =∞是极限频率 （极点或零点） （4）全部留数为正实的
可分解成部分分式，每项共轭复根 2
2
2i
i i s As
j s A j s A ωωω+=++-* A 为正实，故A=A ＊
2、福斯特实现（Foster ） Ⅰ型（驱动点阻抗） Z LC (s )=
)
)...()(())...()((2
2
2
42
2
22
2
2232212n m s s s s s s s K ωωωωωω++++++
=s C 01 +∑=+n i i i s s K 偶数22ω=s C 01
+∑=+n
i i i
s
L s C 偶数1 注：若分子高一阶，先提出一个电感（为零的零点）L 0s ，成真分式后再分解。

分子提出一个s 后，剩下的分子降2次 第1项或是极点或是零点
0C 2C 4
C n
L 2L 4
L
福斯特Ⅰ型
Ⅱ型（驱动点导纳） Y LC (s )=
)
)...()(())...()((2
2
2
32
2
12
2
2242222n m s s s s s s Ks ωωωω
ωω++++++
σ
=s C ∞ +
∑
=+n
i i
i s s K 奇数
2
2
ω=C s ∞ +
∑
=+
n
i i i s
C s L 奇数
1
注：若分母高一阶，先提出一个电感
s
L 01
，为零的极点
福斯特Ⅱ型
例：Z (s )=16)
( 4)()
9)(1(2222++++s s s s s
解：Ⅰ型 Z (s )= s 649 +41652+s s +166435
2+s s
=s
91
+s s 6415161++s s 1024
135641+
Ⅱ型Y (s )=s +18452
+s s +
98352+s s =s +s s 84514581++s s 72
3513581
+
3、考尔实现（Cauer ）
Ⅰ型 分子高出分母一阶（m-n =1） H (s )=
)
)...()(())...()((2
2
2
32
2
12
2
2242222n m s s s s s s Ks ωωωωωω++++++=K 1s +
s
K s K s K n 1
1
1
32+++
①若H (s )=Z (s ) 则K 1=L 1，K 2=C 2，串电感，并电容… ②若H (s )=Y (s ) 则K 1=C 1，K 2=L 2 ， 并电容,串电感… Ⅱ型 分母高出分子一阶（n-m=1）
F 16
H (s )=
)
)...()(())...()((2
2
2
42
2
22
2
2232212n m s s s s s s s K ωωωωωω++++++
=
s K 1+
s
K s
s
s
K n 1
11432
++
①若H (s )=Z (s ) 则
11K =C 1 21K =L 2 串电容，并电感… ②若H (s )=Y (s ) 则
11K =L 1 2
1K =C 2 并电感,串电容… 例：Z(s )=16)
(s 4)s(s )
9)(1(2
222++++s s =s s s s s 64209103524++++ Ⅰ型 m-n =1 在s =∞极点展开(多项式按降幂排列)
Y (s )=)(1
s Z =91064202
435++++s s s s s =s +s s s s 91709192011011+
++
245.5s s + s s 20103+
35s 35/5.495.42s s +
5.42s
9 Ⅱ型 n-m =1 在s =0极点展开(多项式按升幂排列)
Z (s )=+=++++s s s s s s 1406.020641095
342s s s s 1
904.81+++
9/70H 1/10H 1F
20/9F 35/9F 7.11F
1.72F
0.11H
0.02H
3.61F
64209103524s s s s s s ++++s s s 91035++ 64
910920641
4
253-++++s s s s s s 4264
9641809s s ++
115
64
16)2064()645516115(142311-⨯+++s s s s s s s s
s ) 23
17664(2
+
s s 55103
+
10/9
1024s s s ++95.42+s
5.4/1055103
s s
s +
)23
284(3s s s + 4544
2645)64
5516115(1
2-+s s s s s )4544
264516115(2+ )
1136
315(s s 7245
322624)23
284(1
2-+s s s )s 23
284(
s
2
LC 电路在低频时要求大电感，实际有损，体积大，成本高
(三) RC
1、特点
①零极点均为单阶，负实
②零极点在负实轴交替
③Z (
s )=)()
(s D s N D N d d ≤ ⎩
⎨⎧=-∞==-∞=可提取一个常数不是零点，可提取一个是零点，,0,1N D N D d d s s d d s
Y (s )=
)
(1
s
Z ④Z (s )全部留数为正实，Y (s )有限极点留数为负实
2、福斯特实现方法举例
例： Z (s )=
)
4)(2()
3)(1(++++s s s s s
Ⅰ型(阻抗
)
Z (s )=3
32381841381483241
83++++=++++s s s s s s
Ⅱ型 (导纳)
Y (s )=s +s
s s s s
s s 62132321321123++++=+++
3、考尔实现方法举例 分子阶高（导纳），Ⅰ型，在s =∞极点展开； 分母阶高（阻抗），Ⅱ型，在s =0极点展开；
σ
σ
ω
j 4F
F s s s s 2773.011136315111363152
==
同阶，Ⅰ型，Ⅱ型均可。

上例： Z (s )=s
s s s s 863
4232++++
Ⅰ型 (按降幂排列)
Y (s )=3486223++++s s s s s =s +s
s 3
11234121
+++
Ⅱ型 (按升幂排列)
Z (s )=3226843s s s s s ++++=s s s 44
1
21968881732183++
++
RC 无源实现）
关键点：把实现转移函数的问题转化为实现驱动点函数的问题 1、传输零点：H (s )=0的s 的作用 （只有电容可以）
①使串联支路的阻抗无穷大
∞→sC 1
开路 则0=K s 考尔Ⅱ型 ②使并联支路的阻抗为零 01
→sC
短路 则∞=K s 考尔Ⅰ型 2、电压转移函数与驱动点函数的关系(无端接)
+1
U +2
H (s )=12U U =212111222121I Z I Z I Z I Z ++=1121Z Z =)()(s B s A =)
(s B Ks m
n 阶
①m =0 全部传输零点在s =∞处 lim H (s )=lim n
m
s
Ks =0 (s ∞→) 对应：Z 11应采用考尔Ⅰ型实现（并电容） 低通滤波
②m=n 全部传输零点在s =0处 lim H (s )=lim 0
b Ks m
=0 (s →0)
Ω3Ω1F 44F 88
F 8
对应：Z 11应采用考尔Ⅱ型实现（串电容） 高通滤波
③0<m <n m 个传输零点在s =0处，用考尔Ⅱ型实现
n-m 个传输零点在s =∞处，用考尔Ⅰ型实现 带通或带阻滤波
3、驱动点函数Z 11特性
1121Z Z =)
()()()
(11112121s d s n s d s n =)()()()(21111121s d s n s d s n −−−−→−=)()(2111s d s d 令)()(1121s n s n =)
(s B Ks m
①Z 11(s )的分子由B (s )给出，n 11(s )=B (s )，Z 11(s )零点是H (s )极点
②Z 11(s )的极点是单阶，负实，且与B (s )的根相互交错，且离原点最近的是极点 ③Z 11(s )的分母多项式，阶次取为n ，与B (s )同阶（可节省一个元件）
例1：H (s )=12U U =)4)(2(1++s s = )()(11
21s Z s Z 全传输零点为∞，并电容，考尔Ⅰ型
取Z 11(s )=
)3)(1()4)(2(++++s s s s =11
11
d n 原则：同阶，零极点交错，极点小
Z 21(s )=
)3)(1(1
++s s =11
21d n 这里 d 11=d 21
由此得到了转移函数必为H (s ) 用考尔Ⅰ型实现Z 11(s )
Z 11(s )=348622++++s s s s =1+311231
34121+++
s s
例2：H (s )=
12U
=)4)(2(++s s = )
()1121s Z s 全部传输零点为0，串电容， 取Z 11(s )=)3)(1()4)(2(++++s s s s Z 21(s )=)
3)(1(2
++s s s
用考尔Ⅱ型实现Z 11(s)
-
-
+
1
U
+
2
U Ω
1Ω4
Z 11(s )=224368s s s s ++++=4412196888173281
++
+
+
s s
梯形 ⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧无损有损LC RC
格型 全通滤波器
达林顿型 有端接二端口网络
参考文献：
模拟与数字滤波器设计与实现 人民邮电出版社（美）哈里
思考题与习题
已知驱动点函数s
s s s s s Z 41041
810)(3524++++=，
试用福斯特型Ⅰ、Ⅱ型，考尔Ⅰ型、Ⅱ型实现之。

F
7F 21U 2
U +-
+
-。