高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程(教学用书)教案 1数学教案

2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的
概念．(重点)
2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)
3．明确p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
1．通过抛物线定义的学习，培养
数学抽象核心素养．
2．通过抛物线定义及标准方程的
应用，培养学生的直观想象、数
学建模等核心素养．
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
思考1：抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么点的轨迹是什么？
[提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 2．抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y 2＝2px (p >0) F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2
y 2＝－2px (p >0)
F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0
x ＝p 2
x 2＝2py (p >0)
F ⎝⎛⎭
⎫0，p 2 y ＝－p 2
x 2＝－2py (p >0)
F ⎝
⎛⎭⎫0，－p 2
y ＝p
2
思考2：(1)抛物线方程中p (p >0)的几何意义是什么？ (2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？ [提示] (1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)根据抛物线方程中一次式±2px ，±2py 来确定焦点位置，“x ，y ”表示焦点在x 轴或y 轴上，系数“±2p ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．
1．抛物线x 2
＋8y ＝0的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(0,4)
D ．(0，－4)
B [抛物线x 2＝－8y 的焦点在y 轴的负半轴上，且p
2＝2，因此
焦点坐标是(0，－2)．]
2．抛物线y 2
＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
C [由y 2
＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4．] 3．抛物线x ＝4y 2
的准线方程是( ) A ．y ＝12
B ．y ＝－1
C ．x ＝－1
16
D ．x ＝1
8
C [由x ＝4y 2
得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－1
16
．]
4．抛物线y 2
＝－12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
(－6,62)或(－6，－62) [由y 2
＝－12x 知p ＝6，准
线方程为x ＝3，设抛物线上点P (x ，y )，由抛物线定义可知－x ＋3＝9，x ＝－6，将x ＝－6代入y 2
＝－12x ，得y ＝±62，所以满足条件的点为(－6,62)或(－6，－62)．]
求抛物线的标准方程
【例1】 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝2
3
；
(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；
(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． 思路探究：(1)(2)
(3)
(4)写出焦点坐标→
[解] (1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝2
3，则p ＝
43，所以所求抛物线的标准方程为x 2
＝－83
y ． (2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2
＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛
物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2
＝－10y ．
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为
y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．
若抛物线的标准方程为y 2
＝－2px (p >0)，则由(－1)2
＝－2p ×(－3)，解得p ＝16
；
若抛物线的标准方程为x 2
＝－2py (p >0)，则由(－3)2
＝－2p ×(－1)，解得p ＝9
2
．
∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13
x 或x 2
＝－9y ．
(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4，
∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，p
2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程
为x 2
＝－12y ；
当焦点为(4,0)时，p
2
＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为
y 2＝16x ．
∴所求抛物线的标准方程为x 2
＝－12y 或y 2
＝16x ． 1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系．
(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2
＝ny ，这样可以减少讨论情况的个数．
(3)注意p 与p
2的几何意义．
[跟进训练]
1．若抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p
＝1的一个焦
点，则p ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
[答案] D
抛物线的定义的应用
线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程；
(2)已知抛物线y 2
＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标；
(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2
＋(y ＋3)2
＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．
思路探究：(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m 和准线方程．
(2)利用抛物线的定义，把|PF |转化为到准线的距离． (3)利用|MC |的长度比点M 到直线y ＝2的距离大1求解． [解] (1)设所求抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)，由p
2
＋3＝5得
p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝
24得m ＝±26．
(2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ， 则|PA |＋|PF |
＝|PA |＋|PN |≥|AB |，
当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5． 此时y P ＝2，
代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．
(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，
则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2
＝－12y ．
抛物线定义的两种应用 1
实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到
焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
2
解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离
和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
[跟进训练]
2．(1)已知点P 是抛物线y 2
＝2x 上的一个动点，则点P 到点
A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A ．172
B ．3
C ． 5
D ．92
A [由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，
∴点P 到准线x ＝－1
2的距离d ＝|PF |，
易知点A (0,2)在抛物线y 2
＝2x 的外部， 连接AF ，交y 2
＝2x 于点P ′，
欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线， ∴其最小值为 |AF |＝
⎝
⎛⎭⎪
⎫0－122
＋2－0
2
＝17
2
．]
(2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0的距离比它到y 轴的距
离大1
2
．求点M 的轨迹方程．
[解] 由于位于y 轴右侧的动点M 到
F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0的距离比它到y
轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－1
2的
距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2
＝2px (p >0)的形式，而p
2＝
12
，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2
＝2x (x ≠0)．
抛物线的实际应用
[
已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？ [提示] 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．
【例3】 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高3
4米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
思路探究：建系→设方程→解方程→求出相关量→ 解决问题
[解] 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝8
5，∴抛物线方程
为x 2
＝－16
5
y ．
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22
＝－165y A ，得y A ＝－5
4
．
又知船露出水面上部分为3
4米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，
则h ＝|y A |＋3
4＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船
不能通航．
求抛物线实际应用的五个步骤 1建立适当的坐标系.
2设出合适的抛物线标准方程. 3通过计算求出抛物线的标准方程. 4求出需要求出的量.
5
还原到实际问题中，从而解决实际问题.
[跟进训练]
3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中
央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解]如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－1
50
x2．
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－1
50
×82＝－1．28，
即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1．28)，此时B点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝
mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m 4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为
F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p 2
． 3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54
x 0，则x 0等于( ) A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 A [∵14＋x 0＝54
x 0，∴x 0＝1．] 2．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22
＝1的一个焦点重合，则m 的值为________．
12 [将抛物线y ＝mx 2(m >0)的方程化为标准方程是x 2＝1m y ，所
以其焦点是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m ，因为抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22
＝1的一个焦点重合，因此94－2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14m 2，解得m ＝12．] 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．
4 [把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4．]
4．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x －5y －36＝0上的抛物线方程．
[解] 因为焦点在直线3x －5y －36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以焦点
A 的坐标为(12,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－365． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，求得p ＝24，所以此抛物线方
程为y 2
＝48x ；
设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，求得p ＝725， 所以此抛物线方程为x 2
＝－1445y ． 综上所求抛物线方程为y 2＝48x 或x 2＝－1445y ．。