2016-2017年山东省东营市广饶县英才学校七年级(下)期中数学试卷(五四学制)(解析版)

2016-2017学年山东省东营市广饶县英才学校七年级（下）期中
数学试卷（五四学制）
一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中二次根式的个数有（）
①﹣②③④⑤π
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列各式与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各式是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
4．（3分）计算得（）
A．7﹣4B．C．D．17
5．（3分）下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A．2，3，4B．3，4，5C．6，8，12
D．
6．（3分）一个直角三角形的两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为（）A．5cm B．4cm C．cm D．5cm 或cm 7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）
A．8B．9C．10D．11
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE 的长是（）
A．2B．3C．4D．5
9．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是（）
A．OA=OC，AD∥BC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．AB=DC，AD=BC D．∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO 10．（3分）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）
A．9B．10C．D．
二、填空题：（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）计算：=．
12．（3分）已知二次根式，则a的取值范围是．
13．（3分）+|b﹣4|=0，则=．
14．（3分）如图，一场大风后，一棵大树在高于地面1米处折断，大树顶部落在距离大树底部3米处的地面上，那么树高是．
15．（3分）在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，则EF=．
16．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为．
17．（3分）在▱ABCD中，边AB=3，对角线AC=2，BD=4，则▱ABCD的面积等于．
18．（3分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA6的长度为．
三、简答题：
19．（20分）计算题
（1）
（2）（）×
（3）（）（）﹣（）2
（4）．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=．（1）求∠BAD、∠BCD的度数．
（2）求四边形ABCD的面积．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，且满足BF=DE，连接AE、CE、AF、CF．求证：四边形AECF为平行四边形．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC．求证：∠BAC=∠BFC．
23．（8分）池塘边有一根芦苇，如图（1），B点离岸的距离BD=2米，芦苇上的一个节C离水面的距离BC=0.5米．将芦苇杆拉到岸边，C正好与D重合，如图（2）．求水深AB为多少米．
24．（12分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
2016-2017学年山东省东营市广饶县英才学校七年级（下）
期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中二次根式的个数有（）
①﹣②③④⑤π
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次根式的定义：是二次根式，可得答案．
【解答】解：①﹣，是二次根式，
故选：B．
2．（3分）下列各式与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】先化简各二次根式，然后找出化简后被开方数为3的二次根式即可．【解答】解：A、为最简二次根式，与不是同类二次根式；、
B、=2，与不是同类二次根式；
C、是最简二次根式，与不是同类二次根式；
D、=2，与是同类二次根式．
故选：D．
3．（3分）下列各式是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A不符合题意；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含分母，故D不符合题意；
故选：B．
4．（3分）计算得（）
A．7﹣4B．C．D．17
【分析】先计算根号内的乘方与乘法运算，然后进行减法运算即可．
【解答】解：原式=
=．
故选：B．
5．（3分）下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A．2，3，4B．3，4，5C．6，8，12
D．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；
C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
6．（3分）一个直角三角形的两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为（）A．5cm B．4cm C．cm D．5cm 或cm 【分析】题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为cm；
故直角三角形的第三边应该为5cm或cm．
故选：D．
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）
A．8B．9C．10D．11
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴BO==5，
∴BD=2BO=10，
故选：C．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE 的长是（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得BC=AD=6，CD=AB=4，AD∥BC，得∠ADE=∠DEC，又由DE平分∠ADC，可得∠CDE=∠DEC，根据等角对等边，可得EC=CD=4，所以求得BE=BC﹣EC=2．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，CD=AB=4，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴EC=CD=4，
∴BE=BC﹣EC=2．
故选：A．
9．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是（）
A．OA=OC，AD∥BC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．AB=DC，AD=BC D．∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO 【分析】平行四边形的性质有①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别平行的四边形是平行四边形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△BOC和△DOA中
，
∴△BOC≌△DOA（AAS），
∴BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
D、由∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO，
无法得出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
故选：D．
10．（3分）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）
A．9B．10C．D．
【分析】将长方体展开，得到两种不同的方案，利用勾股定理分别求出AB的长，最短者即为所求．
【解答】解：如图（1），AB==；
如图（2），AB===10．
故选B．
二、填空题：（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）计算：=﹣．
【分析】先化成最简二次根式，再合并即可．
【解答】解：原式=﹣2
=﹣，
故答案为：．
12．（3分）已知二次根式，则a的取值范围是a．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2a﹣1≥0，
∴a≥
故答案为：a
13．（3分）+|b﹣4|=0，则=2．
【分析】根据非负数的性质列出算式求出a、b的值，根据算术平方根的概念解答即可．
【解答】解：由题意得，a﹣1=0，b﹣4=0，
解得，a=1，b=4，
则=2，
故答案为：2．
14．（3分）如图，一场大风后，一棵大树在高于地面1米处折断，大树顶部落在距离大树底部3米处的地面上，那么树高是（+1）米．
【分析】首先根据勾股定理求得折断的树高，继而即可求出折断前的树高．【解答】解：根据勾股定理可知：折断的树高==米，
则这棵大树折断前的树高=（1+）米．
故答案为（+1）米
15．（3分）在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，则EF=3．【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．
【解答】解：
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC=×6=3，
故答案为：3．
16．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为3．
【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
=S△COF，
∴S
△AOE
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
S△BCD=BC×CD=×2×3=3．
故答案为：3．
17．（3分）在▱ABCD中，边AB=3，对角线AC=2，BD=4，则▱ABCD的面积等于4．
【分析】设▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，由AC，BD的长易求得OA与OB的长，又由勾股定理的逆定理，证得AC⊥BD，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=2，BD=4，
∴OA=OC=AC=，OB=OD=2，
∵AB=3，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，且∠AOB=90°，
即AC⊥BD，
∴▱ABCD面积为：BD•AC=4×2=4．
故答案为：4．
18．（3分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA6的长度为8．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
【解答】解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，
∴AA1=OA=1，OA1=OA=；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5=OA4=4，OA5=OA4=4．
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6=OA5=4，OA6=OA5=8．
故答案为：8．
三、简答题：
19．（20分）计算题
（1）
（2）（）×
（3）（）（）﹣（）2
（4）．
【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的加减运算法则计算；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算；
（3）利用平方差公式、完全平方公式计算；
（4）根据二次根式的性质、二次根式的加减运算法则计算．
【解答】解：（1）
=﹣3﹣+2+
=﹣+；
（2）（）×
=2××
=；
（3）（）（）﹣（）2
=7﹣5﹣3﹣6﹣18
=﹣19﹣5；
（4）
=2a+a﹣2+
=3a﹣．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=．（1）求∠BAD、∠BCD的度数．
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠DAC=∠ACD=45°，AC2=AD2+CD2=2×6=12．AC=2，由勾股定理的逆定理证出∠BAC=90°．证出∠ACB=30°，即可得出所求；
（2）四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，代入计算即可．
【解答】解：（1）连接AC，如图所示：
∵CD=AD=，∠D=90°，
∴∠DAC=∠ACD=45°，AC2=AD2+CD2=2×6=12．AC=2，
在△ABC中，∵AB2+BC2=22+12=16=AC2，
∴∠BAC=90°．
∵BC=2AB，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+45°=135°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=30°+45°=75°；（2）四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积×2×2+××=2+3．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，且满足BF=DE，连接AE、CE、AF、CF．求证：四边形AECF为平行四边形．
【分析】连接AC交BD于O，因为▱ABCD，所以OA=OC，OB=OD，再得出BE=DF，所以OE=OF，根据平行四边形的判定可知：四边形AECF为平行四边形．【解答】证明：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BF=DE，
∴BF﹣EF=DE﹣EF，
∴BE=DF，
∴OA=OC，OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC．求证：∠BAC=∠BFC．
【分析】根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，得出∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，由AAS证明△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF，证出四边形ABFC是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
在△BAE和△CFE中，，
∴△BAE≌△CFE，
∴AB=CF，
又∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴∠BAC=∠BFC．
23．（8分）池塘边有一根芦苇，如图（1），B点离岸的距离BD=2米，芦苇上的一个节C离水面的距离BC=0.5米．将芦苇杆拉到岸边，C正好与D重合，如图（2）．求水深AB为多少米．
【分析】先设水深为x，则AB=DE=x，求出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵先设水深为x，则AB=DE=x，
∵BC=0.5米，
∴AC=（x+0.5）米．
∵BD=2米，
∴AE=2米，
在△ACE中，AE2+CE2=AC2，即22+x2=（x+0.5）2，解得x=3.75（米）．
答：水深AB为3.75米．
24．（12分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF==13，
∴OC=EF=6.5；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．。