2020年甘肃省嘉峪关市数学高二第二学期期末经典试题含解析

2020年甘肃省嘉峪关市数学高二第二学期期末经典试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，用6种不同的颜色把图中A B C D
、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）
A．496种B．480种C．460种D．400种
2．在掷一枚图钉的随机试验中，令
1,
0, X
⎧=⎨
⎩
针尖向上
针尖向下
，若随机变量X的分布列如下：
X0 1
P0.3 p
则EX=（）
A．0.21 B．0.3 C．0.5 D．0.7
3．如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2
条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )
A．6,8 B．6,6 C．5,2 D．6,2
4．学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：
不关注关注总计
男生30 15 45
女生45 10 55
总计75 25 100
根据表中数据，通过计算统计量
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，并参考以下临界数据：
()
2
P K k
>0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0
k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828 若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（）
A ．0.10
B ．0.05
C ．0.025
D ．0.01
5．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:
得到正确结论是( )
A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”
6．已知集合{
A x y ==，{}
B x x a =≥，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(],3-∞-
B ．(),3-∞-
C ．(],0-∞
D ．[
)3,+∞
7．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18
B ．200
C ．2800
D ．33600
8．一元二次不等式()()120x x -+<的解集为（ ）
A ．2{1}x x x ｜
＜-或＞ B ．1{2}x x x ｜
＜-或＞ C ．21{}x x ｜
-＜＜ D ．21{}x x ｜
-＜＜ 9．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则 A ．i S ∈
B ．2i S ∈
C ．3i S ∈
D ．
2
S i
∈ 10．由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22
221(0)y x x b c +=≤合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中
2
2
2
a b c =+，0a b c >>>．由右椭圆22221(0)x y x a b
+=≥的焦点0F 和左椭圆22
221(0)y x x b c +=≤的焦点
1F ，2F 确定012F F F △叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆
22
221(0)x y x a b
+=≥的离心率为（ ）
A ．
23
B 3
C ．
23
D ．
13
11．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4
5
，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．
16
625
B ．
96625
C ．192
625
D ．256625
12．命题:p 若0x <，则ln(1)0x +<，q 是p 的逆命题，则（ ） A ．p 真，q 真
B ．p 真，q 假
C ．p 假，q 真
D ．p 假，q 假
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是1{3
x t y t =+=-（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C
截得的弦长为____________． 14．设集合A ＝1|
2164x x N ⎧
⎫
∈≤≤⎨⎬⎩⎭
，B ＝{x|y ＝ln(x 2－3x)}，则A∩B 中元素的个数是________. 15．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．
16．在平面直角坐标系xoy 中，已知点M 是椭圆C ：2
214
x
y +=上第一象限的点，O 为坐标原点，A ，
B 分别为椭圆
C 的右顶点和上顶点，则四边形OAMB 的面积的最大值为__________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知集合{}{}
015,12A x kx B x x =≤+≤=-≤≤. （1）当1k =时，求集合A ；
（2）当0k ≤时，若A B B =I ，求实数k 的取值范围.
18．（1）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？ （2）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？ 19．（6分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，
90ADC ∠=o ，1
12
BC CD AD ==
=，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．
(Ⅰ)求证：//
PA平面BEF；
(Ⅱ)若PE EC
=，求二面角F BE A
--的余弦值．
20．（6分）某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
分类
积极参加
班级工作
不太主动参
加班级工作
总计
学习积极性高18 7 25
学习积极性一般 6 19 25
总计24 26 50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关，并说明理由．21．（6分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，梯形面积为S.
（1）当1
r=，
3
2
CD=时，求梯形ABCD的周长(精确到0.001)；
（2）记2
CD x
=，求面积S以x为自变量的函数解析式()
S f x
=，并写出其定义域.
22．（8分）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y与x之间具有线性相关关系．
（1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程； （2）试估计这家面馆第6天的营业额． 附：回归直线方程y bx a =+中，
1
1
2
22
1
1
()()
()n
n
i
i i i
i i n
n
i
i
i i x
x y y x y
nx y
b x
x x
nx ====---⋅=
=
--∑∑∑∑　
，a y bx =-．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】
分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C 63C 31C 21，用四种颜色涂色时，有C 64C 41C 31A 22种结果，根据分类计数原理得到结果． 详解：由题意知本题是一个分类计数问题， 只用三种颜色涂色时，有C 63C 31C 21=120（种）． 用四种颜色涂色时，有C 64C 41C 31A 22=360（种）． 综上得不同的涂法共有480种． 故选：C ．
点睛：本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看出给图形涂色只有两种不同的情况，颜色的选择和颜色的排列比较简单． 2．D 【解析】 【分析】
先由概率和为1，求出p ，然后即可算出EX 【详解】
因为0.31p +=，所以0.7p = 所以00.310.70.7EX =⨯+⨯= 故选：D 【点睛】
本题考查的是离散型随机变量的分布列的性质及求由分布列求期望，较简单. 3．A 【解析】 【分析】
根据题意，应用乘原理，即可求解甲地经乙地到丙地的走法的种数，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的种数. 【详解】
由题意，从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得，共有23=6⨯种； 再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有628+=种走法，故选：A. 【点睛】
本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题，其中正确理解题意，合理选择计数原理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 4．A 【解析】 因为()
()()()()
()2
2
2
10030101545=
3.030 2.70645255575
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=
≈>++++⨯⨯⨯,所以若由此认为“学
生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过0.10，故选A. 【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.
独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式
()
()()()()
2
2n ad bc K a b a d a c b d -=
++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.
（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 5．B 【解析】 【分析】
通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 【详解】
解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题. 6．A 【解析】
由已知得[]3,3A =-，由A B A =I ，则A B ⊆，又[
),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A.
7．C 【解析】 【分析】
根据组合定义以及分布计数原理列式求解. 【详解】
从5种主料中选2种，有2
510C =种方法, 从8种辅料中选3种，有3
856C =种方法,
根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为10565=2800⨯⨯，选C. 【点睛】
求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 8．C 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案． 【详解】
由题意，不等式(1)(2)0x x -+<，即1020x x ->⎧⎨
+<⎩或10
20
x x -<⎧⎨+>⎩，解得21x -<<，
即不等式(1)(2)0x x -+<的解集为{|21}x x -<<，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 9．B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由21i =-可得，2i S ∈，i S ∉，3i i S =-∉，2
2i S i
=-∉. 考点：复数的计算，元素与集合的关系. 10．B 【解析】 【分析】
根据“果圆”关于x 轴对称，可得012F F F △是以1F 2F 为底的等腰三角形，由012F F F △是直角三角形，得出
10290F F F ∠=︒，01
F O FO =.再建立关于a ，b ，c 之间的关系式，求出结果. 【详解】
解：连接01F F ，02F F ，根据“果圆”关于x 轴对称， 可得012F F F △是以1F 2F 为底的等腰三角形，
Q 012F F F △是直角三角形，
∴10290F F F ∠=︒，01
F O FO =. 又Q 0F O 和1
FO 分别是椭圆22221(0)x y x a b
+=≥和 22
221(0)y x
x b c +=≤的半焦距，
∴c =222c b c =-. Q 222b a c =-，∴2222c a c =-.
即223c a =，∴3
c e a ==
. 故选：B. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题. 11．B 【解析】 【详解】
解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，
()222
4441962()()55625
P C ==
故选B ． 12．C 【解析】
由题意，ln(1)0x +<，所以011x <+<，得10x -<<， 所以命题p 为假命题，
又因为q 是p 的逆命题，所以命题q ：若ln(1)0x +<，则0x <为真命题，故选C. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．
【解析】
分析：先求出直线的普通方程，再求出圆的直角坐标方程，再利用公式求直线被圆C 截得的弦长. 详解：由题意得直线l 的方程为x-y-4=0,圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4.
则圆心到直线的距离
=，故弦长
==故答案为
.
点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的弦长的计算，意在考查学生对这些问题的掌握水平.(2)
求直线被圆截得的弦长常用公式l =14．1. 【解析】 【分析】
求出A 中不等式的解集，确定出解集的自然数解确定A ，求出B 中x 的范围确定出B ，找出两集合的交集，即可作出判断． 【详解】
由A 中不等式变形得：2﹣2≤2x ≤24，即﹣2≤x≤4，x ∈N ， ∴A={0，1，2，3，4}，
由B 中y=ln （x 2﹣3x ），得到x 2﹣3x ＞0， 解得：x ＜0或x ＞3，即B={x|x ＜0或x ＞3}， 则A ∩B={4}，即A ∩B 中元素个数为1， 故答案为：1． 【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 15．19 【解析】
按系统抽样方法，分成4段的间隔为
52
4
＝13，显然在第一段中抽取的起始个体编号为6，第二段应将编号6＋13＝19的个体抽出．这就是所要求的． 16
【解析】
分析：OAMB 的面积的最大值当M 到直线AB 距离最远的时候取得。

详解：(
)()
11
S S S 2AB d 222
OAMB OAB AMB M AB M AB --=+=
+=，当M 到直线AB 距离最远的时候取得S OAMB 的最大值，设()2cos θ,sin θM 直线AB:x 2y 20+-=，所以
22sin
θ2
2θ2sin θ24222d 555
M AB
cos π-⎛
⎫+- ⎪+--⎝⎭==≤
，故S OAMB 的最大值为2。

点睛：分析题意，找到面积随M 到直线AB 距离的改变而改变，建立面积与M 到直线AB 距离的函数表达式，利用椭圆的参数方程求解距离的最值。

本题还可以用几何法分析与直线AB 平行的直线与椭圆相切时，M 为切点，到直线AB 距离最大。

三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）{}|14x x -≤≤；（2）102
k -≤≤.
【解析】
分析：（1）解一次不等式得集合A ，（2）先根据A∩B= B 得B ⊆A ，再根据k 分类解集合A ，最后根据数轴确定实数k 的取值范围.
详解：（1）当k ＝1时，A ＝{x|0≤x＋1≤5}＝{x|－1≤x≤4}； （2）因为A∩B= B，所以B ⊆A ， 由0≤kx＋1≤5，得－1≤kx≤4，
①当k=0时，A=R ，满足B ⊆A 成立； ②当k<0时，A=4
1,k k ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
， 由B ⊆A ，得4
112k
k ⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，
即12k ≥-
，故1
02
k -≤<， 综上所述：1
02
k -≤≤．
点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．
18．（1）64；（2）36
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分析可得3个小球，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分2步分析：①，将3个小球分成2组，②，在4个盒子中任选2个，分别放入分好组的两组小球，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
（1）根据题意，3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，
每个小球有4种放法，则3个小球有44464⨯⨯=种不同的放法；
（2）根据题意，分2步分析：
①将3个小球分成2组，有133C =种分组方法，
②在4个盒子中任选2个，分别放入分好组的两组小球，有2412A =种选法，
则恰有2个空盒的放法有31236⨯=种．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
19． (1)见解析;(2) 3-
. 【解析】
【分析】
（1）连接AC 交BE 于O ，并连接EC ，FO ，由空间几何关系可证得//OF PA ，利用线面平行的判断定理可得//PA 平面BEF .
（2）（法一）取PD 中点M ，连ME ，MF ，MA ，由二面角的定义结合几何体的特征可知MEA ∠为二
面角F BE A --的平面角,计算可得二面角F BE A --的余弦值为（法二）以E 为原点，EA 、EB 、EP 分别为x 、y 、z 建立直角坐标系，则平面ABE 法向量可取：
()
0,0,1n =r ,平面FBE 的法向量)m =
r ,由空间向量的结论计算可得二面角F BE A --的余弦值
为3
-. 【详解】
（1）连接AC 交BE 于O ，并连接EC ，FO ，
//BC AD Q ，12
BC AD =，E 为AD 中点， //AE BC ∴，且AE BC =， ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴ O 为AC 中点，又F 为PC 中点，
∴ //OF PA ， OF ⊂Q 平面BEF ，PA ⊄平面BEF ，//PA ∴平面BEF .
（2）（法一）由BCDE 为正方形可得2EC =，∴
2PE EC ==.
取PD 中点M ，连ME ，MF ，MA ，Q 侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交于AD ，BE ⊥ AD ， BE ∴⊥面PAD ，又//ME OF ，MEA ∴∠为二面角F BE A --的平面角, 又3EM =Q ，1AE =，112
AM =， 3cos MEA ∴∠=-
，所以二面角F BE A --的余弦值为3-. （法二）由题意可知PE ⊥面ABCD ，BE ⊥ AD ，如图所示，以E 为原点，EA 、EB 、EP 分别为
x 、y 、z 建立直角坐标系，则()0,0,0E ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，112,,222F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
.
平面ABE 法向量可取：()0,0,1n =r ,
平面FBE 中，设法向量为(),,m a b c r =，则00m EB m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ⇒ 00011202
22b a b c ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩, 取)
2,0,1m =r , ,3m n cos m n m n ⋅==r r r r r r ，所以二面角F BE A --的余弦值为3【点睛】
本题主要考查线面平行的判断定理，二面角的定义与求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20． (1)1219,2550
；(2)答案见解析. 【解析】
【分析】
（1）结合表格根据古典概型的概率公式计算概率即可；（2）计算2K 的观测值，对照表中数据得出统计结论．
【详解】
(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人， 所以抽到积极参加班级工作的学生的概率124125025
P ==， 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人， 所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生概率21925P =
. (2)由列联表知，2K 的观测值()
2501819-67k 25252426⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝≈11.538，由11.538＞10.828.所以在犯错误的概率
不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【点睛】
本题考查了古典概型的应用问题，也考查了两个变量线性相关的应用问题，准确计算2K 的观测值是解题的关键，是基础题目．
21．（1 6.193≈；（2）(2S r x =+()0,x r ∈. 【解析】
分析：（1）以下底AB 所在直线为x 轴，等腰梯形所在的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，
可得椭圆方程为222214y x r r +=，由题1r =，32CD =，则34c x =代入椭圆方程得c y =，
可求4
CB =，由此可求求梯形ABCD 的周长.
（2）由题可得c x x =， 2c y =()S f x =，进而得到定义域. 详解：
（1）以下底AB 所在直线为x 轴，等腰梯形所在的对称轴为y 轴，建立直角坐标系， 可得椭圆方程为22
2214y x r r
+=， 1r =，32CD =
，
∴34c x =代入椭圆方程得c y =
∴4CB ==，
所以梯形ABCD 的周长是7 6.1932
+≈；
（2）得c x x =，
∴2c y =
()(122222S r x r x =+=+ 定义域()0,x r ∈.
点睛：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数定义域的问题，是综合性题目． 22．（1） 1.80.4y x =-；（2）10.4（百元）
【解析】
分析：（1）利用最小二乘法，求得 1.8b =，0.4a =-，即看得到回归直线的方程； （2）由（1）代入6x =时，求得y 的值，即可作出合理预测．
详解：（1）3x =，5y =， 1.8b =，0.4a =-，所以回归直线为 1.80.4y x =-．
（2）当6x =时，10.4y =，即第6天的营业额预计为10.4（百元）．
点睛：本题主要考查了回归直线的方程的求解及应用，其中利用最小二乘法，准确求解ˆˆ,b
a 的值是解得关键，着重考查了推理与运算能力．。