2019届普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷(解析版)

2019届普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷(解析版)
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
A.6
B.9
C.12
D.18
8.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为则此球的体积为( )
A.π
B.4π
C.4π
D.6π
9.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数
f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A. B. C. D.
10.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C 与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A. B.2 C.4 D.8
11.当0<x≤时,4x<log
a
x,则a的取值范围是( )
A. B. C.(1,) D.(,2)
12.数列{a
n }满足a
n+1
+(-1)n a
n
=2n-1,则{a
n
}的前
60项和为( )
A.3 690
B.3 660
C.1 845
D.1 830
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.
14.等比数列{a
n }的前n项和为S
n
,若S
3
+3S
2
=0,
则公比q= .
15.已知向量a,b夹角为45° 且
|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .
16.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asin C-ccos A.
Ⅰ 求A;
Ⅱ 若a=2 △ABC的面积为,求b,c.
18.(本小题满分12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干
枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
Ⅰ 若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利
润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝 n∈N 的函数解析式;
Ⅱ 花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.
19.(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
中,侧棱垂直底
面 ∠ACB=90° AC=BC=AA
1,D是棱AA
1
的中点.
Ⅰ 证明:平面BDC
1
⊥平面BDC;
Ⅱ 平面BDC
1分此棱柱为两部分,求这两部分体
积的比.
20.(本小题满分12分)
设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A 为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F 交l于B,D两点.
Ⅰ 若∠BFD=90° △ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;
Ⅱ 若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m 平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
21.(本小题满分12分)
设函数f(x)=e x-ax-2.
Ⅰ 求f(x)的单调区间;
Ⅱ 若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f
'(x)+x+1>0,求k的最大值.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)
选修4—1:几何证明选讲
如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE 交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB 证明: Ⅰ CD=BC;
Ⅱ △BCD∽△GBD.
23.(本小题满分10分)
选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C
1
的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建
立极坐标系,曲线C
2
的极坐标方程是ρ=2.正方
形ABCD的顶点都在C
2
上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.
Ⅰ 求点A,B,C,D的直角坐标;
Ⅱ 设P为C
1上任意一点,求
|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
24.(本小题满分10分)
选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
Ⅰ 当a=-3时,求不等式f x ≥3的解集;
Ⅱ 若f x ≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
答案详解
一、选择题
1.B A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B⫋A,故选B.
评析本题考查了集合的关系以及二次不等式的解法.
2.D z=-=--
=-=-1+i,=-1-i,故选
-
D.
评析本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.
3.D 所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为1,故选D.
评析本题考查了线性回归,掌握线性回归系数的含义是解题关键,本题易错选C.
4.C 设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得
∠PF
2Q=60° |F
2
P|=|F
1
F
2
|=2c,|F
2
Q|=a-c ∴a-
c=×2c e==,故选C.
评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.
5.A 由题意知区域为△ABC 不含边界).
当直线-x+y-z=0过点C(1+,2)时,z
min
=1-;
当过点B(1,3)时,z
max
=2.故选A.
评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.
6.C 不妨令N=3,a
1<a
2
<a
3
,则有
k=1,A=a
1,B=a
1
;x=a
2
,A=a
2
;x=a
3
,A=a
3
,故输出
A=a
3,B=a
1
,选C.
评析本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.
7.B 由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC边上的高为3 SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=××6×3×3=9.故选B.
评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.
8.B 如图,设平面α截球O所得圆的圆心为O
1
,
则|OO
1|=
1
A|=1 ∴球的半径
R=|OA|==.
∴球的体积V=πR3=4π.故选B.
评析本题考查了球的基础知识,利用勾股定理求球的半径是关键.
9.A 由题意得
=2- ∴ω=1 ∴f x =sin x+φ),则
+φ=kπ+ k∈Z φ=kπ+ k∈Z 又
0<φ<π ∴φ=,故选A.
评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键. 10.C 由题意可得A(-4,2).
∵点A在双曲线x2-y2=a2上 ∴16-12=a2 a=2 ∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.
评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.
11.B 易知0<a<1,则函数y=4x与y=log
a
x的大致
图象如图,则只需满足log
a
>2,解得a>,故选B.
评析本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.
12.D 当n=2k时,a
2k+1+a
2k
=4k-1,
当n=2k-1时,a
2k -a
2k-1
=4k-3,
∴a
2k+1+a
2k-1
=2 ∴a
2k+1
+a
2k+3
=2 ∴a
2k-1
=a
2k+3
,
∴a
1=a
5
=…=a
61
.
∴a
1+a
2
+a
3
+…+a
60
=(a
2
+a
3
)+(a
4
+a
5
+…+ a
60
+a
61
)=
3+7+11+…+ 2×60-1)==30×61=1 830.
评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.
二、填空题
13.答案y=4x-3
解析y'=3ln x+1+x·=3ln x+4,k=y'|
x=1
=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.
评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.
14.答案-2
解析由S
3+3S
2
=0得4a
1
+4a
2
+a
3
=0,有4+4q+q2=0,
解得q=-2.
评析本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.
15.答案3
解析把|2a-b|=两边平方得
4|a|2-4|a|·|b|·cos 45°+|b|2=10.
∵|a|=1 ∴|b|2-2
∴|b|=3或|b|=-(舍去).
评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量问题是求解的关键.
16.答案 2
解析f(x)==1+,令
g(x)=,则g(x)为奇函数,有
g(x)
max +g(x)
min
=0,故M+m=2.
评析本题考查了函数性质的应用,运用了奇
函数的值域关于原点对称的特征,考查了转化与
化归的思想方法.
三、解答题
17.解析 Ⅰ 由c=asin C-c·cos A及正弦定理得·sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.
由于sin C≠0 所以sin-=.
又0<A<π,故A=.
Ⅱ △ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.
而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.
解得b=c=2.
评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,灵活利用正、余弦定理是求解关键,正确的转化是本题的难点.
18.解析 Ⅰ 当日需求量n≥17时,利润
y=85.
当日需求量n<17时,利润y=10n-85.
所以y关于n的函数解析式为
- n∈N .
y=
Ⅱ i 这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为
55×10+65×20+75×16+85×54 =76.4. (ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为
P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.
评析本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力.
19.解析 Ⅰ 证明:由题设知
BC⊥CC
1 BC⊥AC CC
1
∩AC=C 所以BC⊥平面
ACC
1A
1 .
又DC
1⊂平面ACC
1
A
1
,所以DC
1
⊥BC.
由题设知∠A
1DC
1
=∠ADC=45° 所以∠CDC
1
=90°
即DC
1
⊥DC.
又DC∩BC=C 所以DC
1
⊥平面BDC.
又DC
1⊂平面BDC
1
,故平面BDC
1
⊥平面BDC.
Ⅱ 设棱锥B-DACC
1的体积为V
1
,AC=1.
由题意得V
1
=××1×1=.
又三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
的体积V=1,所以
(V-V
1 ∶V
1
=1∶1.
故平面BDC
1
分此棱柱所得两部分体积的比为
1∶1.
评析本题考查了线面垂直的判定,考查了体
积问题,同时考查了空间想象能力,属中档难度.
20.解析 Ⅰ 由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.
由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.
因为△ABD的面积为4所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,
解得p=-2(舍去),p=2.
所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.
Ⅱ 因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径 ∠ADB=90°.
由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,
所以∠ABD=30° m的斜率为或-.
当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入
x2=2py得x2-px-2pb=0.
由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0. 解得b=-.
因为m的截距b
1=,||
||
=3,所以坐标原点到m,n
距离的比值为3.
当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.
评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.
21.解析 Ⅰ f x 的定义域为(-∞ +∞ f '(x)=e x-a.
若a≤0 则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞ +∞ 上单调递增.
若a>0,则当x∈ -∞ ln a 时, f '(x)<0;
当x∈ ln a +∞ 时, f '(x)>0,
所以, f(x)在(-∞ ln a 上单调递减,在(ln a +∞ 上单调递增.
Ⅱ 由于a=1,所以(x-k)f
'(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.
故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于
k<
-
+x x>0 .①
令g(x)=
-+x,则g'(x)=--
-
+1=--
-
.
由 Ⅰ 知,函数h(x)=e x-x-2在 0 +∞ 上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在 0 +∞ 上存在唯一的零点.故g'(x)在 0 +∞ 上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈ 1 2 .
当x∈ 0 α)时,g'(x)<0;当x∈ α +∞
时,g'(x)>0.
所以g(x)在 0 +∞ 上的最小值为g(α).
又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以
g(α)=α+1∈ 2 3 .
由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.
评析本题考查了函数与导数的综合应用,判断出导数的零点范围是求解第 Ⅱ 问的关键.
22.证明 Ⅰ 因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.
又已知CF∥AB 故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD 连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.
因为CF∥AB 所以BC=AF,故CD=BC.
Ⅱ 因为FG∥BC 故GB=CF.
由 Ⅰ 可知BD=CF,所以GB=BD.
而∠DGB=∠EFC=∠DBC 故△BCD∽△GBD.
评析本题考查了直线和圆的位置关系,处理好平行的关系是关键.
23.解析 Ⅰ 由已知可得A , B2cos+,2sin+,
C2cos+π,2sin+π,
D2cos+,2sin+,
即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).
Ⅱ 设P(2cos φ,3sin φ),令
S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则
S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1 所以S的取值范围是[32,52].
评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确“互化”是关键,难点是建立函数S=f(φ).
24.解析 Ⅰ 当a=-3时,
-
f(x)=
-.
当x≤2时,由f x ≥3得-2x+5≥3 解得x≤1;
当2<x<3时 f x ≥3无解;
当x≥3时,由f x ≥3得2x-5≥3 解得x≥4.
所以f x ≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.
Ⅱ f x ≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1 2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
⇔4-x-(2-x ≥|x+a|
⇔-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2 即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
评析本题考查了含绝对值不等式的解法,运用零点法分类讨论解含绝对值的不等式,考查了运算求解能力.。