2018-2019新疆乌鲁木齐市高二下学期期中考试数学（理)试题 解析版

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新疆乌鲁木齐市第四中学2018-2019学年高二下学期期中考
试数学（理)试题
一、单选题
1．在复平面内，复数1i
i
+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】 先化简复数1i
i
+，再由复数的几何意义即可得出结果. 【详解】 因为
21(1)1i i i
i i i
++==-，所以其对应点为(1,1)-，位于第四象限. 故选D 【点睛】
本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记运算法则与几何意义即可，属于常考题型.
2．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32
C ．33
D ．27
【答案】B 【解析】 【分析】
通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得
x 的值.
【详解】
因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯，
可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】
本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3．函数3
()3f x x x =-，x ∈(0,4)的单调递增区间是（ ） A ．(-∞,-1)∪(1,∞) B ．(1,4) C ．(0,1) D ．(1,+∞)
【答案】B 【解析】 【分析】
求得函数的导数()3(1)(1)f x x x '=+-，根据导函数的符号，即可得到函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】
由题意，函数3
()3,(0,4)f x x x x =-∈，则2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-， 当(1,4)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 即函数()f x 的单调递增区间为(1,4)，故选B. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，其中解答中熟记导数与函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．已知ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,若B=30°，b=1，则sin sin sin a b c
A B C
++++等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．
2
D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理可得2sin b B
=，进而根据正弦定理的变形，即可求解
sin sin sin a b c
A B C ++++的值，得到答案. 【详解】
在ABC ∆中，满足30,1B b ==，由正弦定理可得
1
2sin sin 30
b B ==，
又由
2sin sin sin sin a b c b
A B C B
++==++，故选B.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，以及正弦定理的变形是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．下列命题中，不正确的是（ ） A ．两条平行直线与同一平面所成的角相等 B ．一条直线与两个平行平面所成的角相等
C ．一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，它也平行于另一平面
D ．如果两条直线与同一平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行 【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线与平面所成角的定义，以及线面位置关系的概念，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，A 中，根据线面角的定义，可知两条平行直线与同一平面所成的角相等是正确的；
B 中，根据线面角的定义，可知一条直线与两个平行平面所成的角相等是正确的；
C 中，一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则直线平行于另一平面或在另一个平面内，所以不正确；
D 中，根据线面位置关系的判定，可知如果两条直线与同一平面所成的角相等，那么这两条直线相交、平行或异面，所以是正确的. 【点睛】
本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定，其中解答中熟记线面角的定义，以及直线与平面的位置关系是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题. 6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1234563,6a a a a a a ++=++=，则12S =（ ） A ．15 B ．30
C ．45
D ．60
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题设条件，得到
456
123
2a a a a a a ++=++，进而得到78910111212,24a a a a a a ++=++=，
即可求解12S 的值，得到答案. 【详解】
由题意，等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1234563,6a a a a a a ++=++=，
则
4561236
23
a a a a a a ++==++，所以78910111212,24a a a a a a ++=++=， 则1212310111245S a a a a a a =++++++=，故选C.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，及其前n 项和的计算，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件 D ．以上都不对
【答案】B 【解析】 【分析】
本题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件，然后通过两个事件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件，最后通过两个事件是否可能出现来判断两个事件是否是不可能事件，最后即可得出结果。

， 【详解】
因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，
因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B 。

【点睛】
本题考查了事件的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指概率之和为1的互斥事件，不可能事件是指不可能发生的事件，考查推理能力，是简单题。

8．已知函数()f x 的导数3()44f x x x '=-，且()f x 的图像过点(0,5)-，当函数()f x 取
得极大值-5时，x 的值应为（ ） A ．-1
B ．0
C ．1
D ．±1
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数3
()44f x x x '=-，根据求导法则，得到()42
2f x x x c =-+，再根据函数()
f x 过点(0,5)-，求得函数的解析式，进而求得函数的极大值，得到答案. 【详解】
由题意，函数()f x 的导数3
()44f x x x '=-，
所以()4
2
2f x x x c =-+，其中c 为常数，
又由函数()f x 过点(0,5)-，所以5c =-，即()4
2
25f x x x =--，
令()0f x '=，即3440x x -=，解得0x =或1x =±， 当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，
所以当0x =时，函数()f x 取得极大值，且极大值()05f =-， 函数()f x 取得极大值时5-时，x 的值应为0，故选B. 【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则，以及利用导数求解函数的极值的方法，其中解答中熟记导数的求导法则，以及正确求得函数的单调性和极值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．若2
1()ln(2)2
f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(1,)-+∞
C ．(,1]-∞-
D ．(,1)-∞-
【答案】C 【解析】 【分析】
先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案． 【详解】
由题意可知()02
b
f x x x =-+
+'＜，在x ∈（﹣1，+∞）上恒成立， 即b ＜x （x+2）在x ∈（﹣1，+∞）上恒成立，
由于y=x （x +2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y （﹣1）=﹣1，所以b ≤﹣1， 故选：C ． 【点睛】
函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论
（1）若在(),a b 内()0(0)f x >'<，则()f x 在(),a b 上单调递增（减）．
（2）()f x 在(),a b 上单调递增（减）⇔ ()'0f x ≥（0≤）在(),a b 上恒成立，且在(),a b 的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）
（3）若函数()f x 在区间(),a b 内存在单调递增（减）区间，则()0(0)f x >'<在(),a b 上有解．（不要加上等号．）
10．在用数学归纳法证明：当x ＞-1，0x ≠，2,n n *
≥∈N 时求证(1)n
x +＞1nx +，由n k =时不等式成立，推证1n k =+的情形时，应该给n k =时不等式左边（ ） A ．加(1)x + B ．减(1)x + C ．乘以(1)x + D ．除以(1)x +
【答案】C 【解析】 【分析】
由n k =时，不等式左边为(1)k
x +，当1n k =+时，得出不等式的左边为(1)(1)k
x x ++，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，当n k =时，不等式左边为(1)k
x +， 当1n k =+时，不等式的左边为1
(1()(1)1)
k k x x x +=+++，
所以由n k =时不等式成立，推证1n k =+时，应该给n k =时不等式左边“乘以
(1)x +”，故选C.
【点睛】
本题主要考查了数学归纳法的概念及其应用，其中正确判定由n k =时不等式成立，推证1n k =+时不等式左边的变化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．以下正确命题的个数为（ ） ①命题“存在0
0,2
0x x R ∈≤”的否定是：“不存在00,20x x R ∈>”；
②函数13
1()()4
x f x x =-的零点在区间11(,)43
内；
③若函数()f x 满足(1)1f =且(1)2()f x f x +=，则(1)(2)(10)f f f ++⋯+=1023； ④函数()x
x f x e e -=-切线斜率的最大值是2.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】
命题“存在0
0,2
0x x R ∈≤”的否定是“,20x x R ∀∈>”，所以①不正确；
因为111
13334
111111()()()0,()()()0444334
f f =-=-，根据函数零点存在定理可得，函
数1
3
1()()4
x f x x =-的零点在区间11(,)43
内，所以②正确； 因为(1)2()f x f x +=，所以当1,n n N >∈时，有
2(1)2()2(1)2(1)n f n f n f n f +==-==，所以
9910(1)(2)(10)(1)2(1)2(1)122211023f f f f f f ++
+=++
+=++
=-=，
所以③正确；
()x x f x e e -=-，则'()()2x x x x f x e e e e --=--=-+≤-=-当且仅当
x x e e -=即0x =时取等号，所以函数()x x
f x e e -=-切线斜率的最大值为-2，所以④
不正确。

综上可得，故选B 。

12．设(),()f x g x 是定义域R 上的连续可导函数，且()g x ＞0，若对任意实数x ∈R ，
()()f x g x '＞()()f x g x '，则当a ＞b 时有（ ）
A ．()()f a g b ＞()()f b g a
B ．()()f a g b ＜()()f b g a
C ．()()f a g a ＞()()f b g b
D ．()()f a g a ＜()()f b g b
【答案】A 【解析】
【分析】 构造函数()()
()
f x h x
g x =
，利用题设条件和函数的导数，求得新函数()h x 单调性，再利用新函数的单调性，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，令函数()()()
f x h x
g x =
，则()2()()()()
()f x g x f x g x h x g x ''-'=，
因为()()()()f x g x f x g x ''>，所以()0h x '>，所以函数()h x 为单调递增函数， 又由a b >，所以()()h a h b >，即
()()
()()
f a f b
g a g b >， 又由()0>g x ，则()0,()0g a g b >>， 所以()()f a g b ＞()()f b g a ，故选A. 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性及其应用，其中解答根据题设条件构造新函数
()()
()
f x h x
g x =
，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
第II 卷（非选择题)
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二、填空题
13．不等式5)
2
x -＞0的解集是________
【答案】(-1,2)∪（5，+∞）
【解析】 【分析】
利用分式不等式的解法，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，不等式
(1)(5)
02
x x x +->-，即(2)(1)(5)0x x x -+->，
所以不等式的解集为(1,2)(5,)-+∞.
【点睛】
本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．若函数sin ()2cos x
f x x
=
+，则()f x '=__________
【答案】
2
12cos (2cos )x
x ++ 【解析】 【分析】
由导数的运算公式和导数的四则运算法则，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】
由导数的运算公式和导数的四则运算法则，可得函数()f x 的导数为
22222
(sin )(2cos )sin (2cos )2cos 12cos (cos sin ()(2cos )(2cos )2cos )x x x x x x x f x x x x
x ''+-+++'==++=
++. 【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则的应用，其中解答中熟记导数的运算公式和导数的四则运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．用反证法证明“,a b N ∈，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.
【答案】,a b 中没有能被5整除的数 【解析】 【分析】
反证法证明中，假设时只需要对结论进行否定即可. 【详解】
“至少有n 个”的否定是“最多有1n -个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除． 【点睛】
本题考查了反证法的定义，注意对于像含有“至少”“至多”“都”“或”“且”等特殊词语命题的否定，属于简单题.
16．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________
【答案】9
2
【解析】 【分析】
联立方程组，求得交点的坐标，利用定积分分别求得图形OAC 和ACB 的面积，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，联立方程组2
2
x y y x +=⎧⎨
=⎩
，解得1y =或2y =-，即(1,1),(4,2)A B -，
则图形OAC 的面积为31210
24
2
2|33
S x ==⨯=⎰
，
图形ACB 的面积为34
24
22111219[(2)(2)236
S x dx x x x =-=-+=⎰,
所以围成阴影部分的面积为124199
362
S S S =+=
+=.
【点睛】
本题主要考查了利用定积分求解围成封闭图形的面积问题，其中解答中准确表示出封闭图形的面积的表示式，利用定积分准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 评卷人 得分
三、解答题
17．已知向量(2cos ,1),(sin cos ,2)m x n x x ωωω=-=-，函数()3f x m n =⋅+的周期为π.
（1）求正数ω；
（2）若函数()f x 的图象向左平移
8
π
个单位，横坐标不变，2倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间. 【答案】(1) 1ω= (2) [,]44
k k k Z π
π
ππ-+∈
【解析】 【分析】
（1）根据向量的数量积的运算，可得函数()f x 的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解；
(2)由（1），根据三角函数的图象变换，求得()g x 的解析式，再根据三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】
(1)由题意，函数()3(2cos ,1)(sin cos ,2)3f x m n x x x ωωω=⋅+=--+ =22cos (sin cos )12sin cos 2cos 1x x x x x x ωωωωωω-+=-+
sin 2cos2x x ωω=-=2sin(2)4
x π
ω-，
因为T π=，且0>ω，所以1ω=.
(2)由（1）知：函数()2sin(2)4
f x x π
ω=
-，
sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律可得()22sin[2)]2sin 284
g x x x ππ=⋅+-=，
由222,2
2
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+∈，
解得,4
4
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
所以函数()g x 的单调增区间为[,],44
k k k Z π
π
ππ-+∈． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．四棱柱A-BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC=2,CD=2,AB=AC
（1）证明AD CE ⊥.
（2）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C-AD-E 的余弦值。

【答案】(1)见证明；(2) 10 【解析】 【分析】
（1）作AO ⊥BC ，垂足为O ，连接OD ，利用三垂线定理，即可证得AD CE ⊥； （2）利用二面角的定义，得到∠CGE 是二面角C-AD-E 的平面角，在CGE ∆中，利用余弦定理，即可求解二面角的余弦值. 【详解】
(1)作AO ⊥BC ，垂足为O ，连接OD ， 由题设知，AO ⊥底面BCDE ，且OBC 中点， 由
2
OC CD CD DE ==，可得RtΔOCD ∽Rt △CDE ，从而∠ODC=∠CED ，于是CE
⊥OD, 由三垂线定理，可得AD CE ⊥.
(2)由题意知BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧面ABC ，又BE ⊂侧面ABE ，∴侧面ABE ⊥侧面ABC .
作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE,则CF ⊥平面ABE ， 故∠CEF 为CE 与平面ABE 所成的角，且∠CEF=45°， 由CE=6，得CF=3，
又∵BC=2，因而∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形， 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连GE 由(1)知，CE ⊥AD,又CE∩CG=C,
故AD ⊥平面CGE,AD ⊥GE ，所以∠CGE 是二面角C-AD-E 的平面角.
2263
AC CD CG AD ⋅⨯=
==
， 22
1
()25102,63
6
DE AD DE GE C E ⨯-⨯====， 在CGE ∆中，由余弦定理得
2
2
2
410
6
1033cos 2210
233
CG GE CE CGE CG GE +-+-∠===-⋅⨯⨯
，
所以二面角C-AD-E 的余弦值为1010
-
.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定与证明，利用定义法求解二面角的大小，意在考查学生的空
间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 19．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。

在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品。

计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）, 将所得数据分组，得到如下频率分布表：
分组频数频率
[-3, -2) 0.10
[-2, -1) 8
（1,2] 0.50
（2,3] 10
（3,4]
合计50 1．00
（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；
（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；
（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。

据此估算这批产品中的合格品的件数。

【答案】（1）见解析（2）合格的产品有1980件
【解析】
（Ⅰ）
分组 频数 频率 [-3, -2) 5 0.10 [-2, -1) 8 0.16 （1,2] 25 0.50 （2,3] 10 0.2 （3,4] 2 0.04 合计 50
1．00
（Ⅱ）根据频率分布表可知，落在区间（1,3]内频数为35，故所求概率为0.7. （Ⅲ）由题可知不合格的概率为50
5000
=0.01，故可求得这批产品总共有2000，故合格的产品有1980件。

20．在平面直角坐标系中，已知圆P 在x
轴上截得线段长为y 轴上截得线段
长
(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若点P 到直线y x =
的距离为
2
，求圆P 的方程. 【答案】(1) 2
2
1y x -= (2) 2
2
(1)3x y +-=或2
2
(1)3x y ++=. 【解析】 【分析】
(1)设00(,)P x y ，由题设可得,,x y r 之间的关系式，即可求解点P 的轨迹方程； (2)由点到直线的距离公式，得出001x y -=，再由点P 在双曲线221y x -=上，联立
方程组，求得点P 的坐标和圆的半径，即可求得点P 的方程. 【详解】
(1)设00(,)P x y ，圆P 的半径为r ，
由题设可得2
2
2y r +=，223x r +=，从而2
2
23y x +=+， 故点P 的轨迹方程为2
2
1y x -=. (2)设00(,)P x y
2
=
，即001x y -=， 又P 点在双曲线2
2
1y x -=上，所以0022
01
1x y y x ⎧-=⎨-=⎩， 由0022
0011x y y x -=⎧⎨
-=⎩，得00
1x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P
的半径r = 由0022
011y x y x -=⎧⎨-=⎩，得0001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P
的半径r =， 故圆P 的方程为：2
2
(1)3x y +-=或2
2
(1)3x y ++=. 【点睛】
本题主要考查了轨迹方程的求解，以及圆的标准方程的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式的应用，同时根据题设条件列出方程组，求得点P 的坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21．
已知函数2()()x
f x e x ax a =+-，其中a 是常数.
(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）4e 3e y x =-（Ⅱ）2
4
(,]e a a a ++- 【解析】 【分析】
（Ⅰ）当a ＝1时，f （1）＝e ，f ′（1）＝4e ，由点斜式可求得y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ） 令f ′（x ）＝e x [x 2+（a +2）x ）]＝0，可解得x ＝﹣（a +2）或x ＝0，对﹣（a +2）
与0的大小关系分类讨论，可求得关于x 的方程f （x ）＝k 在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k 的取值范围． 【详解】
解：(Ⅰ)由2
()()x f x e x ax a =+-可得
2'()e [(2)]x f x x a x =++.
当1a =时,(1)f e =,'(1)4f e =.
所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()41y e e x -=-， 即4e 3e y x =-
（Ⅱ） 令2
'()((2))0x f x e x a x =++=，
解得(2)x a =-+或0x =
当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.
所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根. 当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表
由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2
4
((2))a a f a e ++-+=
. 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数，
且当x a ≥-时，有()f x ()a
e a a -≥->-.
所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是
2
4
(
,]e
a a a ++-. 【点睛】
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题．。