2020年湖南省、湖北省四校高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(有答案解析)

2020年湖南省、湖北省四校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.若x，y为共轭复数，且，则等于
A. B. 2 C. D. 4
3.如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理
的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形阴影，
设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒大小忽
略不计，取，则落在小正方形阴影内的米粒数大约为
A. 20
B. 27
C. 54
D. 64
4.如图，在中，点D在线段BC上，且，若
，则
A.
B.
C. 2
D.
5.已知定义在R上的函数为实数为偶函数，记，，
，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯
视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为
A. B. C. D. 2
7.已知双曲线C：的左，右焦点分别为，
，又点若双曲线C左支上的任意一点M均满足，则双曲线C的离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
8.已知在关于x，y的不等式组，其中所表示的平面区域内，存在点
，满足，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
9.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的
最大值为
A. B. C. D.
10.已知函数在区间上是增函数，且在区
间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是
A. B. C. D.
11.已知抛物线和直线，F是C的焦点，P是l上一点，过P作抛物线
C的一条切线与y轴交于Q，则外接圆面积的最小值为
A. B. C. D.
12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接
成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知二项式的展开式中的常数项为，则______．
多面体面数顶点数棱数
三棱柱569
五棱锥6610
立方体6812
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
15.设函数，函数，若对于任意的，总存在，使
得，则实数m的取值范围是_________．
16.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知sin A：sin B：：ln4：ln t，且
，有下列结论：
；
；
，时，的面积为；
当时，为钝角三角线．
其中正确的是______填写所有正确结论的编号
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知数列，满足：．
证明：是等差数列，并求数列的通项公式；
设，求实数a为何值时恒成立．
18.在中，，已知E，F分别是BC，AC的中点．将
沿EF折起，使C到的位置且二面角的大小是连接，，如图：
求证：平面平面；
求平面与平面所成二面角的大小．
19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，
规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．
若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；
在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别
为2，，其中表示第i个出场选手解密成功的概率，并且
定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立．
求该团队挑战成功的概率；
该团队以从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望．
20.如图，设抛物线：的准线l与x轴交于椭圆：
的右焦点，为的左焦点．椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于x轴上方一
点P，连接并延长其交于点Q，M为上一动点，且在P，Q之间移动．
当取最小值时，求和的方程；
若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．
21.已知函数，其中a为常数．
若直线是曲线的一条切线，求实数a的值；
当时，若函数上有两个零点．求实数b的取值范围．
22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线：
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
．
Ⅰ若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在上，求的取值范围；
Ⅱ若直线l与交于M，N两点，点Q的直角坐标为，求的值．
23.已知函数．
当时，求不等式的解集；
若，都有恒成立，求m的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：由题意得，，
，
．
故选：B．
根据题意化简集合Q，再求．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.答案：C
解析：【分析】
本题考查了复数的运算法则、复数相等、共轭复数的定义，属于基础题．
x，y为共轭复数，可设，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】
解：x，y为共轭复数，
可设，．
，
，
，解得．
．
故选：C．
3.答案：B
解析：解：设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为，
设落在小正方形内的米粒数大约为N，
则，解得：
故选：B．
设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为
N，利用概率模拟列方程即可求解．
本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题．
4.答案：A
解析：解：，
，
，
，，
，
故选：A．
根据向量加减的几何意义可得，，，问题得以解决．
本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．
5.答案：B
解析：解：函数是偶函数，
在R上恒成立，，
当时，易得为增函数，
，，
故选：B．
根据函数是偶函数，求出m的值，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数是偶函数，求出m的值，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解是解决本题的关键．
6.答案：B
解析：解：由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥，
故AC，，，，，
，，，
该多面体的侧面最大面积为．
故选：B．
首先把三视图转换为几何体，进一步求出侧面积．
本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运
算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
解析：【分析】
本题考查了双曲线的性质、离心率，考查了转化思想，
属于中档题．
原问题等价于，又
1
即可得或
即可．
【解答】
解：双曲线C左支上的任意一点M均满足
，
即，
又
1
或
，或
故选：D．
8.答案：D
解析：解：由条件可得可行域，如图所示，
由，得因为直线与直线垂直，
所以只需圆心到A的距离小于等于1满足题意即可，
即，解得，
当时恒存在点满足题意，故实数a的取值范围．
故选：D．
画出约束条件的可行域，利用点与圆的位置关系，得到不等式，求解即可．
本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义是解题的关键，是中档题．
解析：解：，
结合正弦定理，得，
，得，
，
整理可得：，同除以cos A cos B，得，
由此可得，
、B是三角形内角，且tan A与tan B同号，
、B都是锐角，即，，
，
，当且仅当，即时，的最
大值为．
故选：B．
利用正弦定理，将已知等式化简整理得，两边同除以cos A cos B，得到
利用两角差的正切公式，得，最后利用基本不等式求
最值，可得当且仅当时，的最大值为．
本题已知三角形边角的一个关系式，求的最大值，着重考查了正弦定理、两角差的正切公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．
10.答案：B
解析：解：由，
化简，，
由，，即时，取得最大值1，
因为上恰好取得一次最大值，所以，，
所以，
在区间上是增函数，根据题意
，即，
结合上面所述，，
故选：B．
结合三角函数单调性，最值与周期T的关系，建立不等式进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用单调性，最值与周期的关系是解决本题的关键．
11.答案：A
解析：解：如下图所示，
设过点P所作的切线与抛物线C相切于点，则．
易知，直线PM的方程为，即，该直线的斜率为．
直线PM交y轴于点，所以直线FQ的斜率为．
，所以．
将直线l的方程与PM的方程联立得解得
所以点P的坐标为．
由两点间的距离公式可得，
所以，当时，取得最小值，则的外接圆的半径的最小值为，
因此，的外接圆的面积的最小值为．
故选A．
设过点P的切线与抛物线相切于点，从而写出切线PM的方程，可求出点P、Q的坐标，根据斜率之间的关系得出，于是得出为外接圆的直径，结合两点的间的距离公式得出的最小值，从而得出外接圆的面积的最小值．
本题考查直线与抛物线的综合，解决本题的关键在于切线方程的求解，考查计算能力与推理能力，属于难题．
12.答案：B
解析：【分析】
本题考查棱锥体积的有关计算，利用导数研究函数的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，属于较难题．
设，过A作于E，连接BE，则
，又，推导出，令，则，可得当时，，由此能求出此三棱锥体积的取值范
围．
【解答】
解：如图，，．
过A作于E，连接BE，
则，又，
，
，
令，则，
令，可得，
可得当时，此三棱锥体积取得最大值，．
此三棱锥体积的取值范围是．
故选：B．
13.答案：2
解析：解：二项式的展开式中的通项公式为，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：2．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数a的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：
解析：解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，
正方体：，，，得；
三棱柱：，，，得；
三棱锥：，，，得．
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：
再通过举四棱锥、六棱柱、等等，发现上述公式都成立．
因此归纳出一般结论：
故答案为：
通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．
本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．
15.答案：
解析：【分析】
本题考查用导数研究函数的性质，考查函数的恒成立和存在性问题，属于中档题．
由对于任意的，总存在，使得，想到恒成立，再利用导数求函数在上的最值即可．
【解答】
解：，，
对于任意的，当时，，当时，，
即在上为减函数，在上为增函数．
为在上的极小值点，也是最小值点，且最小值为，
对于任意的，总存在，使得，
，
时，，不合题意，
时，，此时，不合题意，
时，，
，，，
故答案为：．
16.答案：
解析：解：根据题意，依次分析4个结论：
对于，根据题意，若sin A：sin B：：ln4：ln t，则a：b：：ln4：ln t，
故可设，，，．
则有，则，变形可得，正确；
对于，，
又，．
，，即，
变形可得：；正确；
对于，当，时，则，，则有，
此时的面积为，不正确；
对于，当时，此时a：b：：ln4：ln t，则有，故为钝角三角形．
综合可得：四个结论中，正确；
故答案为：．
根据题意，由正弦定理和余弦定理依次分析4个结论是否正确，综合即可得答案．
本题考查三角形中的正弦、余弦定理的应用，涉及对数的运算性质，属于基础题．
17.答案：解：证明：，
，．
由，，可得，，
数列是以为首项，为公差的等差数列．
，．
，
，
．
由条件可知恒成立即可满足条件，
设，当时，恒成立，
当时，由二次函数的性质知不可能成立．
当时，对称轴，在为单调递减函数．
，，即有时，恒成立．
综上知：时，恒成立．
解析：由已知条件推得结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
求得，，运用数列的裂项相消求和可得，，设，讨论，，，结合二次函数的图象和性质，
可得恒成立情况．
本题考查等差数列的定义和通项公式以及数列的裂项相消求和、不等式恒成立问题的解法，考查二次函数的单调性的运用，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．
18.答案：证明：Ⅰ证法一：是AC的中点，．
设的中点为G，连接设的中点为H，连接GH，EH．
由题意得，，即为二面角的平面
角．，
为BC的中点．，为等边三角形，．
，，，平面．
，平面，，即．
，平面．
，H分别为，的中点．，
四边形EHGF为平行四边形．，平面，
又平面平面平面．
法二：如图，以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，
BA为z轴，建立空间直角坐标系，
设则0，，0，，2，，2，，1，．
设平面的法向量为y，，0，，，
，令，则，
设平面的法向量为y，，
2，，1，，
，取，得1，．
，平面平面．
解：Ⅱ如图，以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则0，，0，，2，，2，，1，．
平面的法向量0，，
设平面的法向量为y，，
，2，，
，取，得
，
由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角．
平面与平面所成二面角大小为．
解析：Ⅰ法一：由设的中点为G，连接设的中点为H，连接GH，
从而即为二面角的平面角．，推导出，，从而平面由，得平面，从而，即
进而平面推导出四边形EHGF为平行四边形．从而，平面，由此能证明平面平面．
法二：以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面．
Ⅱ以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角大小．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.答案：解：甲解密成功所需时间的中位数为47，
，
解得，
．
解得．
甲在1分钟内解密成功的频率是．
由题意及可知第一个出场选手解密成功的概率为，
第二个出场选手解密成功的概率为，
第三个出场选手解密成功的概率为，
该团队挑战成功的概率为．
由知按从小到大的顺序的概率分别为，，，
根据题意知X的可能取值为1，2，3，
则，
，
，
团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列为：
X 1 2 3
P
．
解析：由甲解密成功所需时间的中位数为47，利用频率分布直方图的性质能求出a，b，由此能求出甲在1分钟内解密成功的频率．
由题意及可知第一个出场选手解密成功的概率为，第二个出场选手解密成功的概率为，第三个出场选手解密成功的概率为
，由此能求出该团队挑战成功的概率．
根据题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列和．
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.答案：解：，，
，当且仅当即时取等号，
当时，，，
抛物线的方程为：，椭圆的方程为．
因为，则，
椭圆的标准方程为，设，，
由得，解得或舍去，
代入抛物线方程得，即，
于是，
又的边长恰好是三个连续的自然数，．
抛物线方程为，，
直线PQ的方程为．
联立，得或舍去，于是．
，
设到直线PQ的距离为d，则，
当时，，
的面积最大值为．
此时，直线MP的方程为．
解析：用m表示出a，b，根据基本不等式得出m的值，从而得出和的方程；
用m表示出椭圆方程，联立方程组得出P点坐标，计算出的三边关于m的式子，从而
确定m的值，求出PQ的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出面积的最大值．
本题考查了圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．
21.答案：解：设切点为，函数的导数为，
可得，，
解得，；
当时，，，
当时，，递增，时，，递减，
可得处取得极小值，且为最小值0，可得，
则，，
由题意可得与有两个交点，
设，，，
令，，
，可得，在递减；，时，，时，，即时，，时，，
可得在递增，递减，在处取得极大值，
，，
即有在有两个零点时，b的范围是
解析：设切点为，求得的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；
判断的最小值为0，，，由题意可得与有两个交点，设，求得导数和单调性，极值，以及，，
即可得到所求范围．
本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数零点个数问题，以及转化思想
和构造函数法，考查化简运算能力，属于难题．
22.答案：解：Ⅰ由题意可知：直线l的普通方程为，
，的方程可化为，
设点P的坐标为，，
．
Ⅱ曲线的直角坐标方程为：
直线l的标准参数方程为，
代入得：
设M，N两点对应的参数分别为，，
，故，异号，
．
解析：Ⅰ直接利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程进行转换．
Ⅱ利用方程之间的关系式，利用一元二次方程根和系数关系式求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
23.答案：解：当时，
当，解得；
当恒成立；
当解得；
所以此不等式的解集为；
当时，
当时，不等式化为；
由，
当且仅当即时等号成立，
，
，
当时，不等式化为，
，
令，
在恒成立，
在上是增函数，
当时，取到最大值为，
，
综上m的取值范围是．
解析：本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
，分段解不等式即可；
，利用恒成立求得m的取值范围．。