1点和直线-画法几何基础

直线与投影面夹角
V
b a
β
B
γ

b
W
A
a
b
a
与H面的夹角:倾角 与V面的夹角:倾角β 与W面的夹角:倾角γ
⑴ 一般位置直线(∠H ,∠V,∠W )
V
b a
β
B
γ
b
W
b
Z
b a
a
X O
YW
A
a
b
a
b a
YH
投影特性 三个投影都倾斜于投影轴，且都小于实长。 各个投影与投影轴的夹角都不反映直线对 投影面的倾角。
Z
●
b● a● X
b
作图步骤：
●
a
1)在a上方8mm ,左方12m 处确定b ； Y W 2)作bb⊥OX ,且在a 前 方10mm处确定b；
O a●
b
●
3)按投影关系求得b
YH
二、重影点的投影
V a● b ●
X
●
c● (d )
●
点A、B对H面的投影重合， 点C、D对V面的投影重合。
(2) 求直线AB的实长和倾角β
AB实长
b
a'A0 = aa0 a0B0 = a'b'
X
A0
β
a'
O
B0
β
a0 a
(d)
b
AB实长
三、三个直角三角形的含义
AB实长
b
β
Z
b''
γ
AB实长
a'
X O
a''
Yw
△X
实长 γ 侧面投影
α
b
YH
a
AB实长
△Z
实长 α 水平投影
△Y
实长 β 正面投影
例1：已知线段 AB 的实长L和 a'b' 及端点 A 的 水平投影a，求线段AB 的水平投影ab 。
aay = aaz = x = Aa（A到W面的距离） aax= aay = z = Aa （A到H面的距离）
一般位置点
空间点的三个坐标值X、Y、Z均不为 零，称该点为一般位置点。
特殊位置点
投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。 投影轴上点：空间点的坐标值有两个为零。
X 轴上点 （X、0、0） Y 轴上点 （0、Y、0） Z 轴上点 （0、0、Z）
A B L
L
b'
△Z
●
实长
A0
a'
X
b2
●
O
α 水平投影 利用ΔZ和AB＝L，确 定ab的长度，求出b。
a
b1
有两解
例1：已知线段 AB 的实长L和 a'b' 及端点 A 的水平投影a，求线段AB 的水平投影ab 。
A L B
b'
X
a' b2
△Y
实长
O
β 正面投影 利用ab 和AB＝L， 确定A、B两点的Y 坐 标差，从而求出b ；
a●
b0 b1
●
A0
有两解
例2：已知线段 EF 的投影e'f'及e，实长35mm， 完成它的投影。
实长35 f' e'
X
●
Z
●
f''源自△Y实长 β 正面投影 实长
e''
YW
△Z
O
e
●
f
YH
●
α 水平投影
利用 f 和实长，确定 E、 或利用 ΔZe 和实长，确定 ef的长 F 两点的Y坐标差，从而求出 f。 度，求出 f。
a
●
c b
●
C0
●
B0
二、两直线的相对位置 平行、相交、交叉（异面） ⒈ 两直线平行
V
c d a b d a
O
B D
a
X
c
b
A C
c
a c d
d
b
b
空间两直线平行，则其三面投影必相互平行， 反之亦然。 ab∥cd ，a b ∥ c d ， a b ∥ c d AB∥CD
Z
Z
上
V 左
上
右 下 后 上
左 右
下
X
后
左 前
O
右
W
下 前
X
后 前
O
后
前
YW
Y
YH
判断方法
★ ★ ★
a
Z
●
●
a
●
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前 z 坐标大的在上
X
a
●
b
●
b YW
o
●
b
YH
B点在A点之前、 之右、之下。
［例］如图，已知点A的三投影，另一点B在点A上方8mm， 左方12mm，前方10mm处，求点B的三个投影。
1.5 点、直线与直线的相对位置
一、直线上的点
V
b c ● a
X
Z
b
●
a
c●
b
C
●
c a
B
b
●
c W
a
O
b c
●
YW
A
b c a
●
a
YH
◆点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。 ◆点分割线段成定比。即： 定比定理
AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb
投影法及其分类 1.1 点的投影 1.2 两点的相对位置 1.3 直线的投影 1.4 线段的实长和对投影面的倾角 1.5 点、直线与直线的相对位置 本章小结
投影法及其分类
一、投影法的基本知识
投射线
A
●
投射中心
●
S
●
a
投影
P
投影法的分类：中心投影法和平行投影法
二、中心投影法
投射线都由一点出发的投影法叫 中心投影法，所得的投影叫中心投影。
投射中心 物体 投影面
●
S
投射线 投影
物体位置改 变，投影大 小也改变。
投 影 特 性 投射中心、物体、 投影面三者之间的相对 距离对投影的大小有影 响。
度量性较差。
中心投影法立体感强，常用来绘制建筑物 或产品的立体图，也称之为透视图。
⒉ 两直线相交
V c a k b
交点是两直 线的共有点
B
O a c b k d
d
C A
a
K
D
X
c
k
d b
a c
k
d b
若空间两直线相交，则其三面投影必 相交，且交点的投影符合点的投影特性。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
b c● a k d
先作正面投影
a
c k
第一分角、第二分角、第三分角和第四分角。
二、点的三面投影
投影面
Z V
◆正立投影面（简称正面
或V面）
◆水平投影面（简称水平 面或H面）
◆侧立投影面（简称侧面 或W面） 投影轴
X
O
W
Y
OX轴 OY轴 OZ轴
V面与H面的交线 H面与W面的交线 V面与W面的交线
三个投影面 互相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
ab=AB.cos
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
取决于直线与三个投影面的相对位置。
与三个投影面都倾斜
一般位置直线(∠ H ,∠ V,∠W)
水平线(∥H,∠V,∠W) 平行于某一投影面而 投影面平行线 正平线(∥V,∠H,∠W) 与其余两投影面倾斜 侧平线(∥W,∠H,∠V) 统称特殊位置直线 铅垂线(⊥H,∥V,∥W) 垂直于某一投影面 投影面垂直线 正垂线(⊥V,∥H,∥W) 侧垂线(⊥W,∥H,∥V)
原点上的点 （0、0、0）
Z
V
N n
●
n
●
n ●
Z n
●
X k
X
K k
k
●
n
●
m
●
O
●
k
●
W
m
Y
k n
●
●
●
m O k ●
m ●
YW
m
●
M m
●
YH
投影面和投影轴上点的投影
例1：已知A点的坐标(20,15,10),B点的坐标 (30,10,0)，C点的坐标(15,0,0),作出各 点的三面投影图。
⑵投影面平行线 水平线(∥H,∠V,∠W)
V
a
A
β
b
γ
a a b
B
W
b
Z
a
b
X
O
a
YW
β
a
γ
β γ
b
实长
b
YH
投影特性
① 平行于投影面反映实长，并反映直线与 另两投影面倾角。 ② 另两个投影面上的投影，平行于相应的 投影轴。
正平线
实长
b a
γ
侧平线
a b a b a a
反映该线段的实长，又不能反映对 投影面的倾角。本节介绍用直角三
角形法求一般位置直线段的实长及
其对投影面的倾角。
一、几何分析
V
b
b
B
a
β
ZB－ZA
B
a'
A1 A
a

B1
X
O
b b
YA－YB
(a)立体图
a
(b)投影图
在直角三角形AB1B中， AB1 =ab, B1B=Bb-Aa
直角三角形法
特殊位置直线
三、平行投影法
投射线都互相平行的投影法叫平行 投影法，所得的投影叫平行投影。
平行投影法：正投影法 斜投影法
投 影 特 性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。以后将
“正投影”简称为“投影”。
画透视图
投影法
中心投影法
画斜轴测图
平行投影法
斜投影法 正投影法
投影面展开
不动
Z Z
V
X
a ●
az
O
a● W
YW X
V
向右翻
●
a
●
az
●
ax
● a H
aYW
ax a
A
O
a ay
W
●
aYH
YH
向下翻
Y
a ● X
Z az
●
a V Yw a
●
Z
az
●
ax
a●
O
YH aYH
aYw
X ax
A
O
●
a
W
a
●
ay
Y
点的投影规律
① aa⊥OX 轴 aa⊥OZ轴 ② aax = aaz = y = Aa （A到V面的距离）
画工程图样 及正轴测图
1.1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A向投影面P 作垂线，交点a唯一确定。 反之，已知投影b， 不能确定空间点B。
点在一个投影面上的投 影不能确定点的空间位置。
P
●
A
a
●
P B1
●
B2
●
B3
●
●
b
采用多面投影
V
正（立）投影面
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ X
O
水平投影面
Ⅳ
两个互相垂直的平面将空间划分为四个分角：
k
●
k●
a
a
k
b
●
●
●
b b
k a
●
b
b
k
a
●
例3：如图，已知线段AB的投影（ ab, a'b'), 试在线段AB上取一点C，使AC之长等于给定 长度L ，求点C的投影（ c和c' ）。
c ● b
L
●
a'
X
O
作图步骤：
（3 4 ）自 c b B0的 2）先用直角三角形 ）在C a点引投影连 B （ 1 0点作 0上自a点 线，与 a' b' 交于 c' 点， 平行线，与 a b 交于点 法求出线段 起截取长度为 AB L 的实长 得 C0 c； 和c' 即为所求。 c a B 0； 点；
C
X
● ● ●
●
●
B
d●
●
b
a (b)
●
c
上遮下 对水平投影面， 前遮后 对正面投影面， 对侧面投影面， 左遮右
空间两点在某一投影面 上的投影重合为一点时，则称 此两点为该投影面的重影点。
●
重影点
a (b) c
●
●
A
D
a
c (d )
o
d
1.3 直线的投影
一、直线的投影特性
a ●
●
Z b O
c 实长
一般位置直线
f
a'
X
b
O
d
X O
X
e
O
a β 实长
e
γ
b
cd
f
水平线
铅垂线
1.4 直线段的实长和对投影面的倾角
一般位置直线的投影，既不能
反映该线段的实长，又不能反映对 投影面的倾角。本节介绍用直角三
角形法求一般位置直线段的实长及
其对投影面的倾角。
一、几何分析
V
b
b
B
a
β
ZB－ZA
●
a
●
两点确定一条直线，将两 X 点的同面投影用直线连接，就 a 得到直线的同面投影。
b
YW
● ●
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A
● ● ● ●
b
YH
●
B
A
●
B
C B
A●
●

●
a(b) (c )
●
a●
b
a●
b
直线⊥投影面 重合为一点 积 聚 性
直线∥投影面 反映实长
ab=AB
直线∠投影面 投影长变短
例1：判断点C是否在线段AB上。
① a
c
●
b
②
在
a
c
●
不在
b
a
③ a c ● b
●
c
b
a
c
●
b
a
●
不在
b
c
另一判断法?
a c●
b
利用定比定理
ac:cb=ac:cb
例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （利用定比定理） （利用第三投影） 解法二：
a
B
a'
A1 A
a

B1
X
O
b b
YA－YB
(a)立体图
a
(b)投影图
在直角三角形AB1B中， AB1 =ab, B1B=Bb-Aa
直角三角形法
二、作图方法
有两种作图方式。 (1) 求直线AB的实长和倾角α
b a'
X AB实长 α O
b0
A0
b a
α AB实长 (c)
B0
bB0 = b'b0 b0A0 = ab