平面向量数乘运算的坐标表示 课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
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解：（2）如图，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，
有两种情况
1
P1 P PP2
2
P1P 2PP2 .
2 x1 x2 2 y1 y2
(
,
)
3
3
x1 2 x2 y1 2 y2
（
,
)
3
3
巩固新知
探究：如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，
文字语言：实数与向量的积的坐标等于用这个实
数乘原来向量的相应坐标.
巩固新知
例1 已知 a (2,1), b ( 3,4),
解：
求
3a 4b 的坐标.
新知探究
向量与（ ≠ ）共线的充要条件是什么？
向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 ，使 a b
如何用坐标表示两个向量共线的条件？a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )
所以 AB // AC
y
因为有公共点A，
所以，A，B，C三点共线。
课堂练习
练习 已知点 A(0,1), B(1,0), C (1,2), D(2,1), 试判断 AB与
CD的位置关系，并证明.
巩固新知
例3.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
x1 x2
(
x
,
y
)
(
x
,
y
)
即 1 1
即
2
2
y1 y2
整理得 x1 y2 x2 y1 0
这就是说，向量 a, b(b 0) 共线的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
文字语言：坐标交叉相乘相减等于零
新知探究
向量平行(共线) 的两种形式:
6.3.4 平面向量的数乘
运算的坐标表示
教学目标
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示
2.会用坐标表示两个向量的共线条件
3.知道中点坐标公式及定比分点公式
4.体会数形结合思想
复习引入
ห้องสมุดไป่ตู้
1.向量 a 的坐标表示：
a x i y j ( x, y)
2.向量加、减法的坐标表示
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0)
3.已知A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则 AB ( x1 x2 , y1 y2 )
x1 x2
4.若 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 则 a b
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（1）如图，由向量的线性运算可知
1
x1 x2 y1 y2
OP (OP1 OP2 ) (
,
)
2
2
2
x1 x2 y1 y2
,
)
所以，点P的坐标是 (
2
2
巩固新知
若点 P1，P2 的坐标分别为 x1 , y1 , x2 , y2 . 线段 P1 P2 的中
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + 2
,
1＋
1＋
1 + 2 1 + 2
,
2
2
再
见
y1 y2
【向量共线定理】向量 a ( a 0) 与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使得 b a .
新知探究
已知向量a ( x, y ), 你能得出 a 的坐标吗？
a xi y j xi y j ,
即 a x， y .
例3.已知 A(1,1), B(1,3), C (2,5),
判断 A, B, C 三点之间的位置关系。
解： A, B, C 三点共线。
数
形
结
合
思
想
因为 AB (1 (1),3 (1)) (2,4)
AC (2 (1),5 (1)) (3,6)
因为 2 6 4 3 0
点P是直线P1P2上的一点，当 P1P PP2 时，点P的坐标是什么？
定比分点坐标公式
x1 x2 y1 y2
P(
,
)
1
1
课堂练习
1.已知O(0,0),向量 OA (2,3), OB (6,3),点P是线段AB的三等分点，求P点坐标.
课堂练习
2、已知点A（2,3），B（4，-3），点P在线段AB的延长线上，
(1)a // b (b 0) a b ;
(2)a // b (a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0)
x1 y2 x2 y1 0
巩固新知
例2.已知 a (4,2), b (6, y) ，且 a // b ，求
点P的坐标为( x, y ) ，则
中点坐标公式
x1 x2
x
,
2
y y1 y2 .
2
巩固新知
例3.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
3
且 AP PB ，求点P的坐标.
2
梳理总结
我们这节课学习了哪些内容？
类型名称
已知条件
坐标表示
向量数乘运算的坐标表示
＝(, )
＝(, )
向量共线的充要条件
线段定比分点坐标公式
线段中点坐标公式
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )
有两种情况
1
P1 P PP2
2
P1P 2PP2 .
2 x1 x2 2 y1 y2
(
,
)
3
3
x1 2 x2 y1 2 y2
（
,
)
3
3
巩固新知
探究：如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，
文字语言：实数与向量的积的坐标等于用这个实
数乘原来向量的相应坐标.
巩固新知
例1 已知 a (2,1), b ( 3,4),
解：
求
3a 4b 的坐标.
新知探究
向量与（ ≠ ）共线的充要条件是什么？
向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 ，使 a b
如何用坐标表示两个向量共线的条件？a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )
所以 AB // AC
y
因为有公共点A，
所以，A，B，C三点共线。
课堂练习
练习 已知点 A(0,1), B(1,0), C (1,2), D(2,1), 试判断 AB与
CD的位置关系，并证明.
巩固新知
例3.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
x1 x2
(
x
,
y
)
(
x
,
y
)
即 1 1
即
2
2
y1 y2
整理得 x1 y2 x2 y1 0
这就是说，向量 a, b(b 0) 共线的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
文字语言：坐标交叉相乘相减等于零
新知探究
向量平行(共线) 的两种形式:
6.3.4 平面向量的数乘
运算的坐标表示
教学目标
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示
2.会用坐标表示两个向量的共线条件
3.知道中点坐标公式及定比分点公式
4.体会数形结合思想
复习引入
ห้องสมุดไป่ตู้
1.向量 a 的坐标表示：
a x i y j ( x, y)
2.向量加、减法的坐标表示
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0)
3.已知A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则 AB ( x1 x2 , y1 y2 )
x1 x2
4.若 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 则 a b
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（1）如图，由向量的线性运算可知
1
x1 x2 y1 y2
OP (OP1 OP2 ) (
,
)
2
2
2
x1 x2 y1 y2
,
)
所以，点P的坐标是 (
2
2
巩固新知
若点 P1，P2 的坐标分别为 x1 , y1 , x2 , y2 . 线段 P1 P2 的中
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + 2
,
1＋
1＋
1 + 2 1 + 2
,
2
2
再
见
y1 y2
【向量共线定理】向量 a ( a 0) 与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使得 b a .
新知探究
已知向量a ( x, y ), 你能得出 a 的坐标吗？
a xi y j xi y j ,
即 a x， y .
例3.已知 A(1,1), B(1,3), C (2,5),
判断 A, B, C 三点之间的位置关系。
解： A, B, C 三点共线。
数
形
结
合
思
想
因为 AB (1 (1),3 (1)) (2,4)
AC (2 (1),5 (1)) (3,6)
因为 2 6 4 3 0
点P是直线P1P2上的一点，当 P1P PP2 时，点P的坐标是什么？
定比分点坐标公式
x1 x2 y1 y2
P(
,
)
1
1
课堂练习
1.已知O(0,0),向量 OA (2,3), OB (6,3),点P是线段AB的三等分点，求P点坐标.
课堂练习
2、已知点A（2,3），B（4，-3），点P在线段AB的延长线上，
(1)a // b (b 0) a b ;
(2)a // b (a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0)
x1 y2 x2 y1 0
巩固新知
例2.已知 a (4,2), b (6, y) ，且 a // b ，求
点P的坐标为( x, y ) ，则
中点坐标公式
x1 x2
x
,
2
y y1 y2 .
2
巩固新知
例3.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
3
且 AP PB ，求点P的坐标.
2
梳理总结
我们这节课学习了哪些内容？
类型名称
已知条件
坐标表示
向量数乘运算的坐标表示
＝(, )
＝(, )
向量共线的充要条件
线段定比分点坐标公式
线段中点坐标公式
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )