甘肃省天水市一中蓝天班2008级2009—2010学年度第二学期第一阶段数学考试

天水市一中2008级2009--2010学年第二学期第一阶段考试
数学（兰天班）
一、选择题 1
．函数y ）
A ．{}
|0x x ≥ B ．{}
|1x x ≥ C ．{}{}|1
0x x ≥
D ．{}
|01x x ≤≤
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）
3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．
2133
+b c
B ．5
233
-
c b C ．
2133
-b c
D ．1
233
+
b c 4．设a ∈R ，且2
()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
6．若函数(1)y f x =-
的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =
（ ）
A ．e 2x-1
B ．e 2x
C ．e 2x+1
D ． e 2x+2
7．设曲线1
1
x y x +=
-在点(32)，
处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2
B ．12
C ．1
2
- D ．2-
8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
A ．向左平移
5π
12个长度单位 B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式
()()
0f x f x x
--<的解集为（ ）
A ．(10)
(1)-+∞，，
B ．(1)(01)-∞-，，
C ．(1)(1)-∞-+∞，，
D ．(10)
(01)-，，
10．若直线
1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．22
1a b +≥ C ．22111a b
+≤
D ．2211
1a b
+≥
11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为
ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．
13
B
．
3
C
．
3
D ．
23
12．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪
-+⎨⎪⎩
，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．
14．已知抛物线2
1y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
15．在ABC △中，AB BC =，7
cos 18
B =-
．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．
16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --
的余弦值为
3
，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a 、b 、c ，且3
cos cos 5
a B
b A
c -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =
，
CD =AB AC =．
（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；
（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．
19．（本小题满分12分）
已知函数3
2
()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()f x 在区间2
133⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
内是减函数，求a 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
C
D
E A
B
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
21．（本小题满分12分）
双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于
1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；
（Ⅲ）设1(1)b a ∈，
，整数11ln a b
k a b
-≥．证明：1k a b +>．
天水市一中2008级2009--2010学年第二学期第一阶段考试
数学答题卡（兰天班）
座位号
二、填空题
13. 14.
15. 16.
三、解答题
17.
18.
19.
20.
21.
22.
天水一中2008级2009--2010学年度第二学期第一阶段考试
兰天班数学（答案）
一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D ． 11.B ． 12.B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9．
14. 答案：2.
15.答案：
38
. 16.答案：
16
. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得
a=
C
B
c b C A c sin sin ,sin sin =
acosB-bcosA=(A C
B
B C A cos sin sin cos sin sin ⋅-⋅)c
=
c B A A B B A ⋅+-)sin(cos sin cos sin =c B
A B A B
A B A ⋅+-sin cos cos sin sin cos cos sin
=
1cot tan )1cot (tan +-B A c B A 依题设得c B A c B A 5
3
1cot tan )1cot (tan =+-
解得tanAcotB=4
(II)由（I ）得tanA=4tanB ，故A 、B 都是锐角，于是tanB>0 tan(A-B)=
B A B A tan tan 1tan tan +-=B B 2
tan 41tan 3+≤4
3
， 且当tanB=21时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为4
3
18．解：
(I)作AO ⊥BC ，垂足为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 中点， 由
2
1
==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ， 从而∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ， 由三垂线定理知，AD ⊥CE
（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧面ABC ，又BE ⊂侧面ABE ，所以侧面ABE ⊥侧面ABC 。

作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，则CF ⊥平面ABE 故∠CEF 为CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF=45° 由CE=6，得CF=3
又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC 为等边三角形 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE 。

由（I ）知，CE ⊥AD ，又CE ∩CG=C ，
故AD ⊥平面CGE ，AD ⊥GE ，∠CGE 是二面角C-AD-E 的平面角。

CG=
3
2
622=
⨯=⨯AD CD AC GE=,6,3
10652)21
(2
2==⨯=-⨯CE AD DE AD DE
cos ∠CGE=10103
10
3226
310
3422
2
2
-=⨯
⨯-+=⋅-+GE CG CE GE CG
所以二面角C-AD-E 为arccos(10
10-
)
解法二：
（I ）作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz. 设A （0,0,t ），由已知条件有 C(1,0,0), D(1,2,0), E(-1,
2,0),
),2,1(),0,2,2(t AD CE -=-=
所以0=⋅AD CE ，得AD ⊥CE
（II ）作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ， 设F （x,0,z ）则CF =(x-1,0,z),
0),0,2,0(=⋅=BE CF BE
故CF ⊥BE ，又AB ∩BE=B ，所以CF ⊥平面ABE ， ∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF=45° 由CE=6，得CF=3
又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC 为等边三角形，因此A （0，0，3） 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE ，在Rt △ACD 中，求得|AG|=
3
2
|AD| 故G[3
3,322,32
]
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=33,32,35,33,322,31 又)3,2,1(-=AD
0,0=⋅=⋅ 所以与的夹角等于二面角C-AD-E 的平面角。

由cos(GE GC ,10
10||||-=⋅GE GC 知二面角C-AD-E 为arccos(10
10-
) （19）解：
（Ⅰ）f ´(x)=3x 2+2ax+1，判别式Δ=4(a 2-3)
（i ）若a>3或a<3-，则在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---∞-33a a ,2上f ´(x)>0，f(x)是增函数； 在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+----33a a ,33a a 22 内f ´(x)<0，f(x)是减函数； 在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-+-,33a a 2上f ´(x)>0，f(x)是增函数。

（ii ）若3-<a<3，则对所有x ∈R 都有f ´(x)>0，故此时f(x)在R 上是增函数。

（iii ）若a=3±，则f ´(3a -
)=0，且对所有的x ≠3
a -都有f ´(x)>0，故当a=3±时，f(x)在R 上是增函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只有当a>3或a<3-时，f(x)在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+----33a a ,33a a 22内是减函数。

因此 33a a 2---≤3
2- ① 且
33a a 2-+-≥31- ② 当|a|>3时，由①、②解得a ≥2
因此a 的取值范围是[2,+∞）。

（20）解：
记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，
B 1、B 2分别表示依方案乙需化验2次、3次，
A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。

依题意知A 2与
B 2独立。

（Ⅰ）221B A A A +=
51C 1)A (P 151==，51A A )A (P 25142==，5
2C C C C )B (P 133512242=⋅⋅=。

P(A )=P(A 1+A 2·B 2)
=P(A 1)+P(A 2·B 2)
=P(A 1)+P(A 2)·P(B 2)
=
5
25151⨯+ =25
7 所以 P(A)=1-P(A )=2518=0.72 （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3.
P(B 1)=5
3C C C C C 1335243534=⋅+，P(B 2)=52，P(ξ=2)=P(B 1)=53，P(ξ=3)=P(B 2)= 52， 所以E ξ=4.25
12523532==⨯+⨯
（次）。

（21）解： （Ⅰ）设双曲线方程为1b
y a x 22
22=-(a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则c 2=a 2+b 2 不妨设l 1：bx-ay=0，l 2：bx+ay=0
则 b b a |0a c b ||FA |22=+⨯-⨯=
，
a AF OF ||22=-=。

因为||2+||2=||2，且
|OB |=2||-|OA |，所以||2+|OA |2=(2||-|OA |)2，
于是得tan ∠3
4||||=OA AB 。

又与同向，故∠AOF=21∠AOB ， 所以 34AOF tan 1AOF
tan 22=∠-∠解得 tan ∠AOF=2
1，或tan ∠AOF=-2（舍去）。

因此 b 5b a c ,b 2a ,21a b 22=+===。

所以双曲线的离心率e=a
c =25 （Ⅱ）a=2b 知，方程可化为 x 2-4y 2=4b 2 ① 由l 1的斜率为21，c=5b 知，直线AB 的方程为 y=-2(x-5b) ②
将②代入①并化简，得
15x 2-325bx+84b 2=0
设AB 与双曲线的两交点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则
x 1+x 2=15b 532，x 1·x 2=15b 842
③
AB 被双曲线所截得的线段长
l=]x x 4)x x [(5|x x |)2(121221212-+=-⋅-+ ④
将③代入④，并化简得l=3b
4，而由已知l=4，故b=3，a=6 所以双曲线的方程为19y 36x 2
2=-
22、解：（I ）当0<x<1时 f ′(x)=1-lnx-1=-lnx>0
所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数，
（II ）当0<x<1时，f(x)=x-xlnx>x 又由（I ）有f(x)在x=1处连续知，
当0<x<1时，f(x)<f(1)=1 因此，当0<x<1时，0<x<f(x)<1 ① 下面用数学归纳法证明： 0<a n <a n+1<1 ②
(i)由0<a 1<1, a 2=f(a 1)，应用式①得0<a 1<a 2<1，即当n=1时，不等式②成立
(ii)假设n=k 时，不等式②成立，即0<a k <a k+1<1
则由①可得0<a k+1<f(a k+1)<1，即0<a k+1<a k+2<1
故当n=k+1时，不等式②也成立
综合(i)(ii)证得：a n <a n+1<1
(III)由（II ）知，{a n }逐项递增，故若存在正整数m ≤k,使得a m ≥b,则a k+1>a m ≥b 否则，若a m <b(m ≤k)，则由0<a 1≤a m <b<1(m ≤k)知，
a m lna m ≤a 1lna m <a 1lnb<0 ③
a k+1=a k -a k lna k
=a k-1-a k-1lna k-1-a k lna k …… =a 1-∑=k
m 1
a m lna m
k
m1a m lna m<k (a1lnb) 于是a k+1>a1+k|a1lnb|≥a1+(b-a1)=b
由③知∑
=。