专题04 手拉手模型证全等(解析版)

专题04 手拉手模型证全等
类型一等边手拉手
1．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；
（2）线段AN与线段BM交于点O，求∠AOM的度数；
（3）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）AN＝BM，见解析；（2）60°；（3）等边三角形，见解析
【解析】
【分析】
（1）证△ACN≌△MCB（SAS），即可得出AN＝BM；
（2）由全等三角形的性质得∠ANC＝∠MBC，则∠AOM＝∠CAN+∠MBC＝∠CAN+∠ANC ＝∠BCN＝60°；
（3）证△ACE≌△MCF（ASA），得CE＝CF，即可得出结论．
【详解】
解：（1）AN＝BM，理由如下：
∵△ACM、△CBN都是等边三角形，
∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠ACM +∠MCN ＝∠BCN +∠MCN ，
∴∠ACN ＝∠BCM ，
在△ACN 和△MCB 中，
AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACN ≌△MCB （SAS ），
∴AN ＝BM ；
（2）由（1）得：△ACN ≌△MCB ，
∴∠ANC ＝∠MBC ，
∴∠AOM ＝∠CAN +∠MBC ＝∠CAN +∠ANC ＝∠BCN ＝60°；
（3）△CEF 是等边三角形，理由如下：
∵△ACN ≌△MCB ，
∴∠CAE ＝∠CMF ，
∵∠MCF ＝180°﹣∠ACM ﹣∠BCN ＝60°，
∴∠ACE ＝∠MCF ，
在△ACE 和△MCF 中，
CAE CMF AC MC
ACE MCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ACE ≌△MCF （ASA ），
∴CE ＝CF ，
∵∠MCF ＝60°，
∴△CEF 是等边三角形．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．如图，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∠ABC ＜105°，AE 与DC 交于点F ． （1）求证：AE ＝DC ；
（2）求∠BFE 的度数；
（3）若AF ＝9.17cm ，BF ＝1.53cm ，CF ＝7.53cm ，求CD ．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）18.23cm
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．从而可证∠DBC ＝∠ABE．即可利用“SAS”可证明△DBC≌△ABE，得出结论AE＝DC．
（2）过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF ＝∠BAF．再结合等边三角形的性质可求出∠FDA+∠DAF＝120°，进而求出∠DF A＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”证明△BEH≌△BCN，得出结论BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．
（3）延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ．根据所作辅助线可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即证明△AFQ是等边三角形，得出结论AF＝AQ＝BQ，∠F AQ＝60°．又可证明∠DAF＝
∠BAQ．利用“SAS”可证明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
【详解】
（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，
∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，
∵在△DBC和△ABE中，
BD AB
DBC ABE BC BE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴AE＝DC；
（2）解：如图，过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．
∵△DBC ≌△ABE ，
∴∠BEH ＝∠BCN ，∠BDF ＝∠BAF ，
∵△ABD 是等边三角形，
∴∠BDA +∠BAD ＝120°，
∴∠FDA +∠DAF ＝120°，
∴∠DF A ＝180°-120°＝60°，
∴∠DFE ＝180°-60°＝120°，
在△BEH 和△BCN 中，
90BEH BCN BHE BNC BE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△BEH ≌△BCN （AAS ），
∴BH ＝BN ，
∴BF 平分∠DFE ，
∴∠BFE ＝12∠DFE ＝1
2×120°＝60°；
（3）解：如图，延长BF 至Q ，使FQ ＝AF ，连接AQ ．
则∠AFQ ＝∠BFE ＝60°，
∴△AFQ 是等边三角形，
∴AF ＝AQ ＝BQ ，∠F AQ ＝60°，
∵△ABD 是等边三角形，
∴AD ＝AB ，∠DAB ＝60°，
∴∠DAB +∠BAF ＝∠BAF +∠F AQ ，即∠DAF ＝∠BAQ ，
在△DAF 和△BAQ 中，AD AB DAF BAQ AF AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△DAF ≌△BAQ （SAS ），
∴DF ＝BQ ＝BF +FQ ＝BF +AF ，
∴CD ＝DF +CF ＝BF +AF +CF ＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm ．
【点睛】
本题为三角形综合题．考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定和性质．正确的作出辅助线也是解答本题的关键． 3．如图，点C 为线段BD 上一点，,ABC CDE △△都是等边三角形，AD 与CE 交于点,F BE 与AC 相交于点G ．
（1）求证：≌ACD BCE ；
（2）求证：ACF BCG ≌
（3）若8,25CF CG BD +==，求ACD △的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】
【分析】
（1）根据SAS 即可证明△BCE ≌△ACD ；
（2）由△ACD ≌△BCE 可得∠CBG =∠CAF ，从而利用ASA 可证明△ACF ≌△BCG ；
（3）求出CG =CF =4，过G 作GM ⊥BD 于M ，过点F 作FN ⊥BD 于N ，求出GM ，FN ，根据S △ACD =S △ACF +S △CDF =S △BCG +S △CDF 可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC ，△CDE 是等边三角形，
∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，
∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，
即∠BCE =∠DCA ，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．
（2）由（1）得△ACD ≌△BCE ，
∴∠CBG =∠CAF ，
又∵∠ACF =∠BCG =60°，BC =AC ，
在△ACF 和△BCG 中，
ACF BCG BC AC
CAF CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩
， ∴△ACF ≌△BCG （ASA ）；
（3）∵△ACF ≌△BCG ，
∴S △ACF =S △BCG ，CG =CF ，而CF +CG =8，
∴CG =CF =4，
过G 作GM ⊥BD 于M ，过点F 作FN ⊥BD 于N ，
又∵∠ACB =∠DCE =60°，
∴GM
=FN
= ∴S △ACD =S △ACF +S △CDF
=S △BCG +S △CDF =12BC •GM +1
2CD •FN
=12
⨯（BC +CD ）
=
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG =CF 是解答此题的关键．
类型二 等直手拉手
4．已知：两个等腰直角三角板△ACB 和△DCE （AC ＝BC ，
DC ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°）如图所示摆放，连接AE 、BD 交于点O ．AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N ．
（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE 与BD 有何关系并说明理由； （2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC ＝DC ），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
【答案】（1）AE ＝BD 且AE ⊥BD ．理由见解析；（2）△ACB ≌△DCE ，△EMC ≌△BCN ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE
【解析】
【分析】
（1）证明△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ，∠CEA ＝∠BDC ，由∠CME ＝∠DMO ，根据三角形内角和定理即可得∠DOM ＝∠ECM ＝90°，进而可证AE ⊥BD ．
（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形．
【详解】
解：（1）结论；AE ＝BD 且AE ⊥BD ．理由如下：
∵∠ACB ＝∠DCE ，
∴∠ACB +∠DCA ＝∠DCE +∠DCA ，
即∠DCB ＝∠ACE ，
∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，
在△ACE 与△BCD 中，
AC BC ACE DCB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴AE ＝BD ，∠CEA ＝∠BDC ，
∵∠CME ＝∠DMO ，
∴180()180()CEA CME DMO BDC ︒-∠+∠=︒-∠+∠，
即∠DOM ＝∠ECM ＝90°，
∴AE ⊥BD ，
∴AE ＝BD 且AE ⊥BD ；
（2）∵AC ＝DC ，
∴AC ＝CD ＝EC ＝CB ，
在△ACB 与△DCE 中，
AC DC ACB DCE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACB ≌△DCE （SAS ）；
由（1）可知：∠AEC ＝∠BDC ，∠EAC ＝∠DBC ，
∴∠DOM ＝90°，
∵∠AEC ＝∠CAE ＝∠CBD ，
∴△EMC ≌△BCN （ASA ），
∴CM ＝CN ，
∴DM ＝AN ，
∴△AON ≌△DOM （AAS ），
∵DE ＝AB ，AO ＝DO ，
∴△AOB ≌△DOE （HL ）．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 5．已知Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为边作Rt ADE △，AD AE =，连接CE ．
（1）发现问题：如图①，当点D 在边BC 上时，
①请写出BD 和CE 之间的数量关系________，位置关系________；
②线段CE 、CD 、BC 之间的关系是_________；
（2）尝试探究：如图②，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，（1）中CE 、CD 、BC 之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，若6BC =，
1CE =，则线段AD 的长为________．
【答案】（1）①BD CE =，BD CE ⊥．②BC CE CD =+．
（2）不成立，CE BC CD =+．
（3）5
【解析】
【分析】
（1）①根据全等三角形的判定定理证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质证明； ②根据全等三角形的对应边相等证明即可；
（2）证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质解答即可；
（3）根据△BAD ≌△CAE 得到BD =CE =1，再证明△DCE 是直角三角形，利用勾股定理求出DE ，即可求出AD 的长度；
【详解】
（1）①解：结论：BD =CE ，BD ⊥CE ，
理由：∵∠ABC =∠ACB =45°，∠ADE =∠AED =45°，
∴∠BAC =∠DAE =90°，
∴∠BAD =∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE ，
∴BD =CE ，∠ACE =∠B =45°，
∴∠BCE =90°，即BD ⊥CE ，
故答案为：BD =CE ；BD ⊥CE ；
②证明：∵BD =CE ，
∴BC =BD +CD =CE +CD ；
故答案为：BC CE CD =+．
（2）解：（1）中BC 、CE 、CD 之间存在的数量关系不成立，新的数量关系是CE =BC +CD ， 理由：∵∠BAC =∠DAE =90°，
∴∠BAD =∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE ，
∴BD =CE ，
∴CE =BC +CD ；
（3）解：∵∠BAC =∠DAE =90°，
∴∠BAD =∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE ，
∴BD =CE =1，∠ABD =∠ACE =135°，
∵∠ACB =45°，
∴∠DCE =90°，
在Rt △DCE 中，CD =BD +BC =7，CE =1，
∴DE
=
∴52
AD ==； 故答案为：5．
【点睛】
本题考查三角形综合题，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．
（1）如图1，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE ＝AF 、求证：△DEF 是等腰直角三角形
经过分析已知条件AB ＝AC ，D 为BC 的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，
连结AD （如图2），以下是某同学由己知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：
①___≅____，
②∠EDF ＝___
（2）如果E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，试猜想△DEF
是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．
【答案】（1）△BDE ，△ADF ，90°；（2）△DEF 仍为等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AD ，根据∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，可以得到∠B =∠C =45°，
AD ⊥BC ，1==452BAD CAD BAC =∠∠∠，12
AD CD BD BC ===，从而可以证明△BDE ≌△ADF （SAS ），得到DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，由∠ADE +∠BDE =∠BDA =90°，可得
∠ADE +∠ADF =90°，即∠EDF =90°，即可证明；
（2）连接AD ，同样证明△BDE ≌△ADF （SAS ），得到DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，再由∠ADF +∠BDF =∠BDA =90°，即可得到∠BDE +∠BDF =90°，即∠EDF =90°，即可证明．
【详解】
解：（1）如图所示，连接AD ，
∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，
∴∠B =∠C =45°，AD ⊥BC ，1==452BAD CAD BAC =∠∠∠，12
AD CD BD BC ===， ∴∠B =∠BAD =∠CAD ，
在△BDE 和△ADF 中，
BD AD B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDE ≌△ADF （SAS ），
∴DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，
∵∠ADE +∠BDE =∠BDA =90°，
∴∠ADE +∠ADF =90°，即∠EDF =90°，
∴△DEF 是等腰直角三角形；
故答案为：△BDE ，△ADF ，90°；
（2）△DEF 仍为等腰直角三角形，理由如下：
连接AD ，
∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，
∴∠ABC =∠C =45°，AD ⊥BC ，1==452BAD CAD BAC =∠∠∠，12
AD CD BD BC ===， ∴∠F AD =180°-∠CAD =135°，∠EBD =180°-∠ABC =135°，
∴∠F AD =∠EBD ，
在△BDE 和△ADF 中，
BD AD EBD FAD BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDE ≌△ADF （SAS ），
∴∴DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，
∵∠ADF +∠BDF =∠BDA =90°，
∴∠BDE +∠BDF =90°，即∠EDF =90°，
∴△DEF 是等腰直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
7．（1）问题发现：
如图1，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB ∠的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；
（2）拓展探究：
如图2，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题：
如图3，ACB △和DCE 均为等腰三角形，ACB DCE α∠=∠=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含α的式子表示）
【答案】（1）90°，AD =BE ；（2）AD =BE ，AD ⊥BE ；（3）α
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可得AC BC ＝，CD CE ＝，进而根据∠ACB −∠DCB ＝∠DCE −∠DCB ，可
得∠ACD ＝∠BCE ，证明△ACD ≌△BCE （SAS ），即可求得AD =BE ；∠BEC =∠CDA =135°；
（2）延长AD 交BE 于点F ，同理可得△ACD ≌△BCE ，设∠F AB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α，
根据∠ABE =45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB =180°-∠F AB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；
（3）延长BE 交AD 于点G ，方法同（2）证明△ACD ≌△BCE ，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线AD 和BE 的夹角．
【详解】
（1）∵ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，
∴AC BC ＝，CD CE ＝，∠CDE =45°
∴∠CDA =135°
∵∠ACB −∠DCB ＝∠DCE −∠DCB ，
∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，
AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴∠BEC =∠ADC ＝135°，AD ＝BE
∴∠AEB =90°
故答案为：90°，AD ＝BE
（2）AD =BE ，AD ⊥BE ，理由如下，
同理可得△ACD ≌△BCE ，
则AD =BE ，
延长AD 交BE 于点F ，
设∠F AB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α
∴∠ABE =45°+45°-α=90°-α
∴∠AFB =180°-∠F AB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°
∴AD ⊥BE
（3）如图，延长BE 交AD 于点G ，
∵ACB △和DCE 均为等腰三角形，
∴AC BC ＝，CD CE ＝，
∵∠ACB =∠DCE =α，
∵∠ACB +∠ACE ＝∠DCE +∠ACE ，
∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，
AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴∠CBE =∠CAD
∵ACB DCE α∠=∠=
∴∠CBA =∠CAB =()11180=9022
αα︒-︒- ∴∠GAB +∠GBA =()()CAD CAB ABC CBE ∠+∠+∠-∠，
ABC CAB =∠+∠180α=︒-，
∴∠AGB =180°-(∠GAB +∠GBA )α= ，
即直线AD 和BE 的夹角为α．
故答案为：α．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键．
8．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．
（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为；
（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点；
（3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．
【答案】（1）68︒；（2）见解析；（3）36
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可得45D C ∠=∠=︒，对顶角AQD CQF ∠=∠，则DAC DFC ∠=∠，根据DAE CAB ∠=∠即可的DFC BAE ∠=∠；
（2）过点B 作ME 的垂线交EM 的延长线于N ,证明AEC BNA △≌△，得AE BN =,进而可得AD NB =，再证明DAM BNM △≌△即可得证点M 为BD 中点；
（3）延长AG 至K ，使得9GK AG ==，连接CK ，设AE 交BC 于点P ，先证明ABE ACD △≌△，进而证明AEG KCG △≌△，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得BAD KCA ∠=∠，进而证明ABD CAK △≌△，再根据,90CAG ABD BAC ∠=∠∠=︒,证明AH BD ⊥，根据已知条件求得ABD S
最后证明AEC ABD S S =即可．
【详解】 （1）设DF 交AC 于Q ，如图1，
ABC 是等腰Rt ABC 和ADE 是等腰Rt ADE △
AQD CQF ∠=∠
180,180DAQ D AQD QFC C CQF ∠=-∠-∠∠=-∠-∠
DAQ QFC ∴∠=∠
90BAC EAD ∠=∠=︒
即BAE EAQ EAQ QAD ∠+∠=∠+∠
BAE QAD ∴∠=∠
DFC BAE ∴∠=∠
68BAE ∠=︒
68DFC ∴∠=︒
故答案为68︒
（2）如图2，过点B 作ME 的垂线交EM 的延长线于N ,
90N ∴∠=︒
90AEC =︒∠
N AEC ∴∠=∠
90BAC ∠=︒
90EAC NAB ∴∠+∠=︒
90NAC ACE ∠+∠=︒
NAB ECA ∴∠=∠ ABC 是等腰Rt ABC 和ADE 是等腰Rt ADE △
,AB AC AD AE ∴== 又AC AB =
∴AEC BNA △≌△
NB AE ∴=
AE AD =
AD NB ∴=
90DAE ∠=︒
DAM N ∴∠=∠
又DMA BMN ∠=∠
DAM BNM ∴△≌△
DM BM ∴=
即M 是BD 的中点
（3）延长AG 至K ，使得9GK AG ==，连接CK ，设AE 交BC 于点P ，如图
90BAC EAD ∠=∠=︒
即BAE EAC EAC CAD ∠+∠=∠+∠
BAE CAD ∴∠=∠
ABC 是等腰Rt ABC 和ADE 是等腰Rt ADE △
,AB AC AE AD ∴==
在ABE △与ACD △中，
AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE △≌ACD △（SAS ）
ABE ABD S S ∴=△△，BE CD = G 点是EC 的中点
EG GC ∴=
AGE KGC ∠=∠，AG GK =
AGE KGC ∴△≌△（SAS ）
∴,AE CK AEG KCG =∠=∠
,AE KC AD ∴==
ACK ACB BCE KCG ∠=∠+∠+∠
45AEC BCE =︒+∠+∠
45ABC BAP =︒+∠+∠
90BAE =︒+∠
BAD =∠
AKC ABD ∴△≌△（SAS ）
18BD AK ∴==，CAK ABD ∠=∠
90BAG CAG ∠+∠=︒
90ABD BAG ∴∠+∠=︒
即90AHB ∠=︒
9AG =，5HG =
954AH AG HG ∴=-=-=
111843622
ABD S BD AH ∴=⋅=⨯⨯=△ 36AEC AEG AGC GCK AGC ACK ABD S S S S S S S =+=+===△△△△△△△
∴AEC S 36=
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．
类型三 等腰手拉手
9．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，在△ADE 中，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ，连接BD ，CE 交于点F ，连接AF ．
(1)求证：△ABD ≌△ACE ；
(2)求证：F A 平分∠BFE ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据SAS 证明结论即可；
（2）作AM ⊥BD 于M ，作AN ⊥CE 于N ．由（1）可得BD ＝CE ，S △BAD ＝S △CAE ，然后根
据角平分线的性质即可解决问题．
(1)
证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC +∠CAD ＝∠DAE +∠CAD ，
即∠BAD ＝∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ）；
(2)
证明：如图，作AM ⊥BD 于M ，作AN ⊥CE 于N ．
由△BAD ≌△CAE ，
∴BD ＝CE ，S △BAD ＝S △CAE ， ∵1122
BD AM CE AN ⋅⋅=⋅⋅， ∴AM ＝AN ，
∴点A 在∠BFE 平分线上，
∴F A 平分∠BFE ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．
10．如图，在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =α，连接BD 和CE 相交于点P ，交AC 于点M ，交AD 于点N ．
(1)求证：BD=CE．
(2)求证：AP平分∠BPE．
(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)PE=AP+PD，见解析
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE；
（2）由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，由三角形面积公式可得AH=AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；
（3）由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO=AP，可证△APO是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解．
(1)
证明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
(2)
证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，
∴1
2BD×AH=
1
2
CE×AF，
∴AH=AF，
又∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE；
(3)
解：PE=AP+PD，理由如下：
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
又∵OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP=AO，
∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，
∴∠NPD=∠DAE=α=60°，
∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，
又∵AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，
又∵AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP =PO ，
∵PE =PO +OE ，
∴PE =AP +PD ．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD ≌△CAE 是解本题的关键．
11．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，连接BD ，CE ，BD 与CE 交于点O ，BD 与AC 交于点F ．
（1）求证：BD ＝CE ．
（2）若∠BAC ＝48°，求∠COD 的度数．
（3）若G 为CE 上一点，GE ＝OD ，AG ＝OC ，且AG ∥BD ，求证：BD ⊥AC ．
【答案】（1）见解析；（2）132°；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据∠BAC ＝∠DAE ，推出∠BAD =∠CAE ，从而结合“SAS ”证明△BAD ≌△CAE ，即可得出结论；
（2）根据外角定理推出∠COD =∠OBC +∠BCA +∠ACE ，结合全等三角形的性质推出∠COD =∠ABC +∠BCA ，最后在△ABC 中利用内角和定理求解即可；
（3）连接AO ，根据题意确定△ADO ≌△AEG ，得到∠OAD =∠GAE ，AO =AG ，再结合题干条件推出△AOC 为等腰三角形，以及∠BOA =∠BOC ，从而根据“三线合一”证明即可．
【详解】
（1）证：∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC +∠CAD ＝∠DAE +∠CAD ，
即：∠BAD =∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BAD ≌△CAE (SAS )，
∴BD =CE ；
（2）解：∵∠COD =∠OBC +∠BCO ，∠BCO =∠BCA +∠ACE ，
∴∠COD =∠OBC +∠BCA +∠ACE ，
∵△BAD ≌△CAE ，
∴∠ABD =∠ACE ，
∴∠COD =∠OBC +∠BCA +∠ABD =∠ABC +∠BCA ，
∵∠BAC ＝48°，
∴∠ABC +∠BCA =180°-48°=132°，
∴∠COD =132°；
（3）证：如图所示，连接AO ，
∵△BAD ≌△CAE ，
∴∠ADO =∠AEG ，
在△ADO 和△AEG 中，
E A ADO A G E E D G D A O =⎧⎪⎨⎪∠==⎩
∠ ∴△ADO ≌△AEG (SAS )，
∴∠OAD =∠GAE ，AO =AG ，
∴∠AOG =∠AGO ，
∴∠OAD +∠DAG =∠GAE +∠DAG ，
即：∠OAG =∠DAE ，
∵∠DAE =∠BAC ，
∴∠BAC =∠OAG ，
在△ABF 和△COF 中，∠BAC =180°-∠ABD -∠AFB ，∠BOC =180°-∠ACE -∠CFO ， 由（2）知∠ABD =∠ACE ，
∵∠AFB =∠CFO ，
∴∠BAC =∠BOC ，
∴∠BOC =∠OAG ，
∵AG ∥BD ，
∴∠BOA =∠OAG ，
∴∠BOA =∠BOC ，
∵AO =AG ，AG =CO ，
∴AO =CO ，
即：△AOC为等腰三角形，
∵∠BOA=∠BOC，
∴OF⊥AC，
∴BD⊥AC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题关键．
类型四手拉手综合
12．现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA 所在直线上．以MN为边作如图所示的等边△MNP．
（1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP；
（2）如图2当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明．
【答案】（1）见解析；（2）AM+AN=AP，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）在AB上取点C，使得AC=AM，则△ACM为等边三角形，结合“手拉手”模型证明
△CMN≌△AMP，得到CN=AP，即可得证；
（2）在射线AO上取点D，使得AN=AD，仿照（1）的过程证明△DNM≌△ANP，即可得到AP=DM，从而得出结论．
【详解】
证：（1）由题意可知，∠BAO =60°，
如图所示，在AB 上取点C ，使得AC =AM ，
则△ACM 为等边三角形，MC =MA ，∠CMA =60°，
∵△NMP 为等边三角形，
∴MN =MP ，∠NMP =60°，
∴∠CMA =∠NMP ，
∴∠CMA -∠NMA =∠NMP -∠NMA ，
∴∠CMN =∠AMP ，
在△CMN 和△AMP 中，
M M CMN A P P A N M C M M =⎧⎪⎨⎪∠==⎩
∠ ∴△CMN ≌△AMP (SAS )，
∴CN =AP ，
∴CN +AN =AP +AN =AC ，
∵AC =AM ，
∴AP +AN =AM ，
∴AM -AN =AP ；
（2）AM +AN =AP ，理由如下：
如图所示，在射线AO 上取点D ，使得AN =AD ，
∵∠BAO =60°，
∴△AND 为等边三角形，ND =NA ，∠DNA =60°，
∵△NMP 为等边三角形，
∴NM =NP ，∠MNP =60°，
∴∠DNA =∠MNP ，
∴∠DNA +∠ANM =∠MNP +∠ANM ，
∴∠DNM =∠ANP ，
在△DNM 和△ANP 中，
N N DNM A P P A M N D N N =⎧⎪⎨⎪∠==⎩
∠ ∴△DNM ≌△ANP (SAS )，
∴AP =DM ，
∵AN =AD ，DA +AM =DM ，
∴AN +AM =AP ．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，掌握双等边三角形中“手拉手”模型是解题关键．
13．已知：△ABC 与△BDE 都是等腰三角形．BA ＝BC ，BD ＝BE （AB ＞BD ）且有∠ABC ＝∠DBE ．
（1）如图1，如果A 、B 、D 在一直线上，且∠ABC ＝60°，求证：△BMN 是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE 和CD 的夹角是 °；
（3）如图2，若A 、B 、D 不在一直线上，但∠ABC ＝60°的条件不变则直线AE 和CD 的夹角是 °；
（4）如图3，若∠ACB ＝60°，直线AE 和CD 的夹角是 °．
【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60；
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得∠ABC ＝∠DBE ＝60°，从而得ABE DBC ∠=∠；通过证明ABE CBD ≌，得BAE BCD ∠=∠；通过证明BAM BCN ≌，得BM BN =，根据等边三角形的性质分析，即可完成证明；
（2）结合题意，通过证明ABC 为等边三角形，得60BAC BCA ∠=∠=︒；结合（1）的结论，根据三角形外角性质，推导得120AOD ∠=︒，从而完成求解；
（3）同理，通过证明ABC 为等边三角形，得60BAC BCA ∠=∠=︒；通过证明ABE CBD ≌，得BAE BCD ∠=∠；根据三角形外角性质，推导得120AOD ∠=︒，从而完成求解； （4）根据题意，通过证明ABC 为等边三角形，推导得ABE CBD ∠=∠，通过证明ABE CBD ≌，得BAE BCD ∠=∠，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°
∴18060MBN ABC DBE ∠=︒-∠-∠=︒，ABE ABC MBN ∠=∠+∠，DBC DBE MBN ∠=∠+∠ ∴ABE DBC ∠=∠
∵BA ＝BC ，BD ＝BE
ABE △和CBD 中
BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE CBD ≌
∴BAE BCD ∠=∠ BAM 和BCN △中 60BAE BCD AB BC ABC MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴BAM BCN ≌
∴BM BN =
∴BMN △为等边三角形；
（2）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°, BA ＝BC
∴ABC 为等边三角形；
∴60BAC BCA ∠=∠=︒
根据题意，AE 和CD 相交于点O
∵BAE BCD ∠=∠
∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠
∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠
∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒
∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒，即直线AE 和CD 的夹角是60︒
故答案为：60；
（3）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°, BA ＝BC
∴ABC 为等边三角形；
∴60BAC BCA ∠=∠=︒
∵ABE ABC MBN ∠=∠+∠，DBC DBE MBN ∠=∠+∠，∠ABC ＝∠DBE ＝60°
∴ABE DBC ∠=∠
∵BA ＝BC ，BD ＝BE
ABE △和CBD 中
BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE CBD ≌
∴BAE BCD ∠=∠
如图，延长AE ，交CD 于点O
∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠
∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠
∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒
∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒，即直线AE 和CD 的夹角是60︒
故答案为：60；
（4）∵BA ＝BC ，
∴ACB CAB ∠=∠
∵∠ACB ＝60°
∴60ACB CAB ∠=∠=︒
∴ABC 为等边三角形
∵BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE
∴60DBE ∠=︒
∵ABE ABC CBE ∠=∠-∠，CBD DBE CBE ∠=∠-∠
∴ABE CBD ∠=∠
ABE △和CBD 中
BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE CBD ≌
∴BAE BCD ∠=∠
分别延长CD 、AE ，相较于点O ，如下图：
∴AOF OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠
∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠
∴120AOF BAC BCA ∠=∠+∠=︒
∴18060AOC AOF ∠=︒-∠=︒，即直线AE 和CD 的夹角是60︒
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．
14．在ABC 中，AB ＝AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE ．
（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D 在线段BC 上：
①如果∠BAC ＝90°，则∠BCE ＝°；
②如果∠BAC ＝100°，则∠BCE ＝°；
（2）设∠BAC ＝α，∠BCE ＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．
【答案】（1）①90；②80；（2）①α+β＝180°，理由见解析；②图见解析，α+β＝180°或α＝β
【解析】
【分析】
、（1）①由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
②由等腰三角形的性质求出∠ABD＝∠ACB＝40°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD ＝∠ACE＝40°，则可得出结论；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；
②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】
解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为：90；
②∵∠BAC＝100°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB＝40°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝40°，
∴∠BCE ＝∠ACE +∠ACB ＝40°+40°＝80°，
故答案为：80．
（2）①α+β＝180°，
理由：∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ．
即∠BAD ＝∠CAE ．
在△ABD 与△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠B ＝∠ACE ．
∴∠B +∠ACB ＝∠ACE +∠ACB ．
∵∠ACE +∠ACB ＝β，
∴∠B +∠ACB ＝β，
∵α+∠B +∠ACB ＝180°，
∴α+β＝180°．
②如图1：当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°，
连接CE ，
∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠ABD ＝∠ACE ，
在△ABC 中，∠BAC +∠B +∠ACB ＝180°，
∴∠BAC +∠ACE +∠ACB ＝∠BAC +∠BCE ＝180°，
即：∠BCE+∠BAC＝180°，
∴α+β＝180°，
如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．
连接BE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE．
∴α＝β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．
15．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度
数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）60°，BE＝AD；（3）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由见解析【解析】
【分析】
（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠CDE＝60°，
∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，
故答案为：60°，BE＝AD；
（3）AE＝BE+2CM，理由：
同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．。