新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题
1．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ）
A ．2133-
B ．2733-
C ．73
D ．1
2．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）
A ．21
B ．22
C ．23
D ．13
3．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）
A ．[2,3]
B ．[2,5]
C ．[2,6]
D ．[2,7] 4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，
1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6
π，当1B M 最小时，AMB ∠=（ ）
A ．512π
B ．3π
C ．4π
D ．6π 5．下列命题中是真命题的是( )
A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反
C ．若向量,AB C
D ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD >
D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD
6．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个
①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等；
③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．已知两平面的法向量分别为m =(0，1，0)，n =(0，1，1)，则两平面所成的二面角为
（ ）
A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．90°
8．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）
A 3
B 6
C ．217
D 21 9．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在
对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）
A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1A
B ．线段1CA 的中点
C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点C
D ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C 10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,
E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113
A F A A =，分别记二面角1F O
B E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）
A ．γβα>>
B ．αβγ>>
C ．αγβ>>
D ．γαβ>> 11．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，
E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）
A ．增大
B ．先增大再减小
C ．减小
D ．先减小再增大
12．以下命题 ①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；
②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底；
③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅．
其中正确的命题有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题
13．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为，则
的最大值为 .
14．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____．
15．若直线l 的一个方向向量(1,3)d =，则l 与直线10x y -+=的夹角为______． 16．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,E 为1AB 的中点,在面ABCD 中取一点F ,使1EF FC +最小,则最小值为__________.
17．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．
18．已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，若ka b +和3a b -相互垂直，则k =________． 19．已知平面α的一个法向量为()2,1,3n =--，()3,2,1M -，()4,4,1N ，其中M α∈，N α∉，则点N 到平面α的距离为__________．
20．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．
三、解答题
21．如图，几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为梯形、ACFE 为矩形，//AB CD ，2AD DC CB AE ====，60ABC ∠=︒，平面ACFE ⊥平面ABCD .
（1）证明：BC ⊥平面ACFE ；
（2）求二面角B-EF-D 的正弦值.
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，DA AB BC a ===，2CD a =，PD ⊥平面ABCD ，2PD a =.
（1）求PC 与DB 所成角的余弦值；
（2）设l 是过点P 且与AB 平行的一条直线，点Q 在直线l 上，当PC 与平面BQD 所成角的正弦值最大时，求线段PQ 的长.
23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点．
（1）若//PB 平面AEC ，请确定点E 的位置，并说明理由．
（2）设2AB AP ==，3AD =，若13
PE PD =，求二面角P AC E --的正弦值． 24．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，M 为1AA 的中点.
（1）求证：1//A B 平面1MCD
； （2）求平面1MCD 与平面11C CD 夹角的余弦值.
25．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.
（1）证明：//GF 平面ABC .
（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.
26．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为6的等边三角形，,D E 分
别为1,AA BC 的中点.
（1）证明：//AE 平面1BDC
（2）若123CC =，求DE 与平面11ACC A 所成角的正弦值.
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
取PA 中点O ，得点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，进一步可得N 的轨迹为一段圆弧，设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，可得当点N 在1CO 上时，CN 取最小值，求解三角形计算得答案．
【详解】
解：取PA 中点O ，AN PM ⊥，∴点N 在以O 为球心，半径为1的球面上， 又点N 在平面PBC 上，故N 的轨迹为一段圆弧，
设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，
且点1(O PS S ∈为BC 中点），
则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，
3PS AS ==，设A 到PS 的距离为h ，则221132(3)122
h =⨯- 即26h =，得163OO =，21631()3PO =-，22213PS =-=
由N 在PS 上时，求得133NO =，求解Rt △1CO S ，得2212313213CO ⎛⎫=+ ⎪ ⎪=⎝⎭
， 则当点N 在1CO 上时，CN 取最小值
2133
-， 故选：A ．
【点睛】
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，解答的关键是弄清动点的轨迹；
2．D
解析：D
【分析】
建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2
HP 的范围.
【详解】
根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：
作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥
作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离.
设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤
∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长
∴PN PF =
由两点间距离公式可得()()2212x x z =
-+-，化简得()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥
综上可得132
x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213
x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
所以213HP ≥（当时2x = 取等）
故选:D
【点睛】
本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题.
3．C
解析：C
【分析】
过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果.
【详解】
过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD
2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+
//EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=
∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B
又平面ABCD 平面11BDD B BD =，GE 平面ABCD //GE BD ∴
E 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点
即F 在线段GH 上
min 1AF AG ∴==
，max AF AH ==
min EF ∴=
max EF 则线段EF
长度的取值范围为：
本题正确选项：C
【点睛】
本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.
4．B
解析：B
【分析】
以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．
【详解】
以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，
设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，
设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，
·0·
0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，
平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为
6π， 2||cos 6||||m n m n a π
∴==+
， 解得22331a b +=，
∴当|1|B
M 最小时，0b =，BM a == tan AB AMB BM ∴∠=== 3AMB π
∴∠=．
故选B ．
【点睛】
本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5．D
解析：D 【分析】
由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】
因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A 错误； 因为a b =仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，选项B 错误；
因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB CD >这种写法，选项C 错误；
∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故AB //CD ，选项D 正确. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．A
解析：A 【解析】
分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.
详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时， 设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，
而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，
所以③不正确的；
因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；
设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.
点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键.
7．C
解析：C 【分析】
先求出两个向量的夹角为,=45︒<>m n ，再转化为二面角的大小. 【详解】
1cos ,21⋅<>=
=
=⨯⋅m n m n m n
，即,=45︒<>m n ， 所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°. 答案：C 【点睛】
本题考查了空间向量的夹角和二面角的求法，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
8．B
解析：B 【分析】
以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得． 【详解】
由题意111
11cos 602
AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=． 以1
,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，
2
2
1111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD AD AA AB AD ⋅=+⋅+-=⋅+⋅-++⋅-⋅1=，
22
2()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=
2
2
2211111()2222
BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅=
，
∴111
16cos ,632AC BD AC BD AC BD ⋅<>==
=⋅⋅．∴1BD 与AC 夹角的余弦值为66
．
故选：B ． 【点睛】
本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．
9．B
解析：B 【分析】
将问题转化为动点P 到直线MN 的距离最小时，确定点P 的位置，建立空间直角坐标系，取MN 的中点Q ，通过坐标运算可知PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ 后，利用二次函数配方可解决问题. 【详解】
设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则1
(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44
Q ，
1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1
(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1
AC 与PC 共线，可得11111
t t z
---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，
因为2221||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+-25334
z z =-+
||
(1PN =
=
所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即|
|PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得
||PQ =
=
=
所以当12c =
时，||PQ 取得最小值4
P 为线段1CA 的中点， 由于||4
MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B 【点睛】
本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考
查了二次函数求最值，属于基础题.
10．D
解析：D 【分析】
过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【详解】
解：因为1AB AC ==，1BC AA ==2
22
AB AC BC +=，即
AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为
y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，0
，1(2O ，12，0)，(0E ，0
，1(1B ，1，
111(,22OB =
，11(,22OE =-
-，
11(,22OF =-，1
EB =
，EF =，
设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，
则111·02211·0
222m OB x y m OE x y z ⎧=+
+=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩
，取1x =，得()1,
1,0m →=-，
同理可求平面1OB F 的法向量(52,n =
-， 平面OEF 的法向量2(2p =-
，平面1EFB 的法向量2
(,2
q =-．
∴461cos 61||||m n m n α=
=，434cos 34||||m p m p β==，46
cos 46||||
m q m q γ==． γαβ∴>>．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
11．D
解析：D 【分析】
设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，
,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求
出平面BDE 的法向量m ，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论. 【详解】
设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，
以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，
1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，
则(3,1,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，
设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD
m ED
⎧⊥⎨⊥⎩，
即302(1)0
s t k t x k ⎧++=⎪
⎨
+-=⎪⎩，令23k =33,1t x s x ==+，
所以平面BDE 的一个法向量(133,23)m x x =+， 底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，
22223
3
cos |cos ,|115(1)3(1)12
()24
m n x x x α=<>=
=
++-+-+
当1(0,)2
x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小， 当1(,2)2
x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大. 故选：D.
【点睛】
本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.
12．B
解析：B 【分析】
①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；
③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】
①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，
||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；
②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，
则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确；
③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．
其中正确的命题有一个．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题
13．【详解】建立坐标系如图所示设则设则由于异面直线所成角的范围为所以令则当时取等号所以当时取得最大值考点：1空间两直线所成的角；2不等式
解析：2
5
【详解】
建立坐标系如图所示.设1AB =，则11
(1,
,0),(,0,0)22
AF E =.设(0,,1)(01)M y y ≤≤，则1
(,,1)2
EM y =-，
由于异面直线所成角的范围为(0,]2
π，
所以22112(1)22cos 1154511
44
y
y y y θ-+-==⋅++⋅++.2222(1)81[]14545y y y y -+=-++， 令81,19y t t +=≤≤，则281161
81
455
2y y t t
+=≥
++-，当1t =时取等号. 所以2
2112(1)12222
cos 511555451144
y
y y y θ-+-==≤⨯=⋅++⋅++，当0y =时，取得最大值.
考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式.
14．【解析】【分析】取MC 中点O 连结AOBO 推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1AO ＝BO ＝AO ⊥MCAO ⊥平面BMCAO ⊥BO 由此能求出AB 两点之间的距离【详解】取MC 中点O 连结AOBO ∵△ABC 中∠C ＝ 解析：
102
【解析】 【分析】
取MC 中点O ，连结AO ，BO ，推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，AO ＝
3
2，BO ＝72
，AO ⊥MC ，AO ⊥平面BMC ，AO ⊥BO ，由此能求出A ，B 两点之间的距离． 【详解】
取MC 中点O ，连结AO ，BO ，
∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝2，M 为AB 中点， ∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1， ∴AO 2131()2
- BO 2201117
2cos120121422BM MO BM OM ⎛⎫+-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯-=
⎪⎝⎭ AO ⊥MC ，
将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时， AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，
∴A ，B 两点之间的距离|AB |223710
442
BO AO +=+=
, 10
． 【点睛】
本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
查运算求解能力，是中档题．
15．15°【分析】先求出两条直线的斜率可得两条直线的倾斜角进而得到两条直线的夹角得到答案【详解】由题意直线的一个方向向量可得直线的斜率为所以直线的倾斜角为60°又直线的斜率为1故直线的倾斜角为45°所以
解析：15° 【分析】
先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角，得到答案． 【详解】
由题意，直线l 的一个方向向量(1,3)d =，可得直线l 的斜率为3
31
=， 所以直线l 的倾斜角为60°．
又直线10x y -+=的斜率为1，故直线10x y -+=的倾斜角为45°， 所以l 与直线10x y -+=的夹角为604515︒-︒=︒． 故答案为15°． 【点睛】
本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的应用，其中解答中熟练应用直线的倾斜角和斜率的关系，求得两直线的倾斜角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．【解析】如图将正方体关于面对称则就是所求的最小值
解析：
142
. 【解析】
如图，将正方体1111ABCD A BC D -关于面ABCD 对称，则1EC 就是所求的最小值，
2
2
2
11
3114124
2EC EN NC ⎛⎫=+=++=
⎪⎝⎭． 17．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案
解析：2 【解析】
因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则
()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。

18．【解析】试题分析：所以考点：空间向量 解析：
165
【解析】 试题分析：
，
所以
考点：空间向量
19．【分析】根据点面距离公式再由向量的坐标运算得到结果即可【详解】平面的法向量为故所求距离故答案为【点睛】这个题目考查了点面距离的求法方法一可以同这个题目一样建系解决；方法二可以通过等体积法得到点面距离 解析：
147
【分析】
根据点面距离公式,再由向量的坐标运算得到结果即可. 【详解】
()1,2,2MN =，平面α的法向量为()2,1,3n =--，
故所求距离·214
714
MN n d n
=
=
=. 故答案为14
7
. 【点睛】
这个题目考查了点面距离的求法，方法一可以同这个题目一样建系解决；方法二可以通过等体积法得到点面距离；方法三，如果题中条件有面面垂直的条件，可由点做面的垂线，垂足落在交线上.
20．【详解】以AB 的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系则平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则则令所以平面的一个法向量为所以因为所以所以所以即二面角的余弦值的取值范围是点睛：本题主要考查了空间几何 解析：99(,)1616
-
【详解】
以AB 的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
163(0,(0,4,0),(,0,0)(33)2D C M a a --<<，
平面MBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =， 设平面DMC 的一个法向量为2(,,)n x y z =，
则963(0,,),(,4,0)22DC MC a =-=-，则22963002040
n DC y z n MC ax y ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎩
， 令4639,63z x y ==
=，所以平面DMC 的一个法向量为2463
(63,9)n a
=，
所以
1222
99
cos ,16631663
6381144n n a a =
=
⨯⨯+++， 因为33a -<<，所以29<a ，所以216631663
1441442569
a ⨯⨯+>+=， 所以129cos ,16n n <
，即二面角的余弦值的取值范围是99
(,)1616
-.
点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征和二面角的计算问题，空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，利用空间向量求解空间角的关键在于“四破”：第一、破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二、破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三、破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四、破“应用公式关”.
三、解答题
21．（1）见解析；（2310
【分析】
（1）先根据余弦定理求出,AC AB ，得出BC AC ⊥，再利用面面垂直的性质定理即可证明BC ⊥平面ACFE ；
（2）利用二面角的向量求法，求出二面角的余弦值，再利用同角三角函数之间的关系即可求出二面角B-EF-D 的正弦值. 【详解】 解：（1）2AD BC ==，
∴四边形ABCD 为等腰梯形，
又
60ABC ∠=︒，
18060120ADC DCB ∴∠=∠=-=，
在ADC 中，由余弦定理得：
2222212cos12022222122AC AD DC AD DC ⎛⎫
=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
故23AC =
在ABC 中， 由余弦定理得：
2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，
即()2
2
223
=222cos60AB
AB +-⨯⋅⋅，
化简得：2280AB AB --=， 又
0AB >,
解得：4AB =，
()
2
222
2223
16BC AC AB +=+==，
故BC AC ⊥， 又
平面ACFE ⊥平面ABCD ，且平面ACFE 平面ABCD AC =，
BC AC ⊥，
∴BC ⊥平面ACFE ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系：
则()()
()0,2,0,23,0,2,0,0,2B E F ===， 作AC 的中点G ，则DG AC ⊥，
1
32
CG AC =
=()
2
22223
1DG DC CG =-=-=，
)
3,1,0D ∴=
-，
则(
)()(
)
23,2,2,23,0,0,3,1,2BE EF FD =-=-=
--，
设平面BEF 的法向量为()111,,m x y z =，平面EFD 的法向量为()222,,n x y z =，
则00
BE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
即11112200y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则()0,1,1m =，
00
EF n FD n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，
即2222020
y z ⎧-=⎪--=，令21z =，则()0,2,1n =-，
则2cos ,2m n m n m n
⋅-=
=
=
⨯
⋅
设二面角B-EF-D 的平面角为θ，
则
sin 10θ== 故二面角B-EF-D 【点睛】 思路点睛：
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错； （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量； （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 22．（1）4
2）8a 【分析】
（1）过A 作AM CD ⊥于M ，再过D 作DN ∥AM ，由于PD ⊥平面ABCD
，所以得
,,PD DN DM 两两垂直，所以以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用
空间向量求解；
（2）PQ AB =λ，由于PQ 与AB 平行，所以3
(,,2)(0,,0)2
2
BP a a a a λ=--=，然后求出平面BQD 的法向量3(1,)3n =-
，设θ为PC 与平面BQD 所成角，则可得2
2
22
(2)sin 2(16)
λθλ+=+，再换元可求出sin θ的最大值，进而可求得答案 【详解】
解：（1）过A 作AM CD ⊥于M ，则2a
DM =
，所以3
ADM π∠=，
过D 作DN ∥AM ，
因为PD ⊥平面ABCD ，,DN DM 在平面ABCD 内， 所以,PD DN PD DM ⊥⊥，
所以以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
3
(0,0,2),(0,2,0),(0,0,0),,,0)2
P a C a D B a ， 所以33
(0,2,2),(
,,0)22
PC a a DB a a =-=，
2cos ,2PC DB
PC DB
PC DB ⋅===⋅（2）因为(
,,0)22
a
A a ，所以(0,
,0)AB a =，设PQ AB =λ， 因为PQ 与AB 平行，所以3
(,,2)(0,,0)22
BP a a a λ=-
-=， 33
(0,,0),(,,0),(0,2
,2)22
PQ a DB a a PC a a λ===-， 3
(,,2)2
BQ BP PQ a a a λ=+=-
-， 设平面BQD 的法向量为(,,)n x y z =，则
33
()2022
33022
n BQ ax a a y az
n DB ax ay λ⎧⋅=-
+-+=⎪⎪⎨
⎪⋅=+=⎪⎩，令1x =， 则3(1,)36
n =-
， 设θ为PC 与平面BQD 所成角，
所以sin cos ,PC n θ-
===， 所以2
2
22
(2)sin 2(16)λθλ+=+，
令2t λ=+，则22
22
1
sin 4202(420)2(1)t t t t t θ==
-+-+
因为
22041[,)5
t t -∈-+∞， 所以
2max 15
sin 1
82(1)
5
θ=
=
-，此时22204111
20()105
t t t -=--，
当11
10
t =
，即10t =时取得最大值，此时8λ=， 所以8PQ AB =，所以8PQ a =
【点睛】
关键点点睛：此题考查线面角的求法，解题的关键是建立空间直角坐标系，设
PQ AB =λ，则有22
233
233sin cos ,1216
221312
a a PC n a λλθλλ-
-+===⋅+⋅++
，再利用换元法可求得结果，考查计算能力，属于中档题 23．（1）点E 是PD 的中点，详见解析；（2361
. 【分析】
（1）点E 是PD 的中点，连接BD 交AC 与点O ，连接OE ，由中位线定理得到//OE PB ，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 的一个法向量()111,,m x y z =，平面ACE 的一个法向量()222,,n x y z =，设二面角
P AC E --为θ，由cos m n m n
θ⋅=
⋅求解.
【详解】
（1）点E 是PD 的中点，如图所示：
连接BD 交AC 与点O ，连接OE ， 所以//OE PB ，
又PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 所以//PB 平面AEC ．
（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，
则()()()()40,0,2,0,0,0,2,3,0,0,3,0,0,1,3P A C D E ⎛
⎫ ⎪⎝⎭,
所以()()42,3,0,0,0,2,0,1,3AC AP AE ⎛
⎫=== ⎪⎝
⎭，
设平面PAC 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则00
m AC m AP ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，即 111
23020x y z +=⎧⎨
=⎩，
令 1113,2,0x y z ==-=，则()3,2,0m =-
设平面ACE 的一个法向量为()222,,n x y z =，
则00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 2221230
4
03x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
， 令 22233,2,2
x y z ==-=
，则33,2,2n ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，
设二面角P AC E --为θ, 所以213cos 61
m n m n
θ
⋅=
=⋅，
所以
sin θ=. 【点睛】
方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝
AC BD AC BD
⋅⋅.
2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
24．（1）证明见解析；（2）1
3
. 【分析】
（1）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得1//A B 平面1MCD
； （2）利用空间向量法可求得平面1MCD 与平面11C CD 夹角的余弦值. 【详解】
（1）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.
因为正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，M 是1AA 的中点，
所以()0,0,0A 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()0,0,1M 、()10,2,2D 、()10,0,2A 、
()2,0,0B ，
()10,2,1MD =，()2,2,1MC =-.
设平面1MCD 的法向量为(),,m x y z =，由120220
m MD y z m MC x y z ⎧⋅=+=⎨
⋅=+-=⎩，
令1y =，则2z =-，2x =-，所以()2,1,2m =--.
因为()12,0,2A B =-，所以()()2
1220120A B m ⋅=⨯-+⨯+-=， 因为1A B ⊄平面1MCD ，所以1//A B 平面1MCD ； （2）由（1）知，平面1MCD 的法向量()2,1,2m =--. 又平面11C CD 的法向量为()0,2,0AD =. 设平面1MCD 与平面11C CD 的夹角为θ， 则21
cos cos ,323
m AD m AD m AD
θ⋅=<>=
=
=⨯⋅， 所以平面1MCD 与平面11C CD 夹角的余弦值为13
. 【点睛】
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 25．（1）证明见解析；（2）7-
【分析】
（1）先证明四边形CDNM 是平行四边形，于是//GF DN ，//GF CM ，即可得到线面平行；（2）要使多面体ABCDE 体积最大，即BH
最大，此时AB BC =={},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz -，于是可以得到
(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D ，
(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-，设两个法向量求解，最后算余弦值时要判
断二面角是钝角还是锐角． 【详解】
（1）分别取,AB EB 中点,M N ，连结,,CM MN ND . 在梯形ACDE 中，//DC EA 且1
2
DC EA =，且,M N 分别为,BA BE 中点 ∴//MN EA ，1
2
MN EA =
∴//MN CD ，MN CD = ∴四边形CDNM 是平行四边形 ∴//CM DN 又1
4
EG EB =
，N 为EB 中点，∴G 为EN 中点， 又F 为ED 中点 ∴//GF DN ∴//GF CM
又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ∴//GF 平面ABC （2）在平面ABC 内，过B 作BH AC ⊥交AC 于H . 平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE
平面ABC AC =，BH ⊂平面ABC ，
BH AC ⊥，
∴BH ⊥平面ACDE ∴BH 即为四棱锥B ACDE -的高，
又底面ACDE 面积确定，所以要使多面体ABCDE 体积最大，即BH
最大，此时
AB BC ==过点H 作//HP AE ，易知HB ，HC ，HP 两两垂直，
以{}
,,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz - 则(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D
(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-
设1111(,,)n x y z =为平面ABE 的一个法向量，则
110
0n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，所以1111
1020x y x y z +=⎧⎨--+=⎩，取1(1,1,0)n =- 设2222(,,)n x y z =为平面DBE 的一个法向量，则
110
0n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，所以2222
22020y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，取2(3,1,2)n =
所以121212
7cos ,7
n n n n n n ⋅=
=
⋅， 由图，二面角A BE D --为钝二面角，所以二面角A BE D --的余弦值为77
-
.
【点睛】
本题考查利用建系法求二面角的余弦值，易错点在于判断二面角是钝角． 26．（1）证明见解析；（2310
. 【分析】
（1）先证明四边形ADFE 为平行四边形，则AE ∥DF ，由此即可得证；
（2）以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由123CC =，求得平面11ACC A 的法向量以及直线DE 的方向向量，再利用向量公式求解． 【详解】
证明：取BC 1的中点F ，连接DF ，EF ， ∵E 为BC 中点，∴//EF 1CC ，11
2
EF CC = 又∵D 为AA 1的中点，
//DA 1CC ，11
2
DA CC =
， ∴//EF DA ，EF DA = ∴四边形ADFE 为平行四边形， ∴//AE DF ，
∵AE ⊄平面BDC 1，DF ⊂平面BDC 1， ∴//AE 平面BDC 1.
（2）由（1）及题设可知，BC ，EA ，EF 两两互相垂直，则以点E 为坐标原点，EC ，EA ， EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由123CC =，则1(3,0,0),(3,0,23),(0,33,0),(3,0,0),(0,33,3)B C A C D -， 所以1(0,0,23),(3,33,0)CC AC ==-，
设平面11ACC A 的法向量为(,,)m x y z =
由100m AC m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3330230
x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩， 令1y =，则(3,1,0)m =， 又(0,33,3),(0,33,3)D ED ∴=， 所以22233cos ,||||(33)(3)(3)33310231
0ED m ED m ED m +⋅<>====+⋅， 设DE 与平面11ACC A 所成角为θ，
则sin θ=310|cos ,|20
ED m <>=，
∴DE与平面
ACC A.
11
【点睛】
方法点睛：证明线面平行的常用方法：
（1）利用线面平行的定义（无公共点）.
（2）利用线面平行的判定定理.
（3）利用面面平行的性质.
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.。