第2章电阻电路的等效变换
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2.两端电路等效的概念
若两个两端电路，端口具有相同的电压与电 流关系,则称它们是等效的电路。
B
i
+ 等效 u
-
C
i
+ u
-
u=M i + N (VCR: Voltage – Current Relationship)
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明确
①电路等效变换的条件： 两电路具有相同的VCR；
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例1 桥 T 电路
1k
1k 1k
+
E
1k R
-
1/3k
+ E
-
1/3k
1/3k R
1k
1k
+ 3k
E
R
- 3k 3k
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例2 计算90电阻吸收的功率
1
10
1 +
20V
-
4 9 90
1
9 9
9
i+
i1
20V 90
-
1090
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例4 求: R a b
ab
R a b＝70
20
100 10
40 80 60 50
ab
20 100 60
120 60
ab 20 100 100
ab
20 100 60
40
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例5 求: R a b
5 a 20
b
缩短无
20
5
a
返回
2.1 引言
电阻电路 分析方法
仅由电源和电阻构成的电路。
①欧姆定律和基尔霍夫定律是 分析电阻电路的依据；
②可用等效变换的方法,该方法 也称为化简的方法。
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2.2 电路的等效变换
1.两端电路（网络）
具有两个引出端的电路（网络）为二端网络， 也可称为一端口网络。
i i
无
源
无 源 一 端 口
②电路等效变换的目的： 化简电路，方便计算。
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2.3 电阻的串联和并联
1.电阻串联
①电路特点
R1
Rk
Rn
i + u1 _ + u k _ + un _
+
u
_
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
u u 1 u k u n
R23
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注意
①等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。 ②等效电路与外部电路无关。 ③用于简化电路
吉培荣提出了一种列写电路Y形连接和形连 接等效变换的简便方法，利用该方法，可快速列 写出相关公式。详见如下论文： “导出星型电路与三角形电路等效变换公式的简 便方法” 《电工技术》1997年第7期)
iS2
i is 1 i is 2 isn isk
iSn
等效电路
i
②串联
iS1
iS2
i is1 is2
i
注意 相同的理想电流源才能串联, 或者说
串联的电流源一定相同。
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3.电流源与支路的串、并联
i
iS1 R1
iS2
+
R2
u _
等效电路
iS R
i i s 1 u R 1 i s 2 u R 2 i s 1 i s 2 ( 1 R 1 1 R 2 ) u i s u R
G 2G 3 G1 G2
G3
G 31
G 3G 1 G1 G2
G3
类似可得到由Y的变换条件：
G1
G 12
G 31
G G12 31 G 23
G2
G 23
G 12
G G23 12 G 31
G3
G 31
G 23
G G31 23 G 12
R1
R 12
R R 12 31 R 23
功率的总和
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3.电阻的串并联
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种 连接方式称电阻的串并联。
例1 计算图示电路中的电流 i1
6
i1 5
i1 5
+
i2 i3 6
165V 18
i5
-
4 i4 12
+
i2 i3
165V 18 9
-
i11615 11A 5 u26i16 1 5 9V 0
_
_
由KCL:
i = i1+ i2+ …+ I k+ …+in =u/R1 +u/R2 + …+u / R n =u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=u G e q
n
G eqG 1G 2 G n G kG k k1
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结论 等效电导等于并联的各电导之和。
R 1 eqG eq R 11R 12 R 1n 即 R eq R k
第2章 电阻电路的等效变换
本章内容
2.1 引言 2.2 电路的等效变换 2.3 电阻的串联和并联 2.4 电阻的Y形连接和△形连接的等效变换 2.5 电压源、电流源的串联和并联 2.6 实际电源的两种模型及其等效变换 2.7 输入电阻
首页
重点： 1. 电路等效的概念； 2. 电阻的串、并联； 3. 电阻的Y— 变换; 4. 电压源和电流源的等效变换；
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2.4 电阻的Y形连接和形连接的等
效变换
1. 电阻的 、Y形连接
R1
R2
包含 a
R b
1
1 R3
R4
R12
R31
R1
2
3
R2
R3
三端 网络
R23
2
3
形网络
Y形网络
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，Y 网络的变形：
型电路 ( 型)
T 型电路 (Y、星型)
注意 这两个电路当它们的电阻满足一定的关
系时，能够相互等效 。
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2. —Y 变换的等效条件
+ 1– i1
+ i1Y
1 –
u12 R12
i2 –
2+
u31 R31
u12Y
R1 u31Y
R2
R3
R23 u23
i3 + – i2Y
–3 2 +
u23Y
i3Y + –3
等效条件：i1 =i1Y ,
i2 =i2Y , i3 =i3Y ,
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②等效电阻
R1
Rk
Rn
i + u1 _ + u k _ + un _
+
u
_
由欧姆定律
等效 i
+
Re q u_
u R 1 i R K i R n i ( R 1 R n ) i R e iq
n
R eq R 1 R k R n R kR k k 1 结论 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y
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+ 1– i1
+ i1Y
1 –
u12 R12
u31 R31
u12Y R2
R1 u31Y R3
i2 –
2+
R23 u23
i3 + – i2Y –3 2 +
u23Y
i3Y + –3
接: 用电压表示电流 Y接: 用电流表示电压
i +u _
u u s 1 R 1 i u s 2 R 2 i ( u S 1 u S 2 ) ( R 1 R 2 ) i u S R
i
i
+
+
u S_
任意 元件
uR _
+
+
uS
u
_
_
对外等效！
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2. 理想电流源的串联并联
注意参考方向
①并联
iS1
i3 =u31 /R31 – u23 /R23
根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得 Y的变换条件：
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R 12
R1
R2
R1R 2 R3
R 23
R2
R3
R 2R 3 R1
R 31
R3
R1
R 3R 1 R2
G 12
G 1G 2 G1 G2
G3
或 G 23
i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
(1) u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y=R3i3Y – R1i1Y
(2)
i1Y+i2Y+i3Y = 0
I1
12 R
U4
U2 2
14U1 3V
I4
3 2R
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电路求解的关键在于正确识别各电阻的串联、 并联关系！
例3 c d
6 5 a
15
5
b
求: 等效电阻 R a b , R c d
R a b(5 5 )/1 / 5 6 1Ω 2 R cd (1 5 5)/5 /4Ω 注意 等效电阻针对端口而言
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③串联电阻的分压
uk
u RkiRk Req
Rk uu Req
表明 电压与电阻成正比，因此串联电阻电路
可作分压电路。
i
例 两个电阻的分压：
u1
R1
R1 R2
u
u2
R2 R1 R2
u
+ u+1 R1 u-
+
_
u2 -
R2
º
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④功率
p1=R1i2， p2=R2i2，， pn=Rni2
任意
元件 +
iS
uR
_
iS 等效电路
对外等效！
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2.6 实际电源的两种模型及其等效
变换
1. 实际电压源的模型 伏安特性：uuS RSi
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例2
+ 12V
_
I1 I2 R I3 R ++
2R U_1 2R U_2 2R
I4
求：I1 ,I4 ,U4
+
2R U_4
解 ①用分流方法做
I4 1 2 I3 1 4 I2 8 1 I1 8 1 1 R 2 2 3 R
U 4I42R3V
②用分压方法做
R 31
或
R2
R 12
R R 23 12 R 23
R 31
R3
R 12
R R 31 23 R 23
R 31
返回 上页
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简记方法：
R
Δ相
邻电
R
阻乘G积ΔY相
邻电
GY
导
乘
积
变Y
Y变
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
R = 3RY
外大内小
R12 R1 R2
R31 R3
15 b
15 7
电阻支路
7 6
6
6
6
R a b＝10
4 a b
15
10
4 a b
15 7
3
返回 上页 下页
例6
求:
Ra c
b
对称电路
c、d等电位
c
R i
R
R i
断短路
R
a i1 R
i2 b R
a R
b R
d
d 根据电流分配
i1
1 2
i
i2
Rab R
Ruaab b ui1 iaR b Ri2R(1 2i1 2i)RiR
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由式(2)解得：
i1YR1Ru122Y RR32Ru331Y RR23R1
i2YR1R u223YRR12Ru312YRR33R1 (3)
i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12
(1)
i3YR1uR321Y RR 22Ru323YR R31R1
③并联电阻的分流
ik u/ Rk Gk i u/ Req Geq
ik
Gk G eq
i
电流分配与 电导成正比
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例 两电阻的分流：
Req11R R1111R R22 RR 1 1RR 22
i
i1
i2
R1
R2
i1
1R1 i R2i 1R11R2 R1R2
i21R 1 1 R 1 2 R2iR1R 1iR2 (ii1)
①串联 uus1us2usk
uS1 +
_
uS2 +
_
+u
_ 等效电路
+_ u
②并联 uus1us2
等效电路
i
注意 相同电压源才能并
联,或者说并联的电压源一定 相同。
+
uS1 _
++
uS2
u
__
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③与其它支路的串、并联
uS1 _ +
uS2 +
_
+ uS_ R
i
R1
+
u
R2_
总功率
p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2
=R1i2+R2i2+ +Rni2
表明
=p1+ p2++ pn
①电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小 成正比；
②等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功 率的总和。
返回 上页 下页2. 电阻并联①源自路特点i+
i1
u R1 R2
_
i2
ik
Rk
in Rn
(a)各电阻两端为同一电压（KVL)； (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
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②等效电阻
i
i
+
i1 i2
ik
u R1 R2
Rk
Rn
in 等效
+ u
Req
1 +
4
3 3
3Req1109010Ω
i 2/1 0 0 2 A
20V 90
-
1 9
i1
102 0.2A 1090
2.两端电路等效的概念
若两个两端电路，端口具有相同的电压与电 流关系,则称它们是等效的电路。
B
i
+ 等效 u
-
C
i
+ u
-
u=M i + N (VCR: Voltage – Current Relationship)
返回 上页 下页
明确
①电路等效变换的条件： 两电路具有相同的VCR；
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例1 桥 T 电路
1k
1k 1k
+
E
1k R
-
1/3k
+ E
-
1/3k
1/3k R
1k
1k
+ 3k
E
R
- 3k 3k
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例2 计算90电阻吸收的功率
1
10
1 +
20V
-
4 9 90
1
9 9
9
i+
i1
20V 90
-
1090
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例4 求: R a b
ab
R a b＝70
20
100 10
40 80 60 50
ab
20 100 60
120 60
ab 20 100 100
ab
20 100 60
40
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例5 求: R a b
5 a 20
b
缩短无
20
5
a
返回
2.1 引言
电阻电路 分析方法
仅由电源和电阻构成的电路。
①欧姆定律和基尔霍夫定律是 分析电阻电路的依据；
②可用等效变换的方法,该方法 也称为化简的方法。
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2.2 电路的等效变换
1.两端电路（网络）
具有两个引出端的电路（网络）为二端网络， 也可称为一端口网络。
i i
无
源
无 源 一 端 口
②电路等效变换的目的： 化简电路，方便计算。
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2.3 电阻的串联和并联
1.电阻串联
①电路特点
R1
Rk
Rn
i + u1 _ + u k _ + un _
+
u
_
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
u u 1 u k u n
R23
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注意
①等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。 ②等效电路与外部电路无关。 ③用于简化电路
吉培荣提出了一种列写电路Y形连接和形连 接等效变换的简便方法，利用该方法，可快速列 写出相关公式。详见如下论文： “导出星型电路与三角形电路等效变换公式的简 便方法” 《电工技术》1997年第7期)
iS2
i is 1 i is 2 isn isk
iSn
等效电路
i
②串联
iS1
iS2
i is1 is2
i
注意 相同的理想电流源才能串联, 或者说
串联的电流源一定相同。
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3.电流源与支路的串、并联
i
iS1 R1
iS2
+
R2
u _
等效电路
iS R
i i s 1 u R 1 i s 2 u R 2 i s 1 i s 2 ( 1 R 1 1 R 2 ) u i s u R
G 2G 3 G1 G2
G3
G 31
G 3G 1 G1 G2
G3
类似可得到由Y的变换条件：
G1
G 12
G 31
G G12 31 G 23
G2
G 23
G 12
G G23 12 G 31
G3
G 31
G 23
G G31 23 G 12
R1
R 12
R R 12 31 R 23
功率的总和
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3.电阻的串并联
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种 连接方式称电阻的串并联。
例1 计算图示电路中的电流 i1
6
i1 5
i1 5
+
i2 i3 6
165V 18
i5
-
4 i4 12
+
i2 i3
165V 18 9
-
i11615 11A 5 u26i16 1 5 9V 0
_
_
由KCL:
i = i1+ i2+ …+ I k+ …+in =u/R1 +u/R2 + …+u / R n =u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=u G e q
n
G eqG 1G 2 G n G kG k k1
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结论 等效电导等于并联的各电导之和。
R 1 eqG eq R 11R 12 R 1n 即 R eq R k
第2章 电阻电路的等效变换
本章内容
2.1 引言 2.2 电路的等效变换 2.3 电阻的串联和并联 2.4 电阻的Y形连接和△形连接的等效变换 2.5 电压源、电流源的串联和并联 2.6 实际电源的两种模型及其等效变换 2.7 输入电阻
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重点： 1. 电路等效的概念； 2. 电阻的串、并联； 3. 电阻的Y— 变换; 4. 电压源和电流源的等效变换；
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2.4 电阻的Y形连接和形连接的等
效变换
1. 电阻的 、Y形连接
R1
R2
包含 a
R b
1
1 R3
R4
R12
R31
R1
2
3
R2
R3
三端 网络
R23
2
3
形网络
Y形网络
返回 上页 下页
，Y 网络的变形：
型电路 ( 型)
T 型电路 (Y、星型)
注意 这两个电路当它们的电阻满足一定的关
系时，能够相互等效 。
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2. —Y 变换的等效条件
+ 1– i1
+ i1Y
1 –
u12 R12
i2 –
2+
u31 R31
u12Y
R1 u31Y
R2
R3
R23 u23
i3 + – i2Y
–3 2 +
u23Y
i3Y + –3
等效条件：i1 =i1Y ,
i2 =i2Y , i3 =i3Y ,
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②等效电阻
R1
Rk
Rn
i + u1 _ + u k _ + un _
+
u
_
由欧姆定律
等效 i
+
Re q u_
u R 1 i R K i R n i ( R 1 R n ) i R e iq
n
R eq R 1 R k R n R kR k k 1 结论 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y
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+ 1– i1
+ i1Y
1 –
u12 R12
u31 R31
u12Y R2
R1 u31Y R3
i2 –
2+
R23 u23
i3 + – i2Y –3 2 +
u23Y
i3Y + –3
接: 用电压表示电流 Y接: 用电流表示电压
i +u _
u u s 1 R 1 i u s 2 R 2 i ( u S 1 u S 2 ) ( R 1 R 2 ) i u S R
i
i
+
+
u S_
任意 元件
uR _
+
+
uS
u
_
_
对外等效！
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2. 理想电流源的串联并联
注意参考方向
①并联
iS1
i3 =u31 /R31 – u23 /R23
根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得 Y的变换条件：
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R 12
R1
R2
R1R 2 R3
R 23
R2
R3
R 2R 3 R1
R 31
R3
R1
R 3R 1 R2
G 12
G 1G 2 G1 G2
G3
或 G 23
i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
(1) u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y=R3i3Y – R1i1Y
(2)
i1Y+i2Y+i3Y = 0
I1
12 R
U4
U2 2
14U1 3V
I4
3 2R
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电路求解的关键在于正确识别各电阻的串联、 并联关系！
例3 c d
6 5 a
15
5
b
求: 等效电阻 R a b , R c d
R a b(5 5 )/1 / 5 6 1Ω 2 R cd (1 5 5)/5 /4Ω 注意 等效电阻针对端口而言
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③串联电阻的分压
uk
u RkiRk Req
Rk uu Req
表明 电压与电阻成正比，因此串联电阻电路
可作分压电路。
i
例 两个电阻的分压：
u1
R1
R1 R2
u
u2
R2 R1 R2
u
+ u+1 R1 u-
+
_
u2 -
R2
º
返回 上页 下页
④功率
p1=R1i2， p2=R2i2，， pn=Rni2
任意
元件 +
iS
uR
_
iS 等效电路
对外等效！
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2.6 实际电源的两种模型及其等效
变换
1. 实际电压源的模型 伏安特性：uuS RSi
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例2
+ 12V
_
I1 I2 R I3 R ++
2R U_1 2R U_2 2R
I4
求：I1 ,I4 ,U4
+
2R U_4
解 ①用分流方法做
I4 1 2 I3 1 4 I2 8 1 I1 8 1 1 R 2 2 3 R
U 4I42R3V
②用分压方法做
R 31
或
R2
R 12
R R 23 12 R 23
R 31
R3
R 12
R R 31 23 R 23
R 31
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下页
简记方法：
R
Δ相
邻电
R
阻乘G积ΔY相
邻电
GY
导
乘
积
变Y
Y变
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
R = 3RY
外大内小
R12 R1 R2
R31 R3
15 b
15 7
电阻支路
7 6
6
6
6
R a b＝10
4 a b
15
10
4 a b
15 7
3
返回 上页 下页
例6
求:
Ra c
b
对称电路
c、d等电位
c
R i
R
R i
断短路
R
a i1 R
i2 b R
a R
b R
d
d 根据电流分配
i1
1 2
i
i2
Rab R
Ruaab b ui1 iaR b Ri2R(1 2i1 2i)RiR
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由式(2)解得：
i1YR1Ru122Y RR32Ru331Y RR23R1
i2YR1R u223YRR12Ru312YRR33R1 (3)
i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12
(1)
i3YR1uR321Y RR 22Ru323YR R31R1
③并联电阻的分流
ik u/ Rk Gk i u/ Req Geq
ik
Gk G eq
i
电流分配与 电导成正比
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例 两电阻的分流：
Req11R R1111R R22 RR 1 1RR 22
i
i1
i2
R1
R2
i1
1R1 i R2i 1R11R2 R1R2
i21R 1 1 R 1 2 R2iR1R 1iR2 (ii1)
①串联 uus1us2usk
uS1 +
_
uS2 +
_
+u
_ 等效电路
+_ u
②并联 uus1us2
等效电路
i
注意 相同电压源才能并
联,或者说并联的电压源一定 相同。
+
uS1 _
++
uS2
u
__
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③与其它支路的串、并联
uS1 _ +
uS2 +
_
+ uS_ R
i
R1
+
u
R2_
总功率
p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2
=R1i2+R2i2+ +Rni2
表明
=p1+ p2++ pn
①电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小 成正比；
②等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功 率的总和。
返回 上页 下页2. 电阻并联①源自路特点i+
i1
u R1 R2
_
i2
ik
Rk
in Rn
(a)各电阻两端为同一电压（KVL)； (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
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②等效电阻
i
i
+
i1 i2
ik
u R1 R2
Rk
Rn
in 等效
+ u
Req
1 +
4
3 3
3Req1109010Ω
i 2/1 0 0 2 A
20V 90
-
1 9
i1
102 0.2A 1090