人教A版·数学·必修1课时作业11奇偶性 Word版含解析
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又∵f(x)在(0,2]上为增函数，
∴
解得ห้องสมุดไป่ตู้1≤m<0.
【答案】[－1,0)
13．已知函数f(x)＝ 是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
|
11．定义两种运算：ab＝ ，a⊗b＝ ，则函数f(x)＝ 为()
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数且为偶函数
D．非奇函数且非偶函数
【解析】由定义知
f(x)＝ ＝ ，
由4－x2≥0且|x－2|－2≠0，
得－2≤x<0或0<x≤2，
即函数f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，关于原点对称；
【解析】∵f(2 016)＝a·2 0163＋b·2 016＋1＝k，∴a·2 0163＋b·2 016＝k－1，则f(－2 016)＝a(－2 016)3＋b·(－2 016)＋1＝－[a·2 0163＋b·2 016]＋1＝2－k.
【答案】D
5．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(1)，则下列不等式中一定成立的是()
【解析】由于函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋3是偶函数，因此k－1＝0，k＝1.
【答案】1
7．若f(x)为偶函数，则f( ＋1)－f ＝________.
【解析】因f(x)为偶函数，
所以f ＝f(－(1＋ ))＝f(1＋ )，
故f( ＋1)－f ＝0.
【答案】0
8．已知函数f(x)＝ 是奇函数，则实数b＝________.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
【解析】(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)
＝－[(－x)2－2(－x)]
＝－x2－2x，
综上，f(x)＝
(2)图象如图：
所以f(0)＝0，即 ＝0，
解得b＝0.
【答案】0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝1－ .
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
【解析】(1)由已知g(x)＝f(x)－a得，
g(x)＝1－a－ ，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
2．函数f(x)＝ －x的图象()
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
【解析】∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－ －(－x)＝x－ ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
【答案】C
3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为()
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
综合f(x)的图象知
所以1<a≤3.故实数a的取值范围是(1,3]．
14．已知函数y＝f(x)不恒为0，且对于任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，求证：y＝f(x)是奇函数．
f(x)＝ ＝－ ，
f(－x)＝－ ＝－f(x)．
故f(x)是奇函数．故选A.
【答案】A
12．若f(x)是[－2,2]上的偶函数，在(0,2]上为增函数，且f(m－1)>f(m＋1)，则m的取值范围为________．
【解析】∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
则f(|x|)＝f(x)，
不等式f(m－1)>f(m＋1)可化为f(|m－1|)>f(|m＋1|)，
即1－a－ ＝－ ，
解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
证明如下：
设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)
＝1－ － ＝
∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0，
从而 <0，即f(x1)<f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
A．－2 B．2
C．1 D．0
【解析】由图知f(1)＝ ，f(2)＝ ，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－ － ＝－2.故选A.
【答案】A
4．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 016)＝k，则f(－2 016)＝()
A．kB．－k
C．1－kD．2－k
A．f(－1)<f(－3) B．f(2)<f(3)
C．f(－3)<f(5) D．f(0)>f(1)
【解析】∵f(－3)＝f(3)，∴f(3)<f(1)．∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数，∴f(0)>f(1)成立．
【答案】D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋3是偶函数，则k等于________．
课时作业
|
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数是偶函数的是()
A．y＝2x2－3B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1]D．y＝x
【解析】对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.
【答案】A
【证明】在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以y＝f(x)是奇函数．
【解析】法一(定义法)因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即 ＝－ ，
整理得 ＝－ ，
所以－x＋b＝－(x＋b)，即2b＝0，
解得b＝0.
法二(赋值法)因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，
即 ＝－ ，
即 ＝－ ，
解得b＝0.
法三(赋值法)因为f(x)为奇函数，且函数的定义域为R，
∴
解得ห้องสมุดไป่ตู้1≤m<0.
【答案】[－1,0)
13．已知函数f(x)＝ 是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
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11．定义两种运算：ab＝ ，a⊗b＝ ，则函数f(x)＝ 为()
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数且为偶函数
D．非奇函数且非偶函数
【解析】由定义知
f(x)＝ ＝ ，
由4－x2≥0且|x－2|－2≠0，
得－2≤x<0或0<x≤2，
即函数f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，关于原点对称；
【解析】∵f(2 016)＝a·2 0163＋b·2 016＋1＝k，∴a·2 0163＋b·2 016＝k－1，则f(－2 016)＝a(－2 016)3＋b·(－2 016)＋1＝－[a·2 0163＋b·2 016]＋1＝2－k.
【答案】D
5．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(1)，则下列不等式中一定成立的是()
【解析】由于函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋3是偶函数，因此k－1＝0，k＝1.
【答案】1
7．若f(x)为偶函数，则f( ＋1)－f ＝________.
【解析】因f(x)为偶函数，
所以f ＝f(－(1＋ ))＝f(1＋ )，
故f( ＋1)－f ＝0.
【答案】0
8．已知函数f(x)＝ 是奇函数，则实数b＝________.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
【解析】(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)
＝－[(－x)2－2(－x)]
＝－x2－2x，
综上，f(x)＝
(2)图象如图：
所以f(0)＝0，即 ＝0，
解得b＝0.
【答案】0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝1－ .
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
【解析】(1)由已知g(x)＝f(x)－a得，
g(x)＝1－a－ ，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
2．函数f(x)＝ －x的图象()
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
【解析】∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－ －(－x)＝x－ ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
【答案】C
3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为()
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
综合f(x)的图象知
所以1<a≤3.故实数a的取值范围是(1,3]．
14．已知函数y＝f(x)不恒为0，且对于任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，求证：y＝f(x)是奇函数．
f(x)＝ ＝－ ，
f(－x)＝－ ＝－f(x)．
故f(x)是奇函数．故选A.
【答案】A
12．若f(x)是[－2,2]上的偶函数，在(0,2]上为增函数，且f(m－1)>f(m＋1)，则m的取值范围为________．
【解析】∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
则f(|x|)＝f(x)，
不等式f(m－1)>f(m＋1)可化为f(|m－1|)>f(|m＋1|)，
即1－a－ ＝－ ，
解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
证明如下：
设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)
＝1－ － ＝
∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0，
从而 <0，即f(x1)<f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
A．－2 B．2
C．1 D．0
【解析】由图知f(1)＝ ，f(2)＝ ，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－ － ＝－2.故选A.
【答案】A
4．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 016)＝k，则f(－2 016)＝()
A．kB．－k
C．1－kD．2－k
A．f(－1)<f(－3) B．f(2)<f(3)
C．f(－3)<f(5) D．f(0)>f(1)
【解析】∵f(－3)＝f(3)，∴f(3)<f(1)．∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数，∴f(0)>f(1)成立．
【答案】D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋3是偶函数，则k等于________．
课时作业
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数是偶函数的是()
A．y＝2x2－3B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1]D．y＝x
【解析】对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.
【答案】A
【证明】在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以y＝f(x)是奇函数．
【解析】法一(定义法)因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即 ＝－ ，
整理得 ＝－ ，
所以－x＋b＝－(x＋b)，即2b＝0，
解得b＝0.
法二(赋值法)因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，
即 ＝－ ，
即 ＝－ ，
解得b＝0.
法三(赋值法)因为f(x)为奇函数，且函数的定义域为R，