(完整版)利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题
基本题引入：如图（1）,要在公路道a 上修建一个加油站，有A,B 两人要去加油站加
BN A No
因为直线a 是A A ’的对称轴，点 M,N 在a 上，所以 AM= A M,AN= A ’ N 。

••• AM+BM= A M+BM= A B
在^ A BN 中,
•/ A B< A N+BN ••• AM+B < AN+BN
即 AM +B M!小。

点评：经过复习学生恍然大悟、 面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道 中考题解决了。

思路如下：②••• BC = 9 （定值），•••△ PBC 的周长最小，就是 PB+ PC 最小.由 题意可知，点 C 关于直线DE 的对称点是点 A ,显然当P 、A B 三点共线时PB+PA 最小.此 时 DP = DE PB+PA = AB.由/ ADM / FAE / DFA=/ ACB= 90°,得^ DAF^A ABC. EF// BC
1
15 9 得 AE= BE= — AB=丄,EF= - . •• AF： BO AD ： AB,I 卩 6 : 9 = AD ： 15. •• AD= 10. Rt △
ADF
2
2
2
9 25
中，AD= 10, AF = 6,.・.DF = 8. •• DE = DF + FE = 8+ —=——.•••当 使AM 与BM 的和最小。

设 A M 与BM 的和最小。

在连
接A B 的线中，线段A
B 最短。

因此，线段 A B 与直线a 的交点
C 的位置即为所求。

如图3,为了证明点
C 的位置即为所求，我们不妨在直线
a 上另外任取一点 N,连接AN
25
X = —— 时，△ PBC 的周
长
遵循学生认知规律，合理
油。

加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短?
A '是A 的对称点，本问题也就是要使 M
2 2
最小，y值略。

数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程,
组织教学内容，建立科学的训练系统。

使学生不仅获得数学基础知识、 数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。

同时每年的中考题也千变万化， 为了提高学生 的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。

两条直线间的对称
题目1如图，在旷野上，一个人骑马从
A 出发，他欲将马引到河 a1饮水后再到a2饮
水，然后返回 A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。

点评：这道题学生拿到时往往无从下手。

但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。

作
法：过点A 作a1的对称点A ,作a2的对称点A ,连接A A 交 所经过路线如图5: A-B-C-A,所走的总路程为 A A 。

二、三角形中的对称
题目2 如图,在^ ABC 中,AC=BC=2, / ACB=90 ,D 是BC 边上的中点，E 是AB 边上的一 动点，则EC+ED 勺最小值是
点评：本题只要把点 C 、D 看成基本题中的A 、E 两镇，把线段
AB 看成燃气管道a ,问
题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。

三、四边形中的对称
题目3 如图，正方形 ABCD 的边长为8, M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的动点，则
DN+MN 勺最小值为多少?
点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点 正好是点B,最小值为 MB= 10。

基本技能，更要获得
a1、a2 于 B 、C,连接
BC.
D 关于直线AC 的对称点 第2题图
当点P 运动到点p ’时, 此时AP+BP 有最小值为就
*
*
*
/
H
/ / y
J * ¥ B f
J J
C
第5题图1
五、立体图形中的对称
题目5如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的
A 处，它想吃
到盒内表面对侧中点 B 处的食物，已知盒高h = 10cm,底面圆的周长为 32cm, A 距离下底面
3cm.请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm
点评：如图2,此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展 开得矩形EFGH 作出点B 关于EH 的对称点B',作AC 丄GH 于点C,连接A B ’。

在Rt △ A B ’
C 中，AC= 16, B ’ C= 12,求得A B '= 20,则蚂蚁爬行的最短路程为 20cm 。

通过变式训练既解决了一类问题， 又归纳出了最本质的东西， 以后学生再碰到类似问题 时学生就不会不知所措。

同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性,
发展了学生的应
四、圆中的对称
题目4已知：如图，已知点 A 是O O 上的一个六等分点，点 B 是弧AN 的中点，点P 是 半径ON 上的动点，若O O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。

点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。

点
B 的对称点B'在圆上，AB'交ON
,/ B ' ON= 30°,/ AOB = 90°,半径长为 1 可得 AB'=血。

E'
于点 p ’，由/ AON= 60 M
E
A
G
第5题图2
B
’
Aq=^4+2
乜;
ACC =V 6^=^37；
ACC =V 5
2
+2
=v29 .
变能力。

综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练,
固基础、提高能力有着至关重要的作用。

更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思 维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生 分析问题、解决问题的能力。

题目6长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬 到对角顶点C i 处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
析：展开图如图所示，
V25 J 29 737
路线1即为所求。

长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最 长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。

B M l
A 4
B 2 C
2
B i
对巩
由学生引申总结以下1
4:
I
3、
1
、
已知：如图，A B 两点在直线I 的同侧，点 A 与A 关于直线I 对称，连结 AB 交I 于P 点，若
A B =a , (1 )求
AP+PB (2)若点M 是直线I 上异于P 点的任意一点,
求证:
2、 AM
MB AP PB .
已
知:
A B 两点在直线
I 的同侧，试分别画出符合条件的
点
(1)
在I 上求作一点
使得
AM BM 最小;
如图, 点E 、
在I 上求作一点
在I 上求作一点
使得
使得 AM BM 最大;
AM+BM 最
小。

AD 为/ BAC 的平分线，DEX AB 于E , DF 丄AC 于
F ,那么
F 是否关于AD 对称？若对称，请说明理由。

4、已知：如图，点 P 1,P 2分别是
P 点关于/ ABC 的两边BA BC 的对称点，连接 P 1P 2 ,分
别交BA BC 边于E 、D 点，若p 1 p 2 =m (1) 求△PDE 的周长；
(2 )若M 是BA 边上异于 E 的一点，N 是BC 边上异于 D 的一点，求证: PDE 的周长。

△ PMN 的周长＞△
轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变 位
置，要注意体会轴对称在这方面的应用。

以此作为模型我们可以解决 下列求最小值的问题。

C
P 2
N
P
M
B P l
5.如图，菱形ABCD 中, AB=2 / BAD=60 , E 是AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点, 则PE+PB 的最小值是 ____________ 。

分析：首先分解此图形，构建如图 一点P,使PE+PB 最小，关键是找出点 可知点B 和D 关于AC 对称，连结 DE 5模型，因为E 、B 在直线AC 的同侧，要在 AC 上找 B 或E 关于AC 的对称点。

如图6,由菱形的对称性 此时DE 即为PE+PB 的最小值， A 图
由/ BAD=60 , AB=AD
DE 逅 2 ^/3
2
D C
P
AE=BE 知,
故PE+PB 的最小值为岛。