高二暑假返校考

高二返校考试数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）
A．{﹣1，1}B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}
2．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填
入的条件是（）
A．s
≤B．s
≤C．s ≤D．s ≤
3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，
86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所
得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A．众数B．平均数C．中位数D．方差
4．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若tanα＞0，则（）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
7．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A ．B ．C．πD．2π
8．将函数y=2sin（2x +）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x +）B．y=2sin（2x +）
C．y=2sin（2x ﹣）D．y=2sin（2x ﹣）
9．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
10．已知cosx=，则cos2x=（）
A ．﹣
B ．
C ．﹣
D ．
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC 的面积为（）
A．2+2 B ．C．2﹣2 D ．﹣1
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则∠A的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题（共4小题）
13.在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π﹣α）= 14．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为．15．已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，则过点O（0，0）的圆M的切线方程为．16.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为
三．解答题（共6小题）
17（10分）．已知=（2，1），=（﹣3，4）．
（Ⅰ）求
3的坐标和模；
（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．
18（12分）．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求m的值．
19（12分）．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，△ABC是正三角形，直线AA1⊥平面A1B1C1，D 是棱A1C1的中点．
（1）求证：B1D⊥平面AA1C1C；
（2）求证：BC1∥平面AB1D．
20（12分）．已知函数
2
1
2
cos2+
-
x
．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c ，，，sinB=2sinC，求c．
21（12分）
．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f（x ）在区间上的最值．
22（12分）．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC，（1）求角C的值；
（2）若△ABC的面积为S=c，且a+b=2c，求边长c的值．
高二返校考试数学试卷（大班专用）
参考答案与试题解析
CCDCB CCDAD BA
21-,829,y=-2x,2
5 三、解答题（共7小题）
17．解：（Ⅰ）∵=（2，1），=（﹣3，4）． ∴
3=（6，3）+（﹣12，16）=（﹣6，19）， |
|
=
=
． （Ⅱ）cos ＜
＞
=
=
=﹣
，
∴与的夹角的余弦值为﹣
．
18.解：（1）∵直线l ：y ﹣1=m （x ﹣1）过定点P （1，1），且|PC |==1
＜
，即P 点在圆C 内，
∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点； （2）∵圆半径r=
，|AB |=
，
∴圆心（0，1）到l 的距离
d=
=
，即
=
，
解得：m=
±
．
19.证明：（1）∵在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， △ABC 是正三角形，
∴△A 1B 1C 1是正三角形， 又∵D 是棱A 1C 1的中点， ∴B 1D ⊥A 1C 1．
∵AA 1∥CC 1，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， ∴CC 1⊥平面A 1B 1C 1，B 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴CC 1⊥B 1D ， ∵CC 1∩AC 1=C 1， ∴B 1D ⊥平面AA 1C 1C ．
（2）连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD ，则O 为BA 1的中点． ∵D 是棱A 1C 1的中点，
∴OD 为△A 1BC 1的中位线． ∴OD ∥BC 1．
又OD ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄面AB 1D ，
∴BC 1∥平面AB 1D ．
20.解：（1）=，
由，k ∈Z ，
解得
，k ∈Z ；
∴函数f （x ）的单调递减区间为
，k ∈Z ； （2）∵
，A ∈（0，π），∴
； ∵sinB=2sinC ，∴由正弦定理
，得b=2c ；
又由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，，
得，解得c=1．
21．解：（1）∵，
∴，令：，解得：．函数f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为：．
（2）∵，∴．
因为在区间上单调递增，在区间上单调递
减，所以，当时，f（x）取最大值1．
又∵，
当时，f（x）取最小值．
22.解：（1）由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，故cosC=，所以C=．
（2）△ABC的面积为S=c==，ab=c
cosC==，
所以ab=a2+b2﹣c2．
由a+b=2c，可得a2+b2+2ab=4c2，即ab=c2，
∴c=1．。