深圳石岩街道石岩公学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．数学归纳法证明
*1111
(1,)n 1n 2
n 2
n n N n +++
>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）
A ．
1
22
k +
B ．1
21
k + C ．
11+2122++k k D ．11
2k 12k 2
++－ 2．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩
D ．甲、丁可以知道自己的成绩
3．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为
12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55
项和为( )
A ．4072
B ．2026
C ．4096
D ．2048
4．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02
π
θ<<，点D 在平面α内，
则当四面体ABCD 转动时（ ）
A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥
B ．存在某个位置使得B
C α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥
D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥
5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x
B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
6．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
7．设k 1111S k 1k 2k 32k
=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1
S 2k 1++
B ．()k 11
S 2k 12k 1++++ C ．()
k 11
S 2k 12k 1+
-++ D ．()k 11
S 2k 12k 1
+
-++
8．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ） A ．乙亥年
B ．戊戌年
C ．庚子年
D ．辛丑年
9．用反证法证明命题：“若x ，那么(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有
一个不小于
1
2
”时，反设正确的是( ) A ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有两个小于12 B ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有一个小于12
C ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都不小于12
D ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于12
10．“因为e 2.71828=是无限不循环小数，所以e 是无理数”，以上推理的大前提是
（ ）
A ．实数分为有理数和无理数
B ．e 不是有理数
C ．无限不循环小数都是无理数
D ．无理数都是无限不循环小数
11．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90︒”，下列假设中正确的是
（ ）
A ．假设有两个内角超过90︒
B ．假设有三个内角超过90︒
C ．假设至多有两个内角超过90︒
D ．假设四个内角均超过90︒
12．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图
中⑸，⑹对应的运算是( )
A ．*
B D ，*A D B ．*B D ，*A
C C ．*B C ，*A
D D ．*C D ，*A D
二、填空题
13．记I 为虚数集，设,,,a b R x y I ∈∈，则下列类比所得的结论正确的是__________．
①由·a b R ∈，类比得·
x y I ∈ ②由20a ≥，类比得20x ≥
③由()2
222a b a ab b +=++，类比得()2
222x y x xy y +=++ ④由0,a b a b +>>-，类比得0,x y x y +>>-
14．类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为__________． 15．观察下列关系式:
11x x +=+;
()2
112x x +≥+; ()
3
113x x +≥+;
由此规律,得到的第n 个关系式为__________
16．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数．现给出一组数：11315
,,,,228432
---，…，则第8个数可以是__________．
17．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式
20cx bx a -+>”，有如下解法：由2
2110()()0ax bx c a b c x x
-+>⇒-+>，令1y x =，
则1
(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的
不等式
0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1
011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.
18．观察下列式子：
，
，
，
，…，根据以上规律，第个不等式是_________.
19．观察下列等式：
……
据此规律，第个等式可为____________________________________． 20．给出下列等式：
；
；
，
由以上等式推出一个一般结论： 对于
=________________________．
三、解答题
21．已知正数列{}n a 满足2
3
3
312n a n =++
+．
（1）求1a ，2a ，3a 的值；
（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
22．已知函数3
()sin (,,1)1
x
f x a b a b R a x =+-
∈>+的图象过点()0,1-. 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）函数()f x 没有负零点. 23．观察下列等式：
11122
-
= 11111123434
-+-=+ 11111111123456456
-+-+-=++ ……
（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想．
24．已知数列{}n x 满足11
11,,21n n
x x x +==+其中n *∈N .
（Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；
（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论. 25．数列{}n a 满足2()n n S n a n =-∈*
N .
（Ⅰ）计算1a ，2a ，3a ，并由此猜想通项公式n a ； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想. 26．观察下列不等式：
413<； 218125+<； 2
211121237++<； 2
221111612349
+
++<； ……
（1）由上述不等式，归纳出与正整数n 有关的一个一般性结论； （2）用数学归纳法证明你得到的结论.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】
当n k =时，左边的代数式为111
12k k k k
++⋯++++， 当1n k =+时，左边的代数式为11111
232122
k k k k k k ++⋯++++++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：
11111
212212122
k k k k k +-=-+++++，故选D ． 【点睛】
本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.
2．D
解析：D
【分析】
先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.
【详解】
解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D.
【点睛】
本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.
3．A
解析：A
【分析】
利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．
【详解】
解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n项和为S n
12
12
n
-
==
-
2n﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则T n
()1
2
n n+ =，
可得当n＝10，所有项的个数和为55，
则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，
则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，
故选A．
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
4．B
解析：B
【分析】
由线面垂直与线面平行的判定，结合反证法，即可得出结果.
【详解】
当正四面体过点D的高与平面α垂直时，平面ABC平面α，所以BC平面α；
若BC⊥平面α，因为正四面体中BC AD
⊥，所以AD⊂平面α，或AD平面α，此时
AD 与平面α所成角为0，与条件矛盾，所以BC 不可能垂直平面α；
故选B 【点睛】
本题主要考查直线与平面平行与垂直的判定，在验证BC 与平面α是否垂直时，可借助反证的思想来解决，属于中档试题.
5．D
解析：D 【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．
6．B
解析：B 【分析】
分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果. 【详解】
若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意； 若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意； 若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意； 若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意， 综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B. 【点睛】
本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.
7．C
解析：C 【解析】
分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：
()()()
()
1111
1
11121321k S k k k k +=+++
+
+++++++
()
1111
23421k k k k =++++++++
()
111111234
22121k k k k k k =
+++++++++++
()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()
11111111234
22121k k k k k k k =
+++++
+-++++++ ()
11
2121k S k k =+
-++. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．C
解析：C 【解析】
2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，
那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年，2018是戊戌年，2019年是己亥年，以此类推记得到2020年是庚子年． 故答案为C ．
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意，由于反证法证明命题:“若2()f x x px q =++，那么(1)f ，
(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于1
2
”时，即将结论变为否定就是对命题的反设，因此可
知至少有一个的否定是一个也没有，或者说假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于1
2
，故选D.
考点：反证法. 10．C
解析：C 【解析】
由题意得: 大前提是无限不循环小数都是无理数,选C.
11．D
解析：D 【解析】
“至少有一个内角不超过90︒”的反面含义为“四个内角没有一个不超过90︒”,即四个内角均超过90︒,选D.
12．B
解析：B 【解析】
由图知，A 表示圆，B 表示三角形，C 表示竖线，D 表示矩形，()5∴表示B D *，()6表示A C *，故选B.
二、填空题
13．③【解析】分析：在数集的扩展过程中有些性质是可以传递的但有些性质不能传递因此要判断类比的结果是否正确关键是要在新的数集里进行论证当然要想证明一个结论是错误的也可直接举一个反例要想得到本题的正确答案可
解析：③ 【解析】
分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．
详解：A ：由a•b ∈R ，不能类比得x•y ∈I ，如x=y=i ，则xy=﹣1∉I ，故①不正确； B ：由a 2≥0，不能类比得x 2≥0．如x=i ，则x 2＜0，故②不正确； C ：由（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，可类比得（x+y ）2=x 2+2xy+y 2．故③正确；
D ：若x ，y ∈I ，当x=1+i ，y=﹣i 时，x+y ＞0，但x ，y 是两个虚数，不能比较大小．故④错误
故4个结论中，C 是正确的． 故答案为：③．
点睛：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．
14．【解析】分析：先根据类比将正四面体分割成四个小三棱锥再根据体积关系求内切球半径详解：设正四面体的内切球半径为各面面积为所以点睛：等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到
【解析】
分析：先根据类比将正四面体分割成四个小三棱锥，再根据体积关系求内切球半径. 详解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ,
所以1
14334
h
h S r S r ⨯⨯=⨯⨯⨯∴===. 点睛：等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计
算得到高的数值．
15．【解析】左边为等比数列右边为等差数列所以第个关系式为 解析：()11n
x nx +≥+
【解析】
左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n 个关系式为()11n
x nx +≥+.
16．【详解】这几个数是这样规律比较明显了即所以故填： 解析：
132
【详解】 这几个数是12345,,,,......2481632-
--，这样规律比较明显了，即()12
n
n n n a =-⋅，所以88125632a =
=，故填：132
. 17．【解析】
解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】
关于x 的不等式
1011kx bx ax cx -+<--可化为1
011b k x a c x x
-
+<--， 则由题设中提供的解法可得：1111
(2,1)(2,3)(,)(,1)232
x x -∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x 的不等式
1011kx bx ax cx -+<--的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232
--． 18．1×2+2×3+⋅⋅⋅+n×(n+1)<(n+1)22【解析】不等式左边共有n 项相加第n 项是n(n+1)不等式右边的数依次是4292162252⋯(n+1)22 解析：
【解析】
不等式左边共有项相加，第项是
，不等式右边的数依次是
19．【解析】试题分析：根据归纳推理观察所得等号左边第行有个数字加减等号有边第行有个数字相加并且是后个所以猜想第个等式是考点：归纳推理 解析：
【解析】
试题分析：根据归纳推理，观察所得，等号左边，第行有个数字加减，等号有边，第
行有个数字相加，并且是后个，所以，猜想第个等式是
．
考点：归纳推理
20．1-【解析】解：根据已知的表达式可以观察归纳得到=1-
解析：1-
1
(1)2n
n +⋅．
【解析】
解：根据已知的表达式可以观察归纳得到
=1-
三、解答题
21．（1）11a =；23a =，36a =；（2）猜想：()
12
n n n a +=，证明见解析． 【分析】
（1）分别令1,2,3n =，即得1a ，2a ，3a 的值； （2）猜想()
12
n n n a +=，再利用数学归纳法证明. 【详解】
（1）当1n =时，3211a =，又0n a >，∴11a =；当2n =时，332
212a +=，解得
23a =，
当3n =时，3332
3123a ++=，解得36a =．
（2）猜想()
12
n n n a +=
， ①当1n =时，由（1）可知结论成立； ②假设当n k =时，结论成立，即()
12
k k k a +=成立， 则当1n k =+时，由33
32
l 2k k a ++
+=与()
12
k k k a +=
得：()()2
3
22211112k k k k k k a a a +++⎛⎫
+=-=- ⎪⎝⎭
，
∴()()()()()222
223
221
112111444k k k k k k a
k k k ++++⎛
⎫=++=+++= ⎪⎝
⎭，
又0n a >， ∴()()1122
k k k a +++=
成立，
综上所述得()
12
n n n a +=成立． 【点睛】
方法点睛：用数学归纳法证明，一般是两步一结论，（1）证明当1n =时命题成立；（2）假设(1)n k k =≥时命题成立，再证明当1n k =+时，命题成立.（3）下结论. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）先根据函数图象过点()0,1-得sin 1b =，再根据导数研究函数的单调性即可；
（2）用反正法证明，假设函数()f x 有负零点0x ，则有0
03
11
x a x +=
+，再根据范围推矛盾即可. 【详解】
解：（1）由于函数()3
sin 1
x
f x a b x =+-
+得图象过(0,1)-，所以(0)1f =-，得 sin 1b =
所以()31(1)1
x
f x a a x =+-
>+，所以()2
3ln 0(1)(1)x
f x a a x x '=+>≠-+ 故函数()f x 在()1,-+∞为增函数.
（2）假设函数()f x 有负零点0x ，则有()00f x =，故0
03
11
x
a x +=
+ 由于1x y a =+在R 上为增函数，且012a +=.所以012x a +< 所以0112x a <+<，所以03121x <
<+得01
22
x <<与00x <矛盾 所以假设不成立.故函数()f x 没有负零点 【点睛】
本题考查利用导函数研究函数单调性，反证法等，是中档题. 23．（1）11111111
1234212122n n n n n
-+-+⋯+-=++⋯+-++；（2）证明见解析. 【分析】
（1）根据给出等式的规律，直接写出一般结论；
（2）利用数学归纳法证明猜想的结论，递推部分利用n k =时的结论来推导证明当
1n k =+时，等式仍然成立.
【详解】 （1）111111111234212122n n n n n
-
+-+⋯+-=++⋯+-++． （2）证明：①当1n =时，左边11122
=-=，右边1
2=，左边=右边
∴当1n =时，等式成立； ②假设当n k =时等式成立，即
11111111
1234212122k k k k k
-
+-+⋯+-=++⋯+-++ 则当1n k =+时 左边1111111
12342122122
k k k k =-
+-++-+--++ (111111222122)
k k k k k =
++⋯++-++++ 111112321122k k k k k ⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭ (1111)
232122
k k k k =
++++=++++…右边 ∴当1n k =+时，等式也成立
由①②可知，对一切n *∈N ，等式都成立． 【点睛】
本题主要考查了归纳推理和数学归纳法，考查了学生逻辑推理与运算求解能力. 24．（Ⅰ）112x =
，22
3x =，335x =，458x =，5813x =，61321
x =（Ⅱ）猜想：数列
2{}n x 是递减数列，证明见解析
【分析】
（I ）根据递推公式，依次求得23456,,,,x x x x x 的值.（II ）由（I ）猜想数列2{}n x 是递减数列.用数学归纳法证得结论成立. 【详解】
解：（Ⅰ）由12
1112
,213
x x x ===+得； 由232213
,315x x x ===+得； 由343315,518x x x ===+得； 由454518,8113
x x x =
==+得；
由5658113,13121
x x x =
==+得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知246,x x x >>猜想：数列2{}n x 是递减数列. 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，已证命题成立；
②假设当n k =时命题成立，即222k k x x +>. 易知20k x >，当1n k =+时，
2224k k x x ++-
21231111k k x x ++=-++
2321
2123(1)(1)
k k k k x x x x ++++-=++
222
22122230(1)(1)(1)(1)
k k k k k k x x x x x x ++++-=
>++++
即2(1)2(1)2k k x x +++>.
也就是说，当1n k =+时命题也成立. 根据①②可知，猜想对任何正整数n 都成立. 【点睛】
本小题主要考查根据递推公式求数列各项的值，考查数学归纳法证明数列的单调性，属于中档题.
25．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】
分析：（Ⅰ）计算出123371,,24a a a ===，由此猜想121
2
n n n a --=.( Ⅱ)利用数学归纳法证
明猜想.
详解：（Ⅰ）123371,,.24a a a ===，由此猜想121
2
n n n a --=；
（Ⅱ）证明：当1n =时，11a =，结论成立；
假设n k =（1k ≥，且k N +
∈），结论成立，即121
2
k k k a --=，
当+1n k =（1k ≥，且k N +∈）时，
()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，即122k k a a +=+，所以
()111+11
21
22212222
k k k k k k a a +-+--++-===，这就是说,当1n k =+时，结论成立，
根据(1)和(2)可知对任意正整数结论都成立，即1212
n n n a --= ()n N +
∈.
点睛：（1）本题主要考查不完全归纳法和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）数学归纳法证明的关键是证明当n=k+1时命题成立，这时要利用已知和假设. 26．（1）2
221111234
+++++
21421
n n n <+.（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）根据式子左右规律得222
111
1234+
++++
21421
n n n <+.（2）利用分析法证明1n k =+时结论成立：先利用归纳假设得()()()24141
21211
1k k k k k ++<++++为证明目标，再移项通分化简，直到43>. 试题
解：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n 有关的一般不等式为
2
221111234
+
++++
21421
n n n <+. （2）以下用数学归纳法证明2
221111234
+
++++
21421
n n n <+（*N n ∈）. ①当1n =时，由题设可知，不等式显然成立. ②假设当n k =（*N k ∈）时，不等式成立，即2
221111234
+++++
21421
k k k <+， 那么，当1n k =+时，有2
221111234
+
++++
()()22
211412111k k k k k +<++++. 下证()()()24141212111k k k k k ++<++++，即证()
()2
411423211k k
k k k +<-+++. 即证
()
211232141k k k k k +<
-+++ ()()
1
2123k k =++， 即证()()()2
412123k k k +>++， 即证22484483k k k k ++>++， 即证43>.而43>显然成立.
因此2
221111234
+++++ ()()
22211412111k k k k k +<++++成立. 所以当1n k =+时，不等式也成立. 根据①和②，不等式2
221111234
+
++++
21421
n n n <+对任意*N n ∈都成立.。