【沪科版】初二数学下期中一模试卷(带答案)(1)

一、选择题
1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．65︒
B ．55︒
C ．45︒
D ．25︒
2．在ABCD 中AB BC ≠．F 是BC 上一点，AE 平分FAD ∠，且E 是CD 的中点，则下列结论：①AB BF =；②AF CF CD =+；③AF CF AD =+；④AE EF ⊥，其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②④
C ．③④
D ．①②④ 3．以下关于8的说法，错误的是（ ） A ．8是无理数 B ．822=± C ．283<< D ．822÷= 4．已知0<x<3，化简2(21)x =+-|x-5|的结果是（ ）
A ．3x-4
B ．x-4
C ．3x+6
D ．-x+6
5．已知27n 是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ）.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．下列二次根式中，能与2合并的是（ ）
A ．23
B ．48
C ．20
D ．18
7．如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图，菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，E 是边AD 上一动点，将△CDE 沿CE 折叠，得到△CFE ，则△BCF 面积的最大值是（ ）
A ．8
B ．83
C ．16
D ．163 9．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）
A ．6，8，10
B ．1，2，3
C ．43，1，53
D ．2，4，6 10．已知实数a ，b 为ABC 的两边，且满足2a 1b 4b 40-+-+=，第三边c 5=，则第三边c 上的高的值是( )
A ．554
B ．455
C ．552
D ．255
11．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（ ）
A ．3
B ．5
C ．31+或31-
D ．51+或51- 12．如图，90C D ∠=∠=︒，CAB DBA ∠=∠，若3AC =，4=AD ，则AB 是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 二、填空题
13．如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 是AB 上一动点，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是________．
14．82
_____．
15．若a 是11的小数部分，则()6a a +=_____．
16．若1
x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______． 17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是斜边AB 中点，若∠B ＝30°，AC ＝2，则CD ＝_____．
18．如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，3BE =，则EC 的长为_____．
19．已知直角坐标平面内的Rt △ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，3）、B （1，2）、C （3，-4），则直角顶点是_________．
20．如图，∠AOD =90°，OA =OB =BC =CD ，若AC =3，则AD =_______．
三、解答题
21．如图，菱形ABCD 的边长为2．2BD =，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足2AE CF +=．
（1）求证：BDE BCF △≌△；
（2）判断BEF 的形状，并说明理由．
22．如图，在
中，，D 为的中点，，，连接交
于点O ．
（1）证明：四边形
为菱形； （2）若，，求菱形的高．
23．计算 （1）3823218-+；（2）(325)(325)-+
24．计算： ()2182214⨯+-+-．
25．本题分为A ，B 两题，可以自由选择一题，你选择 题
A ：如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m 处，发现此时绳子底端距离打结处2m ，则旗杆的高度为多少米？
B ：如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的
C 处有一筐水果，一只猴子从
D 处爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两只猴子所经路程都是16m ，求树高AB ．
26．如图，△ABC 中，AB ＝2∠ABC ＝45°，D 是BC 边上一点，且AD ＝AC ，若BD ﹣
DC＝1．求DC的长．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
由菱形得到AB=AD，进而得到∠ADB=∠ABD，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得△DEM≌△CEF，即可得EM＝EF，又由AE 平分∠FAD，即可判定△AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE⊥EF，进而可对各选项进行判断．
【详解】
解：延长AD，交FE的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEM和△CEF中，
M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DEM ≌△CEF （AAS ），
∴EM ＝EF ，
∵AE 平分∠FAD ，
∴AM ＝AF ，AE ⊥EF ．
即AF ＝AD +DM ＝CF +AD ；故③，④正确，②错误．
∵AF 不一定是∠BAD 的角平分线，
∴AB 不一定等于BF ，故①错误．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 3．B
解析：B
【分析】
8表示求8的算术平方根，而算术平方根是求一个非负数的正的平方根，据此可以得到结果．
【详解】
A 8A 正确．
B 、8表示求8的算术平方根，而算术平方根是求一个非负数的正的平方根， 82=B 错误．
C 、489,283<∴<．故C 正确．
D 828242÷
=÷==．故D 正确．
故选B ．
【点睛】 本题考查了算术平方根的定义、二次根式的除法及无理数的有关概念，正确的理解算术平方根是解决此题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
先根据0<x<3判定2x+1和x-5的正负，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，
最后合并同类项即可．
【详解】
解：∵0<x<3
∴2x+1＞0，x-5＜0
∴
=2x+1+x-5
=3x-4．
故答案为A．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据0<x<3判定2x+1和x-5的正负是解答本题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
27n一定是一个完全平方数，把27分解因数即可确定．
【详解】
27n一定是一个完全平方数，把27分解因数即可确定．
∵2
2733
=⨯，
∴n的最小值是3．
故选B．
【点睛】
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非
==．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
6．D
解析：D
【分析】
先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可．
【详解】
的同类二次根式．
A 6
无法合并，故A错误；
B43无法合并，故B错误；
C25无法合并，故C错误；
D32可以合并，故D正确．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 7．C
解析：C
【分析】
求得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD =AD•BD ；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △AOD 中，AO ＞AD ，即可得到AO ＞DE ；依据O 是BD 中点，E 为AB 中点，可得BE=DE ，利用三角形全等即可得OE ⊥BD 且OB=OD ．
【详解】
解：在ABCD 中，
∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE 平分∠ADC ，
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED ，
∴△ADE 是等边三角形，
12
AD AE AB ∴==， ∴E 是AB 的中点，
∴DE=BE ，
1302
BDE AED ︒∴∠=∠=， ∴∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，
∴S ▱ABCD =AD•BD ，故①正确；
∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，
∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，
∴∠CDB=∠BDE ，
∴DB 平分∠CDE ，故②正确；
∵Rt △AOD 中，AO ＞AD ，
∵AD=DE ，
∴AO ＞DE ，故③错误；
∵O 是BD 的中点，
∴DO=BO,
∵E 是AB 的中点，
∴BE=AE=DE
∵OE =OE
∴△DOE ≌△BOE(SSS)
∴∠EOD=∠EOB
∵∠EOD+∠EOB=180°
∴∠BOE=90°
∴OE垂直平分BD，故④正确；
正确的有3个，
故选择：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
由三角形底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC 时，三角形有最大面积．
【详解】
解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4
又∵将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，
∴FC=CD=4
由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当
FC⊥BC时，三角形有最大面积
∴△BCF面积的最大值是11448
BC FC=⨯⨯=
22
故选：A．
【点睛】
本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
直接利用勾股定理的逆定理带入判断即可；
【详解】
A 、2226810+=，能组成直角三角形；
B 、22
21+= 能组成直角三角形； C 、22245()1()33+= ，能组成直角三角形；
D 、22224+≠ ，不能组成直角三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的运算，正确掌握勾股定理的逆运算是解题的关键； 10．D
解析：D
【分析】
本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a 、b 的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c 边上高即可．
【详解】
()2
b 20-=，
所以a 10b 20-=-=，，
解得a 1b 2==，；
因为2222a b 125+=+=，
22c 5==，
所以222a b c +=，
所以ABC 是直角三角形，C 90∠=︒，
设第三边c 上的高的值是h ，
则ABC 的面积111222=
=⨯⨯，
所以h 5
=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
11．C
解析：C
【分析】
分Q在CB延长线上和Q在BC延长线上两种情况分类讨论，求出CQ长，根据线段的和差关系即可求解．
【详解】
解：如图1，当Q在CB延长线上时，
在Rt△ACQ中，
2222
213
CQ AQ AC
=-=-=，
∴BQ=CQ-BC=31-；
如图2，当Q在BC延长线上时，
在Rt△ACQ中，2222
213
CQ AQ AC
=-=-=，
∴BQ=CQ+BC=31+；
∴BQ3131．
故选：C
【点睛】
本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．
12．C
解析：C
【分析】
利用AAS可证明△DAB≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AC=BD，利用勾股定理即可得答案．
【详解】
在DAB
∆和CBA
∆中
90
D C
DBA CAB
AB BA
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DAB ≌△CBA ，
∴AC BD =，
∵3AC =，4=AD ，
∴3BD =， ∴2222435AB AD BD =
+=+=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及勾股定理，全等三角形常用的判定方法有SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 等，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，利用SAS 判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 二、填空题
13．2【分析】平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O 当OD ⊥AB 时OD 最小即DE 最小根据直角三角形勾股定理即可求解【详解】解：如图∵平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O 又AB=AC=4
解析：22
【分析】
平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O ，当OD ⊥AB 时，OD 最小，即DE 最小，根据直角三角形勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图
∵平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O ，又AB=AC=4
∴OC=OA=12
AC=2 当OD ⊥AB 时，OD 最小，即DE 最小．
∵OD ⊥BA ，∠BAC=45°，
∴∠AOD=45°
∴△ADO 为等腰直角三角形
在Rt △ADO 由勾股定理可知
OD= 22
2
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，即平行四边形对角线互相平分，正确理解DE 最小值的条件是关键．
14．【分析】先分母有理化然后化简后合并即可【详解】解：＝2﹣＝故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中如能结合题目特点灵
．
【分析】
先分母有理化，然后化简后合并即可．
【详解】
＝
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．2【分析】根据＜＜可得的整数部分是3则小数部分a＝﹣3代入计算即可【详解】解：∵9＜11＜16∴3＜＜4∴的整数部分是3∴小数部分是a＝﹣3∴a （a+6）＝（﹣3）（+3）＝11﹣9＝2【点睛】本题
解析：2
【分析】
的整数部分是3，则小数部分a﹣3，代入计算即可．
【详解】
解：∵9＜11＜16，
∴3
＜4，
∴
3，
∴小数部分是a
﹣3，
∴a（a+6
﹣3）
＝11﹣9
＝2．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，注意在相乘的时候，运用平方差公式简便计算．
16．【分析】根据二次根式的被开方数大于或等于0分式的分母不能为0即可得【详解】由二次根式的被开方数大于或等于0得：解得由分式的分母不能为0得：解得则x 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了分式有意义的 解析：1x >
【分析】
根据二次根式的被开方数大于或等于0、分式的分母不能为0即可得．
【详解】
由二次根式的被开方数大于或等于0得：10x -≥，
解得1≥x ，
由分式的分母不能为0得：10x -≠，
解得1x ≠，
则x 的取值范围是1x >，
故答案为：1x >．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的概念是解题关键．
17．【分析】先由所对的直角边是斜边的一半求解再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案【详解】解：∠ACB ＝90°∠B ＝30°AC ＝2D 是斜边AB 中点故答案为：【点睛】本题考查的是含的直角三角形
解析：2.
【分析】
先由30所对的直角边是斜边的一半求解,AB 再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】 解： ∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，
24AB AC ∴==，
D 是斜边AB 中点，
1 2.2
CD AB ∴== 故答案为：2.
【点睛】
本题考查的是含30的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
18．6【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数连接AE 可得出AE=BE ∠EAD=推出∠EAC=利用勾股定理解直角三角形即可得出答案【详解】
解：连接AE ∵AB=AC ∠A=∴∠B=∠C=∵ED 垂直平分
解析：6
【分析】
根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数，连接AE ，可得出AE=BE ， ∠EAD=30︒，推出 ∠EAC=90︒，利用勾股定理解直角三角形即可得出答案．
【详解】
解：连接AE ，
∵ AB=AC ，∠A=120︒ ，
∴ ∠B=∠C=
()1180120302
︒-︒=︒， ∵ED 垂直平分AB ， ∴AE=BE ，∠EAD=30︒ ，
∵BE=3，
∴DE=1322
BE = ∴2233BD BE DE =
-= ∴AB=AC=2BD=33，
∵ ∠A=120︒ ，
∴ ∠EAC=90︒ ， ∴22366CE AC AE =+==，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、勾股定理、直角三角形30︒角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
19．B 【分析】先根据两点间的距离公式得到AB2BC2AC2的值然后根据勾股定理的逆定理即可解答【详解】解：∵A （43）B （12）C （3-4）∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10AC2=（3-4）2
解析：B
【分析】
先根据两点间的距离公式得到AB 2、BC 2、AC 2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可解答．
【详解】
解：∵A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），
∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10，AC2=（3-4）2+（-4-3）2=50，BC2=（3-1）2+（-4-2）2=40，∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠B=90°，即该直角三角形的直角顶点为B．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，正确的运用相关的定理、公式成为解答本题的关键．
20．【分析】设OA=OB=BC=CD=a可知AB=AC=AD=由题意知AC=3即可求出AD 的长；【详解】∵OA=OB=BC=CD∴设
OA=OB=BC=CD=a∵∠AOD=90°∴AC===∴∵AC==3
解析：
【分析】
设OA=OB=BC=CD=a，可知，， ,由题意知AC=3，即可求出AD的长；
【详解】
∵ OA=OB=BC=CD，
∴设OA=OB=BC=CD=a，
∵∠AOD=90°，
∴
，
∴
AD===，
∵
=3，
∴
∴
=
5
故答案为：
【点睛】
本意考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键；
三、解答题
21．（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析
【分析】
（1）由菱形ABCD 边长与对角线都是2，知ABD △和BCD △都是等边三角形．可得60BDE BCF ∠=∠=︒，BD BC =，可证BDE BCF △≌△；
（2）由BDE BCF △≌△，得DBE CBF ∠=∠，BE BF =，利用
=60DBF DBE DBF CBF ∠+∠=∠+∠︒．可证BEF 为等边三角形．
【详解】
（1）证明：
∵菱形ABCD 的边长为2，2BD =，
∴ABD △和BCD △都是等边三角形．
∴60BDE BCF ∠=∠=︒，BD BC =，
∵2AE DE AD +==，而2AE CF +=，
∴DE CF =，
∴BDE BCF △≌△；
（2）解：BEF 为等边三角形．理由如下：
∵BDE BCF △≌△，
∴DBE CBF ∠=∠，BE BF =，
∵60DBC DBF CBF ∠=∠+∠=︒°，
∴60DBF DBE ∠+∠=︒．
即60EBF ∠=︒．
∴BEF 为等边三角形．
【点睛】 本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质是解题解题关键．
22．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先证明四边形ADCE 是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=AD ，即可得出四边形ADCE 为菱形；
（2）过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ；先证明△BCD 是等边三角形，得出
∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt △CDF 中，求出DF 即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AE ∥CD ，CE ∥AB ，
∴四边形ADCE 是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点，
∴CD=AB=AD ，
∴四边形ADCE 为菱形；
（2）过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，如图所示：
DF 即为菱形ADCE 的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CD=BC=6，
∴CF=3，
∴在Rt△CDF中，DF==．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．23．（12；（2）-17
【分析】
（1）先化简二次根式，再合并即可；
（2）利用平方差计算即可．
【详解】
解：（1）3823218
628232
=
=-+
(683)2
=
2
（2）(325)(325)
22
=-
3)(25)
=-
=-17
320
【点睛】
本题考查了二次根式的运算、平方差公式，准确掌握运算法则，合理利用公式是解题关键．
24．2+1
【分析】
化简平方根、去绝对值符号，再合并即可．
【详解】
解：原式21=+
=．
【点睛】
本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
25．A 题：8米；B 题：412
13m 【分析】
A 题：设出旗杆的高度，利用勾股定理解答即可；
B 题：根据题意表示出AD 、A
C 、BC 的长，进而利用勾股定理求出A
D 的长，即可得出答案．
【详解】
解：A 题：设旗杆的高度为x 米，则绳子长为（x+2）米，
由勾股定理得：()22226x x +=+，
解得：8x =，
答：旗杆的高度为8米；
B 题：由题意可得：BD=10m ，BC=6m ，
设AD=xm ，则有：AC=()16x -m ，
在Rt △ABC 中，222AB BC AC +=，
即()()22210616x x ++=-， 解得：3013x =
， 故AB=30410121313
+=m ， 答：树高AB 为412
13m ． 【点睛】
本题考察勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．
26．DC ＝2．
【分析】
过点A 作AE ⊥BC 于点E ，则∠AEB=90°，DE=CE ，结合∠ABC=45°可得出∠BAE=45°，进而可得出AE=BE ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理可求出BE 的长，即BD+
12
DC=4，结合BD-DC=1可求出DC 的长．
【详解】
解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，如图所示．
∵AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，DE＝CE．
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴AE＝BE．
在Rt△ABE中，AB＝2
∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝（2）2，
∴BE＝4，
∴BD+1
DC＝4．
2
又∵BD﹣DC＝1，
∴DC+1+1
DC＝4，
2
∴DC＝2．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．。