湖北省部分省级示范高中2021-2022学年高二上学期期末测试数学试卷

湖北省部分省级示范高中2021-2022学年上学期高二期末测试
数 学 试 卷
一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1．已知直线:1l 10x ay +−=和直线:2l 014=+−ay x 互相垂直，则a 等于（ ） A ．2
B ．1±
C ．0
D ．2±
2．若数列{}n a 的前n 项和n n S n 92
−=(n ∈N*)，则20a =（ ）
A ． 20
B ． 30
C ．40
D ．50
3．已知椭圆2212516x y +=与双曲线2
2
15
x y
m −=有共同的焦点，则m =（ ）
A ．14
B ．9
C ．4
D ．2 4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0公共弦所在直线方程为（ ） A ．012=−−y x B ．02=+−y x C ． 02-=−y x D ．012=+−y x
5．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D −中，E 为BC 延长线上一点，CE BC 3=，则1D E =（ ）
A ． 1-31AA AD A
B +
B ．132
-AA AD AB + C ． 131AA AD AB ++
D ．13
1
-AA AD AB + 6．设双曲线C ：)0,(122
22>=−b a b
y a x 的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线C 上，若
线段1PF 的中点在y 轴上，且12PF F △为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．21+ B ．2
C ．22+
D ．2
7．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”。

现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则11a =（ ） A ． 130 B ．132 C ．140 D ．144
8．直线l 过双曲线：1922
=−y x 的右焦点，在第一、第四象限l 交双曲线两条渐近线分别于
P ，Q 两点，若∠OPQ ＝90°（O 为坐标原点），则OPQ 内切圆的半径为（ ）
A B ．4
3
C ．1
D ．3
2
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合要求，全部选对得5分,部分选对但无错误选项得2分，其他均得0分) 9.下列命题正确的是（ ）
A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列
C ．若a ，b ，c 成等差数列，则1
a ，1
b ，1c
可能成等差数列
D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 不一定是等差数列
10.已知曲线C 方程为：)0112
22≠=−+m m
y m x （，则下列结论正确的是（ ）
A ．若0>m ，则曲线C 为双曲线
B ．若曲线
C 为椭圆，则其长轴长为12+m C ．曲线C 不可能为一个圆
D ．当1=m 时，其渐近线方程为2
x y ±
= 11．已知椭圆22
143x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 1与过F 2的直线l 2交于
点M ，设M 的坐标为(x 0，y 0)，若l 1⊥l 2，则下列结论正确的有（ ）
A ．22
00143x y +< B ．2200143
x y +> C ．1342
020<+y x D ．2200431x y +>
12.椭圆C ：22
11612x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上且异于长轴端点,点M ，
N 在△PF 1F 2所围区域之外，若1=0MP MF ⋅，2=0NP NF ⋅，则|MN|的可能取值为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 第II 卷（非选择题）
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.据相关数据统计，部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作，2020年一月份全国共建基站3万个如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设0.2万个，那么2020年这一年全国共有基站________万个。

14. 已知抛物线C 的方程为：x y 42=，F 为抛物线C 的焦点，倾斜角为045的直线l 过点F 交抛物线C 于A 、B 两点,则线段AB 的长为________
15.正方体1111D C B A ABCD −中，1,21===AA AD AB ,已知点H 与1C A 、三点共线且
H B AC 11⊥，则点H 到平面ABCD 的距离为________
16.已知{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1
1
+=n n a b ，若对任意的*n ∈N ，都有2021b b n ≥成立，则实数a 的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17．(本题10分）已知数列{}n a 为等差数列，S n 为其前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75.
（1）求数列{}n a 的首项和公差； （2）求S n.的最小值
18.(本题12分）已知圆C 经过()4,0A ，()2,2B 且圆心C 在直线20x y +−=上
（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l ：30()kx y k −+=∈R 与圆C 存在公共点，求实数k 的取值范围。

19.(本题12分）在数列{}n a 中，12a =，n a 是1与1n n a a +的等差中项，
（1）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭
是等差数列 （2）
令)113()1(+−−=n n
n a b ，求数列{}n b 的前100项的和。

20.(本题12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，60ABC ∠=︒，FC ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 为矩形，点M 为线段EF 的中点，且1AD CD BC ===
（1）求证：平面BCM ⊥平面AMC ； （2）若平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角的余弦值为5
5
，则三棱锥F-ABC 的体积为多少？
21.已知抛物线C 的方程为：28y x =，点P （2,3） （1）若直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，且P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为？（2）若直线l 过)0,4(E 交抛物线C 于M ，N 两点，F 为抛物线C 的焦点，求MOE
NFE
S S
+的最小值.
22．(本题12分）已知椭圆F ：()22
2210x y a b a b +=>>经过点1l 和2l 是分别过椭圆F 的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A 、B 和C 、
D ，O 为坐标原点，直线AB 和直线CD 相交于M ．记直线,,,OA OB OC OD 的斜率分别为,,,AO BO CO DO k k k k ，且AO BO CO DO k k k k +=+。

（1）求椭圆F 的标准方程
（2）是否存在定点P ，Q ，使得PM QM +为定值。

若存在，请求出P 、Q 的坐标,若不存在，请说明理由。

数 学 答 案
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．A 8．B 9．BC 10．AC 11．AD 12．ABC 13. 49.2 14. 8 15.
9
5
16. ），（2021-2022-
17．【答案】（1）1a ＝－2，d ＝1 （2）3-
（1）∵数列{}n a 为等差数列，S n 为其前n 项和，S 7＝7，S 15＝75，
设数列的首项为1a ，公差为d ，∴11
76772
151415752a d a d ⨯⎧
+=⎪⎪⎨
⨯⎪+=⎪⎩
解得1a ＝－2，d ＝1. （2）∵1a ＝－2，d ＝1.∴()2152122
n n n n n
S n −−=−+
⨯= 3)(32min −===∴n S n n 时，和当 (10)
18.【答案】（1）()2
224x y −+= （2）]12
5
,(−
−∞ （1）解：因为圆心C 在直线20x y +−=上，所以设圆心坐标为(),2C a a −， 因为圆C 经过()4,0A ，()2,2B ，所以AC BC =，
=
2a =，
∴圆心坐标为()2,0C ，半径为=
r 2=，
∴圆C 的标准方程为：()2
224x y −+=
（2） 圆心C 到直线l 的距离1
|32|2
++=
k k d 且直线l 与圆C 有公共点r d ≤∴
即
12521
|32|2−
≤∴≤++k k k ]12
5
,(−−∞∈∴k ………………12 19.【答案】（1）见详答 （2）150
（1）由题意知n a 是1与1n n a a +的等差中项，可得112n n n a a a ++=， 可得121n n n a a a +−=
，则111+−−=n n n a a a ，可得
111
111
n n a a +=+−−， 又由12a =，可得
1111a =−，所以数列11n a ⎧⎫
⎨⎬−⎩⎭
是首项和公差均为1的等差数列 （2）由（1）可得：11=−n n a )11
3()1(+−−=n n
n
a b )13()1(+−=∴n b n n 令数列{
}n b 前n 项和为n S ，则
10099321100b b b b b S +++++= ）
（）（）（100994321b b b b b b +++++= ）
（）（）（301298-1310-74-+++++= 150503=⨯= ………………12 20.【答案】（1）证明见解析；（2）4
1
（1）证明：在梯形ABCD 中，// AB DC ，60ABC ∠=︒，AD BC =， 所以60DAB ∠=︒，ACD CAB ∠=∠，又AD CD =，所以DAC ACD ∠=∠， 所以30DAC CAB ∠=∠=︒，所以90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥. 又FC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以FC BC ⊥，
因为AC FC C ⋂=，AC ，FC ⊂平面ACFE ，所以BC ⊥平面ACFE ，即BC ⊥平面AMC . 又BC ⊂平面BCM ，则平面BCM ⊥平面AMC .
（2）解：由（1）知CA ，CB ，CF 两两垂直，所以以C 为坐标原点，分别以直线CA ，CB ，
CF 为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系，
因为1BC =，60ABC ∠=︒
，所以AC =)0(>=a a CF
则)
A
，()0,1,0B ，),0,23a M （
，所以()
AB =uu u r ，.),0,2
3-a AM （=
设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎪⎩⎪
⎨⎧=⋅+−=+02
3
3-z a x y x 解得⎪⎩
⎪⎨⎧==x a z x
y 233，取1x =，)23,31,1a n （=
. 因为()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量， 设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，
则.55|
||||cos 111
1=⋅=n n θ23
55433112±=∴=++∴a a
又230=
∴>a a 即2
3
=
CF 4
1
23132131213131=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=∴∆−CF CB CA CF S V ABC ABC F (12)
21.【答案】（1）0134=+−y x （2）16
（1）设),(),,(2211y x B y x A 则632212
1=+∴=+y y y y ⎩⎨⎧==)2(8)1(8222121x y x y 由(1)-(2)可得：
)(8))(212121x x y y y y −=−+（AB k y y x x y y ==+=−−∴
348212121）2(3
4
3:−=−∴x y AB 即直线0134=+−y x l 的方程为：
（2）设直线l 为：4+=my x ，),(),,(4433y x N y x M
由⎩⎨⎧=+=x
y my x 84
2可得，03282=−−my y ，012864)32(4)8-22>+=−−=
∆m m （， 32,84343−=⋅=+∴y y m y y ，又因为F 点坐标为）（0,2，所以2=EF ，
从而||||22
1
|,|2||4214433y y S y y S NFE MOE =⋅⋅==⋅⋅=
∆∆，16||22||||22||||2434343=⋅=⋅≥+=+∴∆∆y y y y y y S S NFE MOE 所以当且仅当||||243y y =时，MOE
NFE
S
S
+有最小值16. (12)
22．【答案】（1）22
132x y +=（2）存在点()()0,10,1P Q −，，使得PM QM +
为定值（1
）设a =,c t =
,b =
,椭圆方程为：22
22132x y t t +=，
椭圆过点，∴2212133t t +=解得t=1,所以椭圆F 的方程是22
132
x y +
=． （2）焦点12F F ，的坐标分别为()()1,01,0−，
． 当直线AB 或CD 的斜率不存在时，点M 的坐标为()1,0−或()1,0．
当直线AB 和CD 的斜率都存在时，设斜率分别为12m m ，，点()(),,A A B B A x y B x y ，． 联立()22
11321x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()2222111236360m x m x m +++−=． 则22112
2
11636
,2323A B A B m m x x x x m m −+=−=++，0∆> ∴111A B A B AO BO
A B A
B y y x x k k m x x x x ⎛⎫+++=+=+ ⎪⎝⎭2111122
11242222A B A B x x m m m m x x m m ⎛⎫⎛⎫+=+=−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭同理可得，2
2
242
CO DO m k k m +=−
− 因为AO BO CO DO k k k k +=+，所以
12
22
124422
m m m m −−=−−，化简得()()122120m m m m +−=． 由题意，知12m m ≠，所以1220m m +=．
设点(),M x y ，则1211y y m m x x ==+−，，所以2011y y x x ⋅+=+−，化简得()2
2112
y x x +=≠±，当直线1l 或2l 的斜率不存在时，点M 的坐标为()1,0−或()1,0，也满足此方程．所以点(),M x y 在椭圆2
212
y x +=上，根据椭圆定义可知，存在定点()()0,10,1P Q −，，使得PM QM +为
定值 (12)。