例谈分段函数在高考中的四个考查方向

例谈分段函数在高考中的四个考查方向
景宝洪
【期刊名称】《上海中学数学》
【年(卷),期】2014(000)001
【总页数】3页(P83-85)
【作者】景宝洪
【作者单位】226600 江苏省海安县实验中学
【正文语种】中文
分段函数是高中数学中一类重要的函数类型，不仅能考查函数的概念、表示及性质，而且能有效考查学生数学思想方法，因此在高考中被频繁考查.下面，从四个方面
说明分段函数在高考中的考查方向.
一、对应性
与分段函数相关的函数值、方程、不等式问题，由于自变量的取值范围不同，对应法则不同，应根据定义域分类讨论.分段函数在高考中首先考查对应性，由于对应
的不确定，实质考查分类讨论思想.
例1 (2010江苏-11)已知函数则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是
________.
错解：由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,即
分析：由于分段函数中自变量的取值范围不同，对应法则不同.因此必须考虑所求参数是否满足相应的取值范围.错解中的错误就是忽视了条件1-x2>0.即当1-x2≤0
时，不能满足f(1-x2)>f(2x)；而在条件1-x2>0及1-x2>2x下，不论2x<0还是2x≥0，都能满足f(1-x2)>f(2x).
正解：由f(1-x2)>f(2x) 得
即
例2 (2009辽宁文)已知函数满足则f(2+log23)=________.
解：∵2+log23∈(3,4)，∴3+log23∈(4,5).
∴
说明： 2+log23的取值范围确定了f(2+log23)代入方向，此时的对应性实质考查的是自变量的取值范围.
例3 (2012江苏-10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上其中a,b∈R,若则a+3b的值为________.
解：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以
∴
说明：隐含条件f(-1)=f(1)的挖掘来源于对自变量的深刻理解：±1在解析式中对应解析式不同，但数值相等.
二、整体性
函数某些性质如奇偶性、最值等，是函数在其定义域上的整体性质，因此研究分段函数这些性质时，必须注意从整体上考查研究.分段函数也是一个函数，在高考中考查分段函数，实质上是将其作为一个载体，考查的仍是函数性质，着重一般化的等价转化思想.
例4 (2007浙江理-10)设是二次函数，若f(g(x))的值域是[0,+∞),则g(x)的值域是( )
A. (-∞,-1]∪[1,+∞)
B. (-∞,-1]∪[0,+∞)
C. [0,+∞)
D. [1,+∞)
解： g(x)的值域实质为f(g(x))的定义域.而当x∈[0,+∞)时，f(x)的值域是[0,+∞),又二次函数的值域要么是[m,+∞)，要么为(-∞,n]；因此选C.
说明：值域是函数在其定义区间上整体性质，需从整体上研究分段函数的值域分布情况.
例5 (2009天津)已知函数若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是________.
解：本题若分类讨论，则较繁.但从整体考虑，就会发现函数在R上为单调递增函数，即由f(2-a2)>f(a)可得2-a2>a,即a>1或a<-2.
说明：分段函数是一个函数，自变量对应的不确定性并不影响其整体上的性质. 例6 判断函数的奇偶性.
解：函数f(x)的定义域为R,且
所以函数f(x)是奇函数.
说明：研究分段函数的奇偶性，要先将解析式中所有的x都变成-x,包括定义区间上的x,再整体分区间考虑f(x)与f(-x)的关系.
三、分界点的特殊性
分段函数分界处点特殊性是高考试题设计的一个知识点，也是复习时应注意的热点.高考考查的是综合分析能力.
例7 已知函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是________.
错解：函数g(x)=(3a-1)x+4a(x<1)与h(x)=logax(x≥1)都是减函数，所以⟹
分析：错解只考虑各段函数在相应定义区间上的单调性，而忽视分界点处函数值大小关系对单调性的影响.实际上，要使得函数在R上为单调减函数，还需使得在分界处的上界不大于下界.
正解：
说明：分界点是“连接”函数性质的特殊点.
例8 设定义域为R的函数若关于x的方程2f2(x)+2bf(x)+1=0有5个不同的实数根，则实数b的值为________.
解：由图形可知，分界处点的函数值是使得方程的根成单数的根本原因，即
f(x)=1是关于f(x)的方程2f2(x)+2bf(x)+1=0的一个解，解得此时f(x)=1或满足f(x)=1的x有3个，满足的x有2个，共5个.
说明：分界处点的独特性是解决本题的着眼点.
四、直观性
分段函数的展示形式多姿多彩，从函数图像理解、分析、解剖是考查重点，数形结合思想是高考考查方向.
例9 求f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值.
解：此题是函数fn(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|,(x1≤x2≤…≤xn)的最小值问题. 先考虑特殊情况：当n=1时，易知当x=x1时，f1(x)取得最小值；
当n=2时，当x1≤x≤x2时，f2(x)取得最小值；
以此类推可知：当n=2k-1(k∈Z)时，当x=xk时，fn(x)取得最小值；
当n=2k(k∈Z)时，当xk≤x≤xk+1时，fn(x)取得最小值.
由得n=1+2+…+2011=2011×1006，所以f(x)在最中间的两个零点之间取得最小值,而最中间的两个零点都是从而
说明：带绝对值的函数实质上也是分段函数.从两个特殊情况：n=1时为“V型”函数；n=2 时为“平底锅”函数，直观归纳出其一般化情况：图像两端为两条射线，并向上无限延伸，而中间n-1条线段连接成折线形.
例10 (2013辽宁理-11)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8. 设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},max{p,q}表示p,q中的较大
值,min{p,q}表示p,q中的较小值,记H1(x)得最小值为A,H2(x)得最小值为B,则A-B=________.
解：由图形可知H1(x)为两曲线y=f(x),y=g(x)在交点上方部分，其最小值对应较低交点的函数值；H2(x)为两曲线在交点下方部分，其最大值对应较高交点的函数值，所以A-B=-|f(x1)-f(x2)|=-|(x1-x2)(x1+x2-2a-4)|，其中x1,x2为方程x2-
2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0两个根:x=a±2.由|x1-
x2|=4,x1+x2=2a得A-B=-|4×(-4)|=-16.
说明：函数H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}实质上是分段函数.其分段点为两曲线的交点，其性质就可直观展示.。