2019-2020学年石嘴山三中高一下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年石嘴山三中高一下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提岀的一种多项式简化算法．秦九韶算法是一种将
一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．其大大简化了计算过程，即便在现代，利用计算机解决多项式的求值问題时，秦九韶算祛依然是最优的算法．用秦九韶算法计算当x=
0.6时函数f(x)=x4+2x3+3x2+4的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分别为()
A. 3，5.6426
B. 4，5.6426
C. 3，5.6416
D. 4，5.6416
2.已知=(1,5，−2)，=(3,1，z)，若⊥，=(x−1,y，−3)，且BP⊥平面ABC，则实
数x，y，z分别为()
A. ，−，4
B. ，−，4
C. ，−2，4
D. 4，，−15
3.下列各数中，可能是六进制数的是()
A. 66
B. 108
C. 732
D. 2015
4.某校高二年级有男生600人，女生500人，为了解该年级学生的体育达标情况，从男生中任意
抽取30人，从女生中任意抽取25人进行调查．这种抽样方法是()
A. 系统抽样法
B. 抽签法
C. 随机数表法
D. 分层抽样法
5.已知椭圆x2+2y2−4=0，则以M(1,1)为中点的弦所在的直线方程是()
A. x+2y−3=0
B. 2x+y−3=0
C. x−2y+3=0
D. 2x−y+3=0
6.在△ABC中，满足∠A=π
6，∠B=π
3
，则∠C=()
A. 120°
B. 90°
C. 75°
D. 60°
7.阅读右边的程序框图，若输入，则输出的结果为()
A. B. C. D.
8.下列命题中真命题为()
A. 过点P(x0,y0)的直线都可表示为y−y0=k(x−x0)
B. 过两点(x1,y1)，(x2,y2)的直线都可表示为(x−x1)(y2−y1)=(y−y1)(x2−x1)
C. 过点(0,b)的所有直线都可表示为y=kx+b
D. 不过原点的所有直线都可表示为x
a +y
b
=1
9.若，则事件A，B的关系是()
A. 互斥不对立
B. 对立不互斥
C. 互斥且对立
D. 以上答案都不对
10.甲、乙两位同学，升入高三以来连续五次模拟考试数学单科成绩如表：
甲108112110109111
乙109111108108109
则平均成绩较高与成绩较稳定的分别是()
A. 同学甲，同学甲
B. 同学甲，同学乙
C. 同学乙，同学甲
D. 同学乙，同学乙
11.已知α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(−3
5,4
5
),则cosα的值为()
A. 4
5B. −3
4
C. −4
5
D. −3
5
12.已知两点到直线的距离分别为，则满足条件的直线共有()条
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概
率是______ ．
14.(左014⋅济宁一模)设区域Ω是由直线x=0，x=π和p=±1所围成3平面图形，区域D是由余
弦曲线p=cosx和直线x=0，x=π
左
和p=−1所围成3平面图形，在区域Ω内随机抛掷一粒豆
子，则该豆子落在区域D3概率是．
15.在一次数学测验中，随机抽取了8份试卷，对其得分进行了统计，绘制了如图所示的折线统
计图，则这8个同学的得分的中位数是______分.
三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16.若数据组k1，k2，…，k8的平均数为4，方差为2，则3k1+2，3k2+2，…，3k8+2的平均数
为，方差为．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.已知点A(−1,3)，B(5,7)，直线l：3x+4y−20=0
(1)过点A且与直线l平行的直线方程；
(2)过点B且与直线l垂直的直线方程．
18.如图：区域A是正方形OABC(含边界)，区域B是三角形ABC(含边
界)．
(Ⅰ)向区域A随机抛掷一粒黄豆，求黄豆落在区域B的概率；
(Ⅱ)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x,y)
落在区域B的概率．
19.某地1～10岁男童年龄x i(岁)与身高的中位数y i(cm)(i=1,2，…10)如表：
x(岁)12345678910
y(cm)76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
y∑(
10
i=1x i−x)2∑(
10
i=1
y i−y)2∑(
10
i=1
x i−x)(y i−y)
112.4582.503947.71566.85附：回归方程ŷ=â+b̂x中的斜率和截距的最小二乘估计
公式分别为：b̂=n
i=1i
−x)(y i−y)
∑(
n x−x)2
，â=y−b̂x
(I)求y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01)；
(II)某同学认为，y=mx2+nx+c更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y=−0.30x2+10.17x+68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm.与(I)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？请说明理由．
20.高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下
方式分成五组，第一组[13,14)，第二组[14,15)…第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．
(2)请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数(精确到0.01)． (3)设
表示该班两个学生的百米测试成绩，已知
，求事件
的概率．
21. 求证：cos 2α
cot α2
−tan α2
=1
4sin2α．
22. (本题满分10分)已知线段
的端点
的坐标为
，端点
在
圆
:
上运动。

(1)求线段的中点
的轨迹方程； (2)过点的直线与圆
有两个交点
，弦
的长为
，求直线的方程。

【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：f(x)=x4+2x3+3x2+4=(((x+2)x+3)x)x+4．
当x=0.6时函数f(x)=x4+2x3+3x2+4=(((0.6+2)×0.6+3)×0.6)×0.6+4=5.6416．
∴当x=0.6时函数f(x)=x4+2x3+3x2+4的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分别为3，5.6416．
故选：C．
由秦九韶算法可得：f(x)=x4+2x3+3x2+4=(((x+2)x+3)x)x+4.代入即可得出．
本题考查了秦九韶算法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.答案：B
解析：∵⊥，
∴·=3+5−2z=0，即z=4．
又BP⊥平面ABC，
∴·=x−1+5y+6=0，①
·=3x−3+y−3z=0，②
由①②可得x=，y=−．
3.答案：D
解析：根据六进制数的特点，知六进制数只含有数字0，1，2，3，4，5，A中含有6，B中含有8，C中含有7，所以只有D中的数有可能是六进制的数
考点：进位制
4.答案：D
解析：解：∵所要研究的对象是男生和女生，要了解该年级学生的体育达标情况，
而男生和女生的体育达标情况有比较大的差异性，
∴抽取样本的时候应该选择分层抽样，
总体是由男生和女生组成，比例为600：500=6：5，故抽取的比例也是6：5．
故选：D．
若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，故可得答案．
本题考查了分层抽样．抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．属于基础题．
5.答案：A
解析：解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y−1=k(x−1)，即kx−y+1−k=0，代入椭圆的方程化简得(1+2k2)x2+(4k−4k2)x+2k2−4k−2=0，
∴x1+x2=4k2−4k
1+2k2=2，解得k=−1
2
，故直线l的方程为x+2y−3=0，
故选：A．
设直线l的方程为y−1=k(x−1)，代入椭圆的方程化简，由x1+x2═4k2−4k
1+2k2
=2解得k值，即得直线l的方程．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到(1+2k2)x2+(4k−4k2)x+2k2−4k−2=0，是解题的关键．
6.答案：B
解析：解：∵三角形的内角和为π，
∴∠C=π−π
3−π
6
=π
2
，
∵π=180°，∴∠C=90°．
故选：B．
通过三角形的内角和求出C，然后利用角度与弧度转化求解即可．
本题考查三角形的内角和以及角度与弧度的转化，基本知识的考查．7.答案：A
解析：试题分析：当时，，走“是”一步，此时
，所以．
考点：1.算法程序；2.等差数列求和．
8.答案：B
解析：解：当直线不过原点且直线和x 轴垂直时，直线的斜率k 不存在，如直线x =3 等， 选项A 、C 、D 不正确，
过两点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)的直线，当直线斜率存在且不等于0时，方程为 y−y 1
y 2−y 1
=
x−x 1
x 2−x 1，
即(x −x 1)(y 2−y 1)=(y −y 1)(x 2−x 1).
当直线斜率不存在时，x 1=x 2，方程为x =x 1，可以写成(x −x 1)(y 2−y 1)=(y −y 1)(x 2−x 1)的形式．
当直线斜率等于0时，y 1=y 2，方程为y =y 1，可以写成(x −x 1)(y 2−y 1)=(y −y 1)(x 2−x 1)的形式．
综上，只有选项B 正确，故选 B ．
由直线不过原点且直线和x 轴垂直时，直线的斜率k 不存在，即可排除选项A 、C 、D ． 本题考查直线方程的几种形式，注意几种特殊情况，如斜率不存在或斜率等于0的情况．
9.答案：D
解析：试题分析：事件
来自一次试验时，即为互斥事件且也是对立事件，但当两个事件来自不
同试验时则两事件没有任何关系。

故D 正确。

考点：概率的基本性质。

10.答案：B
解析：解：甲同学的平均数是x 甲=
108+112+110+109+111
5
=110，
方差是s 甲2
=1
5[(108−110)2+(112−110)2+(110−110)2+(109−110)2+(111−110)2]=2； 乙同学的平均数是x 乙=
109+111+108+108+109
5
=109，
方差s 乙2
=1
5[(109−109)2+(111−109)2+(108−109)2+(108−109)2+(109−109)2]=1.2； ∴x 甲>x 乙，s 甲2>s 乙2
；
∴平均成绩较高是同学甲，成绩较稳定的是同学乙．
故选：B．
分别计算甲、乙二位同学的平均数与方差，通过比较平均数与方差，即可得出正确的结论．
本题考查了求数据的平均数与方差的问题，解题时应根据题目中的数据，利用公式求出平均数与方差，即可得出正确的判定，是基础题．
11.答案：D
解析：解：∵α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
又终边过点(−3
5,4
5
)，此点到原点的距离为1
∴cosα=−3
5
故选D
本题考查三角函数的定义，求出角的终边上的点到原点的距离，利用任意角的三角函数公式求出α的余弦值．
12.答案：C
解析：试题分析：由A和B的坐标，利用两点间的距离公式求出|AB|的长，然后以A为圆心，为半径画圆A，以B为圆心为半径画圆B，由d=R+r，得到两圆外切，可得出公切线有3条，即可得到满足题意的直线l共有3条。

解：∵A(1,2)，B(3,1)，∴|AB|=，分别以A，B为圆心，，为半径作两个圆，如图所示：
即d=R+r，∴两圆外切，有三条共切线，则满足条件的直线l共有3条．故选C
考点：圆与圆位置关系的判定
点评：此题考查了圆与圆位置关系的判定，以及直线与圆的位置关系，圆与圆位置关系由R，r及d 间的关系来判定，当d<R−r时，两圆内含；当d=R−r时，两圆内切；当R−r<d<R+r时，
两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d>R−r时，两圆外离，解题的关键是根据题意画出相应的图形，找出两圆的公切线的条数即为所求直线l的条数
13.答案：1
3
解析：解：∵从六件产品中取出两件产品有C62=15种方法，
取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品有C51C11=5种结果
古典概型公式得到P=5
15=1
3
，
故答案为：1
3
从六件产品中取出两件产品有15种方法，取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品有5种结果，根据古典概型公式得到结果．
概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．
14.答案：1
π
解析：试题分析：根据积分公式求出区域D的面积，根据几何概型的概率公式分别求出相应区域的面积即可得到结论．
区域Ω对应的面积S=e×π=eπ，
根据积分的几何意义可知区域D的面积S1=e∫cπe
5osxdx=esinx|
5
π
e=esinπ
e
=e，
则根据几何概型的概率公式可知在区域Ω内随机抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D的概率是e
eπ=1
π
，
故答案是：1
π．
15.答案：86
解析：解：∵这8位同学的中位数为第4、5个数据的平均数，而第4个数据为85、第5个数据为87，∴这8个同学的得分的中位数是
85+872
=86分，故答案为：86．
根据中位数的定义即可求得这组数据的中位数．本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，利用数形结合的思想解答．
16.答案：14；
18
解析：解：由已知，得=1
8∑k i 8i=1=4，
所以3k 1+2，3k 2+2，…，3k 8+2的平均数为1
8∑(8i=13k i +2)=3k +2=3×4+2=14，
方差为1
8∑[8i=1(3k i +2)−(3k +2)]2=32
×2=18；
故答案为14；18．
根据平均数和方差的公式解答．
本题考查了数据的变化与平均数，方差的关系，属于基础题．
17.答案：解：(1)3x +4y −20=0的斜率为−3
4，因为两条直线平行，所以过点A 且与直线l 平行的
直线斜率为−3
4，
代入点斜式，得y −3=−3
4(x +1)， 化简，得3x +4y −9=0．
(2)过点B 且与直线l 垂直的直线斜率为4
3，由点斜式得到y −7=4
3(x −5)，整理得4x −3y +1=0．
解析：本题考查用点斜式求直线方程的方法，两直线平行、垂直的性质，求出直线的斜率是解题的关键．
(1)根据两直线平行，斜率相等，求出直线的斜率，用点斜式求得直线l 1的方程． (2)根据两直线垂直，斜率之积等于−1，求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程．
18.答案：解：(Ⅰ)向区域A 随机抛掷一枚黄豆，
黄豆落在区域B 的概率P =S B
S A
=1
2；
(Ⅱ)甲、乙两人各掷一次骰子， 占(x,y)共36种结可能． 其中落在B 内的有26种可能， 即(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,2)， (4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)， (5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 点(x,y)落在区B 的概率p =26
36=13
18．
解析：(Ⅰ)根据三角形和正方形的面积之比求出满足条件的概率即可；(Ⅱ)求出落在B 内的可能，从而求出满足条件的概率即可．
本题考查了几何概型问题，考查列举法求概率问题，是一道基础题．
19.答案：解：(I)由表中数据可求得：x =1
10×(1+2+3+⋯+10)=5.5，……………(1分)
y =112.45，
∴b ̂=n
i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=566.8582.5
≈6.87，……………(3分) a
̂=y −b ̂x =112.45−6.87×5.5≈74.67；……………(5分) 所以y 关于x 的线性回归方程为y ∧
=6.87x +74.67；……………(6分) (II)若回归方程为y ∧
=6.87x +74.67，
当x =11时，y ∧
=6.87×11+74.67=150.24；……………(8分) 若回归方程为y ∧=−0.30x 2+10.17x +68.07，
当x =11时，y ∧=−0.30×112+10.17×11+68.07=143.64；………(10分) 且|143.64−145.3|=1.66<|150.24−145.3|=4.94，……………(11分) 所以回归方程y ∧=−0.30x 2+10.17x +68.07，
对该地11岁男童身高中位数的拟合效果更好．……………(12分)
解析：(I)由表中数据求得x，计算回归系数，写出回归方程；
(II)根据回归方程分别计算x=11时y∧的值，求出|y−y∧|的值，比较即可得出结论．
本题考查了线性回归方程与应用问题，是中档题．
20.答案：(1)28人；(2)众数为15.5，中位数15.74；(3)．
解析：试题分析：(1)解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；(2)最高矩形的底边的中点的横坐标即是众数，中位数左边和右边的小长方形的面积和相等的；(3)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举．
试题解析：解(1)根据直方图可知成绩在内的人数：人
由图可知众数落在第三组是
因为数据落在第一、二组的频率
数据落在第一、二、三组的频率
所以中位数一定落在第三组中.
假设中位数是，所以
解得中位数
成绩在的人数有：人，设为
成绩在的人数有：人，设为
时有一种情况，时有三种情况
分布在和时有六种情况，基本事件的总数为10
事件由6个基本事件组成．
所以
．
考点：(1)频率分布直方图的认识；(2)求随机事件的概率．
21.答案：证明：左边=cos 2α1+cosαsinα
−1−cosαsinα
=
sinαcos 2α2cosα
=12
sinαcosα=1
4
sin2α=右边，
则原式成立．
解析：要证等式左边分母利用同角三角函数间的基本关系及万能公式变形，约分后利用二倍角的正弦函数公式化简得到结果与右边相等，得证．
22.答案：(1)(2)
解析：试题分析：(1)设坐标为
，因为的坐标为，所以的坐标为，
又因为在圆
上，所以有
，
即为所求的轨迹方程.……4分
(2)
；……5分
……6分
由点到直线的距离公式……8分
.……10分
考点：本小题主要考查中点坐标公式、点到直线的距离公式和弦长公式等公式的应用和相关点法求轨迹方程，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力．
点评：设直线方程通常设点斜式，而设点斜式时一定要考虑直线斜率存在与不存在两种情况，不如
可能会漏掉一个解．。