福建省龙海第二中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

龙海二中2018-2019学年第二学期期末考
高二数学（理）试题
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）
1.设全集=U R ，集合{|1}A
x x ＝…，{|(2)(1)0}B x x x =+-<，则（ ） A. A B ⋂∅＝ B. A B U ⋃＝ C. U B A ⊆ð D. U A B ⊆ð
【答案】A 【解析】 【分析】
先求得集合B 中一元二次不等式的解集.然后对四个选项进行分析判断，由此得出正确选项. 【详解】由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x<1，所以B ＝{x|－2<x<1}，则A∩B＝∅，A∪B＝{x|x>－2}，∁U B ＝{x|x≥1或x≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x|x<1}，B ⊆∁U A ，故选A.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集、并集、补集和子集的概念，属于基础题.
2.
函数2
()f x =
+的定义域是（ ） A. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B. 1,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D. [0,1)
【答案】D 【解析】 【分析】
根据求具体函数的基本原则：分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数中真数为正数列不等式解出x 的取值范围，即为函数的定义域。

【详解】由题意可得()10
lg 310lg1310
x x x ->⎧⎪
+≥=⎨⎪+>⎩
，即10311x x ->⎧⎨+≥⎩，解得01x ≤<，
因此，函数()y f x =的定义域为[)0,1，故选：D.
【点睛】本题考查具体函数的定义域的求解，求解原则如下： （1）分式中分母不为零； （2）偶次根式中被开方数非负；
（3）对数中真数大于零，底数大于零且不为1； （4）正切函数tan y x =中，()2
x k k Z π
π≠
+∈；
（5）求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.
3.设32a log =，b ln2=，1
2c 5=，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
先利用中间值1来比较大小，得知1a <，1b <，1c >，再用换底公式以及不等式性质可得出
a 、
b 的大小关系，从而得出三个数的大小关系。

【详解】由于函数3log y x =在定义域上是增函数，则33log 2log 31a =<=， 由于函数ln y x =在定义域上也是增函数，则ln 2ln 1b e =<=，ln3ln 1e >=，
ln 2ln10>=，
函数5x
y =在定义域上是增函数，则1
02551>=， 由换底公式得3ln 2log 2ln 3a ==，且ln 20>，ln 2
ln 2ln 3
a b ∴=
<=，a b c ∴<<， 故选：A.
【点睛】本题考查指对数混合比大小，考查指数函数和对数函数单调性的应用，解这类问题常用中间值0、1建立桥梁得出三个数的大小关系，但中间值不唯一，需要结合具体事例来确定，考查分析问题的能力，属于中等题。

4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()()2f 21x log x =+-，则()6f -=
（ ）
A. 2
B. 4
C. -2
D. -4
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出()6f 的值，再由函数()y f x =的奇偶性得出()()66f f -=-可得出结果。

【详解】由题意可得()()26log 6212f =+-=，
由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以，()()662f f -=-=-，故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，求函数值时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题。

5.已知函数
()252ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）
A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)+∞
B. (0,1)和(2,)+∞
C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
和(2,)+∞ D. ()1,2
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x 的范围，继而得到函数的单调递增区间．
【详解】函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋
2x
＝2252x x x -+＝()()221x x x --＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f (x )的单调递增区间是102⎛⎫
⎪⎝⎭
，，(2，＋∞)． 故选：C
【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题．
6.下列命题是真命题的是（ ）
A. ()2x ∀∈+∞，
，22x x > B. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件
C. “2560x x +>－”是“2x >”的
充分不必要条件 D. a b ⊥的充要条件是0a b ⋅= 【答案】B 【解析】 【分析】
取特殊值来判断A 选项中命题的正误，取特殊数列来判断B 选项中命题的正误，求出不等式
2560x x +->，利用集合包含关系来判断C 选项命题的正误，取特殊向量来说明D 选项中命
题的正误。

【详解】对于A 选项，当4x =时，2442=，所以，A 选项中的命题错误；
对于B 选项，若2n
n a =-，则等比数列{}n a 的公比为2q =，但数列{}n a 是递减数列，若
12n
n a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，等比数列{}n a 是递增数列，公比为12q =，所以，“1q >”是“{}n a 为递增
数列”的既不充分也不必要条件，B 选项中的命题正确；
对于C 选项，解不等式2560x x +->，得6x <-或1x >，
由于{}{
}
612x x x x x -⊄>或，所以，“2560x x +->”是“2x >”的既不充分也不必要条件，C 选项中的命题错误；
对于D 选项，当0a =时，0a b ⋅=，但a 与b 不一定垂直，所以，D 选项中的命题错误。

故选：B.
7.已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A. ln 2 B. 1
C. 1ln2-
D. 1ln2+
【答案】D
【解析】
由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，00000
2
ln y kx y x x =-⎧⎨
=⎩，
0002ln kx x x ∴-=，00
2
ln k x x ∴=+
，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.
8.定义在R 上的奇函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，12()log (1)f x x =-，则()f x 在区间31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上是( )
A. 增函数且()0f x >
B. 增函数且()0f x <
C. 减函数且()0f x >
D. 减函数且()0f x <
【答案】B 【解析】 【分析】
先利用函数奇偶性求出函数()y f x =在1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上的解析式，然后利用周期性求出函数()y f x =在31,2
⎛⎫
⎪⎝⎭
上的解析式，结合解析式对其单调性以及函数值符号下结论。

【详解】设1,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，则10,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()12log 1f x x -=+，由于函数()y f x =为R
上的奇函数，则()()()12
log 1f x f x x =--=-+，
当31,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
31,022x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 则()112223311log 1log log 2222f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
=-+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭. 所以，函数()y f x =在31,2⎛⎫
⎪⎝⎭上是增函数，且当312
x <<时，11122x <-<，()0f x <，
故选：B.
【点睛】本题考查函数单调性与函数值符号的判断，解决函数问题关键在于求出函数的解析
式，本题的核心在于利用奇偶性与周期性求出函数的解析式，属于中等题。

9.函数22()ln 22x x
x x
f x --+=-的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
考查函数()y f x =的定义域、奇偶性，以及该函数在()0,∞+上的函数值符号可得出图象。

【详解】由220x x --≠，得0x ≠，函数()y f x =的定义域为{}
0x x ≠，排除D 选项；
()()2222ln ln 2222x x x x
x x x x f x f x ----++-===--，该函数为偶函数，排除C 选项；
()5
5
21ln ln 0332
f ==>，排除B 选项，故选：A.
【点睛】本题考查利用函数图象的辨别，对于这类问题，一般要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，利用这些要素对函数图象进行排除来得出正确的选项，考查分析问题的能力，属于中等题。

10.若x A ∈，则
1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭
的所有非
空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A. 15
B. 16
C. 82
D. 52
【答案】A 【解析】 【分析】
首先确定具有伙伴集合的元素有1,1-，“3和13”，“2和1
2
”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.
【详解】根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和
13，2和1
2
这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A.
【点睛】本小题主要考查新定义概念的
理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属
于基础题.
11.已知函数(),11,12
lnx x f x x x ⎧⎪
=⎨-<⎪⎩…
，若()()1F x f f x m
⎡⎤=++⎣⎦有两个零点1x ，2x ，则12
x x ⋅的取值范围是（ ）
A. (]
42ln2-∞-， B. (
-∞
C. [
)42ln2-+∞，
D. )+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
求出函数()y F x =的解析式，并求出零点1x 、2x 关于m 的表达式，令m t e -=，知3
2
t >
，并构造函数()()1
12
22t g t x x e t -==-，利用导数求出函数()y g t =在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上的值域，即可作出12x x 的取值范围。

【详解】因为函数()ln ,1
1,12x x f x x
x ≥⎧⎪
=⎨-<⎪⎩，所以，()()ln ln 1,1ln 2,12x m x F x x m x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝
⎭⎩， 由()0F x =，得1
1m
e
x e --=，242m
x e -=-，
由1211
x x ≥⎧⎨<⎩，得2ln 3m <，设m t e -=，则32t >，
所以，()1
1222t x x e
t -=-，设()()122t g t e t -=-，则()()121t g t e t -='-，
32
t >
，()()1
210t g t e t -∴=-<'， 即函数()()1
22t g t e t -=-在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，
(
)32g t g ⎛⎫
∴<= ⎪⎝⎭
B.
【点睛】本题考查函数零点积的取值范围，对于这类问题就是要利用函数的解析式求出函数零点的表达式，并构造函数，利用导数来求出其范围，难点在于构造函数，考查分析问题的能力，属于难题。

12.对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=，(){|0}x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-…，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()1
2x f x e
x -=+-与
()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为（ ）
A. []
2,4 B. 72,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 7,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D. []2,3
【答案】D 【解析】 【分析】
先得出函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1．再设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，根据函数f （x ）＝e
x ﹣1
+x ﹣2与g （x ）＝x 2
﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”，利用新定义的零点
关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g （x ）＝x 2
﹣ax ﹣a +3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．
【详解】函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1． 设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，
若函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”， 根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，
∴0≤β≤2，如图
由于g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3必过点A （﹣1，4），
故要使其零点在区间[0，2]上，则()()00
200022g g a ⎧>⎪
>⎪⎪
⎨∆≥⎪
⎪≤≤⎪⎩
或()()020g g ⋅≤，
解得2≤a ≤3， 故选：D
【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用
二、填空题.
13.已知2
()3(2)f x x xf =+'，则(2)f '=________.
【答案】-2 【解析】
试题分析：把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求． 解：由f （x ）=x 2+3xf′（2）， 得：f′（x ）=2x+3f′（2）， 所以，f′（2）=2×2+3f′（2）， 所以，f′（2）=﹣2． 故答案为：﹣2．
考点：导数的运算．
14.已知函数1,02
()1log ,02x
x f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩
…，则
211log 46f f ⎛⎫
⎛
⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=________.
【答案】8 【解析】
21
log 6122
1111()log 2,(log )()64462f f ==== ，所以211log 46f f ⎛⎫⎛
⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭268+=
点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
15.李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为
2590016000L x x =-+-甲，3002000L x =-乙 (其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销
售了110辆，则能获得的最大利润为______元． 【答案】33000 【解析】 【分析】
设其中一家连锁店销售x 辆，则另一家销售()110x -辆，再列出总利润的表达式，是一个关于x 的二次函数，再利用二次函数的性质求出它的最大值即可。

【详解】依题意，可设甲这一家销售了x 辆电动车，则乙这家销售了()110x -辆电动车，总 总利润()()2
2
59001600030011020005600150000S x x x x x x =-+-+--=-++≥，
所以，当60x =时，S 取得最大值，且max 33000S =，故答案为：33000.
【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查二次函数最值等基础知识，解题的关键在于确定函数的解析式，考查学生的应用能力，属于中等题。

16.已知偶函数()()y f x x R =∈在区间[1,0]-上单调递增，且满足(1)(1)0f x f x -++=，给出下列判断：
①()50f =；
②()f x 在[]1,2上是减函数；
③函数()f x 没有最小值；
④函数()f x 在0x =处取得最大值；
⑤()f x 的图象关于直线1x =对称．
其中正确的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
先利用题中等式推出()()2f x f x +=-，进一步推出()()4f x f x +=，得知该函数是周期为4的周期函数，作出满足条件的图像可得出答案。

【详解】因为()()110f x f x -++=，所以()()()111f x f x f x +=--=--，
所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数． 由题意知，函数()()y f x x R =∈关于点()1,0对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查抽象函数的相关问题，解题的关键在于充分利用题中等式进行推导，进一步得出函数的单调性、周期性、对称性等相关性质，必要时结合图象来考查。

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数()x
f x b a =? (其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠)的图象经过点()1,6A ，
()3,24B 。

(1)求()f x 的解析式；
(2)若不等式21x a m b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
…在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围。

【答案】(1)()3?
2x f x =(2)1(,]6
-∞- 【解析】
试题分析：（1）把点(1,6),(3,24)A B 代入函数的解析式求出,a b 的值，即可求得()f x 的解析式． （2）由（1）知21x a m b ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭在(,1]-∞上恒成立，设2()3x x
a g x
b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，利用g （x ）在(,1]-∞上是减函数，能求出实数m 的最大值．
试题解析： (1)由题意得362{{243
a b a b a b ⋅==⇒⋅== ()3?2x f x ∴=
(2)设2()3x x a g x b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2013
<< 2()3x g x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
在R 上是减函数 2()3x
g x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭在(,1]-∞上的最小值min 2()(1)3g x g == 因为21x a m b ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭
在(,1]x ∈-∞上恒成立 即min 2()21213g x m m ≥+⇒+≤
得16
m ≤-
所以实数m 的取值范围1(,]6-∞-.
考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．
18.已知函数(1)lg 2x f x x
-=- (1)求函数()f x 的解析式;
(2)解关于x 的不等式()lg(31)f x x +…。

【答案】(1) 1()lg
(11)1x f x x x +=-<<- (2) 11,0,133⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）令1t x =-，得1x t =+，求出x 的范围，得出t 的范围，再将1x t =+代入题中函数解析式即可得出函数()y f x =的解析式与定义域； （2）将所求不等式转化为
13101x x x
+≥->-，然后解出该不等式组即可得出答案。

【详解】（1）令1t x =-，则1x t =+，02x x
>-， 由题意知02x x >-，即02x <<，则11t -<<。

所以()()11lg
lg 211t t f t t t ++==-+-， 故()1lg (11)1x f x x x
+=-<<-。

（2）由()()lg 31f x x +…，得()11lg lg 3131011x x x x x x ++≥+⇔≥+>--。

由310x +>，得13x >-，
因
11x -<<，所以10x ->， 由1311x x x
++-…，得()()1311x x x ++-…， 即230x x -…，()310x x -…
， 解得1
3x …或0x ….又13
x >-，11x -<<，
所以103x -<≤或113
x ≤<. 故不等式的解集为1
1,0,133
⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题第（1）问考查函数解析式的求解，对于简单复合函数解析式的求解，常用换元法，但要注意新元的取值范围作为定义域，第（2）问考查对数不等式的解法，一般要转化为同底数对数来处理，借助对数函数的单调性求解，同时也要注意真数大于零这个隐含条件。

19.已知函数()|21||1|f x x x =-++。

(1)解不等式()3f x …；
(2)记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：23
13t t t
++…。

【答案】(1) {|11}x x -≤≤ (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得()g x 最小值，即得值域为M ，再作差并因式分解，根据各因子符号确定差的符号即得结果.
【详解】（1）依题意，得()3,1,12,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
于是得()1,3{33,x f x x ≤-≤⇔-≤或11,{223,x x -<<-≤或1,{233,
x x ≥≤ 解得11x -≤≤.
即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.
（2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=，
当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号，
∴[)3,M =+∞. 原不等式等价于()()
23223133331t t t t t t t t t t -+-+--+-==. ∵t M ∈，∴30t -≥， 210t
+>. ∴()()2310t t t -+≥. ∴2313t t t
+≥+. 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
20.已知1C 的极坐标方程为cos 14πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
，M ,N 分别为1C 在直角坐标系中与x 轴，y 轴的交点．曲线2C
的参数方程为14x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩
（t 为参数，且0t >），P 为M ,N 的中点． （1）将1C ，2C 化为普通方程；
（2）求直线OP （O 为坐标原点）被曲线2C 所截得弦长．
【答案】(1)
：1:0C x y +=；22:2C y x =-+
(2) ||AB =
【解析】
【分析】
（1）将曲线1C 的极坐标方程利用两角差的余弦公式展开，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
将曲线1C 的极坐标方程化为普通方程，在曲线2C 的参数方程中消去参数t 可得出曲线2C 的普通方程；
（2）求出点P 的坐标，可得出直线OP 的方程，再将直线OP 的方程与曲线2C 的普通方程联
立，求出交点A 、B 的坐标，再利用两点间的距离公式可得出AB .
【详解】（1）1C 的极坐标方程为cos 14πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
，即()cos sin 12
p θθ+=， ∴1C
化为普通方程是：1:0C x y +=；
曲线2C
的参数方程为14x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩
消去参数t 得：2C 普通方程：22:2C y x =-+．
（2
）因为)M
，(N
，∴22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线:OP y x =．
设直线:OP y x =与22:2C y x =-+交于A ，B 两点，
直线:OP y x =与22:2C y x =-+联立得：220x x +-=，
∴()1,1A ，()2,2B --
，所以AB =.
【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查直线截二次曲线所得弦长的计算，可以利用直线参数方程t 的几何意义，也可以利用弦长公式来计算，都是常考题型，考查计算能力，属于中等题。

21.已知函数()()
2x f x x mx n e =++，其导函数()'y f x =的两个零点为3-和0. （I ）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（II ）求函数()f x 的单调区间； （III ）求函数()f x 在区间[]22-,
上的最值. 【答案】（I ）4e 3e y x =-；（II ）增区间是(),3-∞-，()0,∞+，减区间是()3,0-；（III ）最大值为25e ，最小值为1-.
【解析】
试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足()0f x '=，解方程组求出m,n ；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1),求出切点，再求(1)f '得出斜率，
利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式()0f x '>和()0f x '<，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.
试题解析：
（1）∵()()
2x f x x mx n e =++， ∴()()()
()()22'22x x x f x x m e x mx n e x m x m n e ⎡⎤=++++=++++⎣⎦， 由()()'30'00f f ⎧-=⎪⎨=⎪⎩
知()()93200m m m m n ⎧-+++=⎨+=⎩，解得11m n =⎧⎨=-⎩ 从而()()21x f x x x e =+-，∴()()
2'3x f x x x e =+. 所以()1f e =，∴()'14f e =，
曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为()41y e e x -=-，
即43y ex e =-，
（2）由于0x e >，当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：
故()f x 的单调增区间是(),3-∞-，()0,+∞，单调递减区间是（-3,0）.
（3）由于()225f e =，()01f =-，()2
2f e --=， 所以函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为25e ，最小值为-1.
22.已知函数1()(,0)e
kx kx f x k k k -=∈≠R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1x …时，ln x f x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
…，求k 的取值范围． 【答案】（1）详见解析（2）k 0<或1k e ≥
【解析】
【
分析】
（1）将函数求导并化简，对k 分成0,0k k ><两种情况，讨论函数()f x 的单调性.（2）原不等式即1ln x x x ke -≤（1x ≥），当k 0<时，上述不等式显然成立.当0k >时，将不等式变为1ln 0x x k x e --≤，构造函数()()1ln 1x
x g x k x x e -=-≥，利用导数研究函数的单调性，由此求得k 的取值范围. 【详解】解：（1）()()()
211'kx kx kx ke kx ke f x k e --=⋅ 2kx kx e -= 2kx k x k e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=． ①若0k >，当2,x k ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递增； 当2,x k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减． ②若0k <，当2,
x k ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 当2,x k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． ∴当0k >时，()f x 在2,
k ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 当0k <时，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． （2）1ln x x x f x k ke -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭
（1x ≥）， 当0k <时，上不等式成立，满足题设条件；
当0k >时，1ln x x x f x k ke -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，等价于1ln 0x x k x e --≤，
设()()1ln 1x x g x k x x e -=-≥，则()2'x x k g x e x -=- 22x
x
x x ke xe --=， 设()22x h x x x ke =--（1x ≥），则()()'210x
h x x ke =--<， ∴()h x 在[)1,+∞上单调递减，得()()11h x h ke ≤=-．
①当10ke -≤，即1k e
≥时，得()0h x ≤，()'0g x ≤， ∴()g x 在[)1,+∞上单调递减，得()()10g x g ≤=，满足题设条件；
②当10ke ->，即10k e
<<时，()10h >，而()220h ke =-<， ∴()01,2x ∃∈，()00h x =，又()h x 单调递减，
∴当()01,x x ∈，()0h x >，得()'0g x >，
∴()g x 在[)01,x 上单调递增，得()()10g x g ≥=，不满足题设条件；
综上所述，0k <或1k e
≥． 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.。