拉格朗日插值公式--计算方法

1 1 0 0 0 0
问题3 求作一次式p1(x)，使满足条 件：p1(x0)=y0,p1(x1)=y1 从几何图形上看，y=p1(x)
我们知道，线性公式（3）亦可表示为下列对称式 x − x x − x p ( x ) = y + y （4） x − x x − x x − x 0 若令： l ( x ) = x − x 1 , l ( x ) =
x − xj t⇒ t xk − xj j = 0, L ,k − 1, k + 1, L ,n
y + t·yk →y
≠
K=n? = 输出y 输出
k+1→k
图1-3
2011-6-1 考试答卷 结束 11
2011-6-1
考试答卷
12
2011-6-1
考试答卷
8
3.一般情况
进一步求解一般形式的问题2.仿照线性 进一步求解一般形式的问题 仿照线性 插值和抛物插值所采用的方法， 插值和抛物插值所采用的方法，仍从构 造所谓插值基函数入手.这里的插值基函 造所谓插值基函数入手 这里的插值基函 次多项式， 数lk(x)=0,1,2,…,n)是n次多项式，且满 是 次多项式 足条件
0, j ≠ k lk ( x j ) = δ kj = 1, j = k (9)
这表明除xk以外的所有节点都是lk(x)的零 n 点故
lk ( x ) = c
∏
(x − x j)
考试答卷
j= 0 j≠ k
2011-6-1
9
即pn(x)满足插值条件（2）.
该公式的形式对称，结构紧凑， n n n x − xj p n ( x ) = ∑ y k lk ( x ) = ∑ (∏ ) yk (10 ) 因而容易编写计算程序.事实上， k =0 k =0 j=0 xk − x j j≠ k 式（10）的逻辑结构上表现为二 事实上由于每个插值基函数lk(x)都是n次式， 重循环.内循环（j循环），然后 pn(x)的次数≤n，又据（9）式有 再通过外循环（k循环）累加得出 p (x) = ∑ y l (x ) = y 插值结果y.图1-3是拉格朗日方法 的算法图框.
l0(x)=c(x-x1)(x-x2) 再利用式（7）剩下的一个条件 l0(x0)=1确定系数c，结果得出
l0 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 )( x 0 − x 2 )
类似的可以构造出满足条件： l1(x1)=1,l1(x0)=l1(x2)=0 2011-6-1 l2(x2)=1,l2(x0)=l2(x1)=0。 考试答卷
容易看出这样构造出的p2(x)满足条件（6）。因 而他就是问题4的解
2011-6-1 考试答卷 7
例3 利用100,121和144的开方值 求 115 解：用抛物插值，这里 x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=1 44,y2=12.令x=115代人式（8）， 求得 115 近似值为10.7228.同精确值比较， 这里得到有4位有效数字的结果。
1 0 1 0 1 0 1 1 0
0
x
0
− x
1
1
x
1
−
x
0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
则有： p1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) （5） 注意，这里的l0(x)和l1(x)分别可以看做是满足条件 l0(x0)=1 , l0(x1)=0 l1(x1)=1 , l1(x0)=0 的插值多项式.这两个特殊的插值多项式称作问题3的插值基函 插值基函 数 （参考图1-1、1-2）. 式（5）表明，插值问题3的解p1(x)可以通过插值基函数l0(x)和 l1(x)组合得出，且组合系数恰为所给数据y0,y1.
§1.2 拉格朗日插值公式
------《数值分析简明教程》
1、线性插值 2、抛物插值 3、一般情况
2011-6-1 考试答卷 1
1、线性插值
首先考察线性插值的简单情形。
表示通过两点(x0,y0),(x1,y1)的直线。因此，一次插 值亦称线性插值。 上述简单的线性插值是人们所熟悉的，它的解p1(x) y −y (x − x ) p1( x) = y + 可表为下列点斜式 x −x 例2 已知 100 = 10 , 121 = 11 , 求 y = 115 (3) 解：这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11.令 x=115代入（3）,求得y=10.71428，这个结果有3 位有效数字（试与例1的结果相比较）. 2011-6-1 2 考试答卷
2011-6-1
考试答卷
5
为了得出插值公式p 先解决一个特殊的二次插值问题： 为了得出插值公式 2(x),先解决一个特殊的二次插值问题： 先解决一个特殊的二次插值问题 求作二次式l 求作二次式 0(x)，使满足条件 ， l0(x)=1 , l0(x1)=l0(x2)=0 （7） ） 这个问题是容易求解的，事实上，由式（ ） 这个问题是容易求解的，事实上，由式（7）的后两个条 的两个零点， 件知， 件知，x1,x2是l0(x)的两个零点，因而 的两个零点
6
的插值多项式l1(x)与l2(x),其表达式分别为：
l1 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x 2 ) ( x − x 0 )( x − x 1 ) , l2 ( x ) = ( x 1 − x 0 )( x 2 − x 1 ) ( x 2 − x 0 )( x 2 − x 1 )
n n k =0 k k i i
∏ 这里∏的含义是累乘， 表示乘积遍取下标j 从0到除k以外的全部值. 式（10）称作拉格朗日插值公式. 利用插值基函数容易得出问题2的解
j= 0 j≠ k
n
2011-6-1
考试答卷
10
开始 输入x 输入 (xi ,yi ) , i=0,1,2,…,n 0→y 0→k 1→t
这样构造出的l0(x),l1(x)和l2(x)称作问题4的插值 基函数 y 设取已知数据y0,y1,y2作为组合系数，将插值基 函数l0(x),l1(x),l2(x)组合得：
(x−x0)(x−x2 ) (x−x0)(x−x1) (x−x1)(x−x2) p2(x) = y0 − y1 − y2 (x0 −x1)(x0 −x2) (x1 −x0)(x1 −x2) (x2 −x0)(x2 −x1) (8)
2011-6-1 考试答卷 3
y
1
l0(x)
1 l1(x)
0
0 x0 图 1-1 x1 x x0 图 1-2
x1
2011-6-1
考试答卷
4
2、抛物插值
线性插值仅仅利用两个节点上的信息，精 确度自然很低，为了提高精确度，进一步 考察下述二次插值。
问题4 求作二次式p2(x),使满足条件
p2(x0)=y0, p2(x1)=y1, p2(x2)=y2 (6) 二次插值的几何解释是，用通过三点 (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的抛物线y=p2(x)来近 似所考察的曲线y=f(x),因此这类插值亦称 为抛物插值。