湖南省衡阳市第八中学2016届高三上学期第三次月考文数

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知集合}3,2{}3,2,1{==N M ，，则
A ． N M =
B ．φ=N M
C ． N M ≠⊂
D ．M N ≠⊂
【答案】D
考点：真子集的定义
2.若0<<b a ，则下列不等式中不成立的是 A ． ||||b a > B ．a b a 11>- C ．b
a 1
1> D ． 22b a > 【答案】B 【解析】
试题分析：由不等式的性质可得||||b a >，22b a >，b a 11>成立，假设a
b a 1
1>-成立，则由00a b a b <<⇒-<()()1111
0a a b a a b a a b b a b a a b a
∴
>⇒->-⇒>-⇒>--与已知矛盾，故选B
考点：不等式的性质
3.等差数列}{n a 中，61010111==+a a a ，，则公差d 等于 A ．
41 B ．21 C ． 2 D ．2
1
- 【答案】A 【解析】
试题分析：由等差数列的性质可得1116105a a a +=⇒=，则公差
10611110651
10610644
a a a a a d --+===
==-，，选A
考点：等差数列的性质 4.已知复数)R (1∈++=
m i
i
m z 为1m +纯虚数，则=m A ． 1 B ．1- C ． 2 D ．2- 【答案】B
考点：复数的运算及性质 5.下列说法正确的是
A ． 命题“ R,0∈∃x 0201302
0>++x x ”的否定是“ R,∈∀x 020132<++x x ” B ．命题：p 函数x x x f 2)(2-=仅有两个零点，则命题p 是真命题
C ． 函数x
x f 1
)(=在其定义域上是减函数 D ．给定命题q p 、，若“p 且q ”是真命题，则p ⌝是假命题
【答案】D 【解析】
试题分析:A 错误.正确应为“ R,∈∀x 220130x x ++≤”；B 错误.作出2(),()2
x
f x x f x ==图像可知有
三个交点；C 错误函数x
x f 1
)(=在其定义域上不是减函数；D 正确 考点：命题的真假判断
6.已知向量)2,1(=a ，向量(,2)b x =-，且)(b a a -⊥，则实数x 等于 A ． 4- B ．4 C ． 0 D ．9 【答案】D 【解析】 试题分析：
()1,4a b x -=-由()()()1,21,41809a a b x x x ⊥-⇒⋅-=-+=⇒=
考点;向量垂直的充要条件
7.将圆01422
2
=+--+y x y x 平分的直线方程是
A ． 01=-+y x
B ．03=++y x
C ． 01=+-y x
D ．03=+-y x 【答案】C
考点：直线方程的一般式 8.已知2
1
cos sin =
+θθ，其中θ在第二象限，则=-θθsin cos A ． 22-
B ．22
C ． 27-
D ．2
7 【答案】C 【解析】
试题分析：由题θ在第二象限，即sin 0,cos 0θθ><，由
()2
1113sin cos sin cos 12sin cos 2sin cos 2444
θθθθθθθθ+=
⇒+=⇒+=⇒=- (
)2
3772sin cos 12sin cos sin cos cos sin 444θθθθθθθθ⇒-=
⇒-=⇒-=⇒-=考点：同角三角函数的基本关系式，三角函数在各个象限的符号
9.函数α
x x f =)(满足4)2(=f ，那么函数|)1(log |)(+=x x g a 的图象大致为
【答案】C 【解析】
试题分析：由函数α
x x f =)(满足4
)2(=f ，即
2
242,()f x x α
α=∴==，则
|)1(log |)(+=x x g a 即
2()|log (1)|g x x =+，将函数2()log h x x =的图像向左平移1个单位长度（纵坐标不变），
然后将x 轴下方的图像折上去，即可知选C 考点：幂函数，函数的图像变换
10.已知实数y x ，满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，则不等式22≥+y x 成立的概率为
A ．
21 B ．41 C ． 43 D ．8
1 【答案】
A
考点：几何概型
11.三棱锥ABC S -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为
A ．112
B ．24
C ． 38
D ．316
侧视图
正视
图
S
A
C
【答案】
B
考点：三视图
12.已知⎪⎩⎪
⎨⎧>+-≤<=3,83103130|,log |)(23x x x x x x f ， d c b a ,,,是互不相同的正数，且
)()()()(d f c f b f a f ===，则abcd 的取值范围是
A ．)28,18(
B ．)25,18(
C ． )25,20(
D ．)24,21( 【答案】D 【解析】
试题分析：
先画出⎪⎩⎪
⎨⎧>+-≤<=3,83103130|,log |)(23x x x x x x f 的图象，如图：根据题意d c b a ,,,互不相同，不妨设
a b c d ＜＜＜．
且)()()()(d f c f b f a f ===f （a ），3334610c d log a log b c d ∴-=+=＜＜，＞．，，
即
110ab c d =+=，，故21010abcd c c c c =-=-+（），由图象可知：34c ＜＜，
由二次函数的知识可知：2223103104104c c -+⨯-+-+⨯＜＜，即2
211224c c -+＜＜，故
abcd 的范围为)24,21(．选D ．
考点：分段函数，函数的图像的应用
【名师点睛】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，属
难题.解题时注意体会数形结合思想在本题中的运用．先画出函数y f x =（）的图象，根据图象
分析d c b a ,,,的关系及取值范围，从而求abcd 出的取值范围．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.双曲线
112
42
2=-x y 的离心率为 ． 【答案】2 【解析】
试题分析：由已知4
2,422
a c e ===∴=
= 考点：双曲线的简单性质 14.观察下列式子：232112<+
，353121122<++，474
1312112
22<+++，…， 根据上述规律，第n 个不等式应该为 ． 【答案】n n n 1
2141312112
222-<+++++
考点：归纳推理
15.阅读分析如右图所示的程序框图，当输入2=a 时，输出值y 是 ． 【答案】21 【解析】
试题分析：当输入2=a 时，22
444121x a y ==∴=++=
考点：程序框图
16.若关于x 的函数)0(sin 2)(2
22>++++=t t
x x
t x tx x f 的最大值为M ， 最小值为N ，且4=+N M ，则实数t 的值为 ． 【答案】2
考点：函数的奇偶性和最值
【名师点睛】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解释要充分利用已知条件将函数变形为22sin ()=t+
x x
f x x t
++，则函数
2
2sin x x
y x t
+=
+为奇函数，而奇函数的最值互为相反数，可得()M t N t ∴-=--，则问题得解.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知向量)sin ,12
cos
2(),cos ,(sin 2
ϕϕ
-==x x ，且函数)0()(πϕ<<∙=b a x f 在
π=x 时取得最小值．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边，若3=a ，3
6
)(=A f ，2π+=A B ，
求b 的值．
【答案】（Ⅰ）2
π
ϕ=（Ⅱ）b =【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求ϕ的值； （Ⅱ）先求出sinA sinB ，，再利用正弦定理，即可求b 的值．
试题解析：(Ⅰ)2
()sin (2cos
1)+cos sin 2
f x a b x x ϕ
ϕ=⋅=-
sin cos +cos sin sin()x x x ϕϕϕ==+
由于sin()1,0,2
π
πϕϕπϕ+=-<<∴=
且
考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积
18.如图，在四棱锥ABCD P -中，CD AB //，CD AB ⊥，AB CD 2=，平面⊥PAD 底面ABCD ，AD PA ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： （1）⊥PA 底面ABCD ； （2）//BE 平面PAD ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得⊥PA 底面ABCD P ． （Ⅱ）根据已知条件判断ABED 为平行四边形，故有AD BE //，再利用直线和平面平行的判定定理证得//BE 平面PAD ．
试题解析：Ⅰ）因为平面⊥PAD 平面ABCD ，且PA 垂直于这个平面的交线AD
所以PA 垂直底面ABCD .
（Ⅱ）因为CD AB //，AB CD 2=，E 为CD 的中点， 所以DE AB //,且DE AB = 所以ABED 为平行四边形,
所以AD BE //,又因为⊄BE 平面PAD ,⊂AD 平面PAD 所以//BE 平面PAD ．
考点：直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定 19.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，15555==S a ，． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2) 求数列}2{n n a ∙的前n 项和为n T
【答案】(1) n a n =;(2)62)1(1-⋅+=+n n n T
P
A
B
C
D E
F
(2)由（1）可知{2}n n a ⋅的通项为2n
n ⋅，则利用错位相减法即可求出其前n 项和n T 试题解析：（1）等差数列{a n }，15555==S a ，．
15105,541515=+==+=∴d a S d a a n a d a n =∴==∴,1,11
（2）n T n n ⨯++⨯+⨯+⨯=232221232
n T 2 n n n n ⨯+-⨯++⨯+⨯=+1322)1(22212
62)1(2)42(22)222(2111132+⋅+-=⋅---=⨯-+++-=-++++n n n n n n n n n T 62)1(1-⋅+=+n n n T
考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式,错位相减法
20.已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为23，且过点)22
,2(．
(1)求椭圆方程；
(2)设不过原点O 的直线)0(≠+=k m kx y l ：，与该椭圆交于Q P 、两点，直线OQ OP 、的斜率依次为21k k 、，满足214k k k +=，试问：当k 变化时，2
m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
.14
22=+y x (2) k 变化时，2m 是为定值，此定值为21
2m =
试题解析：（1）
考点：直线与圆锥曲线的位置关系，椭圆标准方程
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．属中档题.解题时第（1）问为常规题，关键第（2）小题联立方程组很重要，要充分利用已知条件直线OQ OP 、的斜率依次为21k k 、，满足214k k k +=，这是解题的方向
21.已知函数x e
e x
f x x 2)(--=-．
(1) 讨论)(x f 的单调性；
(2) 设)(4)2()(x bf x f x g -=，当0>x 时，0)(>x g ，求b 的最大值；
(3) 已知4143.124142.1<<，估计2ln 的近似值（精确到001.0）．
【答案】（1）)(x f 在),(+∞-∞上单调递增（2）b 的最大值为2（3）2ln 的近似值为0.693
试题解析：(1) 02)(≥-+='-x x e e x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，
所以)(x f 在),(+∞-∞上单调递增．
(2) x b e e b e e x bf x f x g x x x x )48()(4)(4)2()(22-+---=-=--，
)]24()(2[2)(22-++-+='--b e e b e e x g x x x x
)22)(2[2+-+-+=--b e e e e x x x x ．
(ⅰ)当2≤b 时，0)(≥'x g ，等号仅当0=x 时成立，所以)(x g 在),(+∞-∞上单调递增． 而0)0(=g ，所以对任意0)(0>>x g x ，．
(ⅱ) 当2>b 时，若x 满足222-<+<-b e e x x ，即)21ln (02b b b x -+-<<时，0)(<'x g ．而0)0(=g ，因此当)21ln(02b b b x -+-<<时，0)(<x g ．不符合题意 综上，b 的最大值为2．
(3)由(2)知，2ln )12(2222
3)2(ln -+-=b b g ． 当2=b 时，02ln 62423)2(ln >+-=
g ，6928.0123282ln >->； 当14
23+=b 时，2ln )21ln(2=-+-b b b ，
02ln 2)23(222
3)2(ln <++--=g ， 6934.028
2182ln <+<． 所以2ln 的近似值为0.693．
考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高．属难题. 解题时，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．第（3）问的难点在于如何寻求2ln ，关键是根据第（2）问中()g x 的解析式探究b 的值，从而获得不等式，这样自然地将不
22.已知函数|1|)(-=x x f ．
(Ⅰ)解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；
(Ⅱ)若1||,1||<<b a ，且0≠a ，求证：)(||)(a
b f a ab f >
【答案】(Ⅰ) 不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ (Ⅱ)见解析
考点：绝对值不等式的解法及证明。