第十二章第3节等腰三角形

年级初二学科数学版本人教新课标版
课程标题第十二章第3节等腰三角形
编稿老师陈孟伟
一校李秀卿二校黄楠审核王百玲
一、学习目标：
1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；
2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；
3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30 的直角三角形的性质。

二、重点、难点：
重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30 的直角三角形的性质。

难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。

三、考点分析：
本节知识内容是初中数学的基础，考试题型多，方法灵活。

对这部分知识的命题方向是考查等腰三角形及等边三角形的性质和判定，即边角的相互转化。

这部分内容在中考中多以填空题、选择题的形式出现。

在综合题中，对等腰三角形的性质和判定知识的考查较为常见，中考中还经常出现与本节知识有关的探究性问题，如函数中的动点，考查动点在何处时形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。

知识点一：等腰三角形的有关概念
例1.如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。

思路分析：这里要求根据条件说明图形的名称，而不是凭直观和想象。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，另外的两个角叫做底角。

解答过程：图中的等腰三角形有ABC
∆和AD B
∆。

其中
ABC
∠和C
∠；
∆的腰是AB和AC，底边是BC，顶角是B A C
∠，底角是C BA
∆的腰是DA和DB，底边是AB，顶角是B D A
AD B
∠。

∠，底角是∠A和A B D 解题后的思考：解决此类题目应先找到两腰，然后根据其他元素与两腰的相对位置关系
来进行识别。

例2. 已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________； 思路分析：长为3的边是否是腰并不清楚，故应分类讨论。

解答过程：当3为底边时，其他两边均为(133)25-÷=； 当3为腰长时，其他两边为3和13337
--=。

因为3367
+=
<，所以不能构成三角形，
故舍去。

其他两边只能是5,5。

解题后的思考：对于底和腰不相等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。

小结：对等腰三角形各元素的识别是以后分析问题的基础，一定要结合图形理解清楚。

知识点二：等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

符号语言： 在ABC ∆中，
A B A C =
∴B C
∠=∠（等边对等角）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

符号语言： 在ABC ∆中， （1） A B A C
=，A D
B C
⊥
∴12
∠=∠，B D D C
=
（2） A B A C
=，12
∠=
∠ ∴A D B C
⊥，B D D C
=
（3）
A B A C
=，B D
D C
=
∴A D B C
⊥，12
∠=
∠
等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。

例3. 如图，AC 和BD 相交于点O ，AB//CD ，OA=OB ，求证：C D ∠=∠。

思路分析：要证明C D
∠=∠，由AB//CD 可知，只需证明A
B
∠=∠；而这个结论正好
可以用等腰三角形的性质得到。

解答过程：
O A O B
=
∴A B
∠=∠（等边对等角） 又 AB//CD
∴A C
∠=∠，B D
∠=∠
∴D C
∠=∠
解题后的思考：等边对等角只限于在同一个三角形中使用，若两个三角形中有两边对应相等，它们所对的角不一定相等。

例4. 已知：如图，A B
A C
=，B D
A C
⊥。

求证：12
D B C
A
∠=
∠。

思路分析：既然要证明“12D B C
A
∠=∠”，那么就构造出一个角，使其等于
12
A
∠，然
后证明它与D B C ∠相等即可。

这样，自然想到作A ∠的平分线。

解答过程：证明1：作A ∠的平分线AE 交BC 于E
A B A C =，A E 平分A ∠
∴A E B C
⊥（等腰三角形三线合一）
∴90
C E A C ∠+∠=
∴90C D B C ∠+∠=
∴12∠=∠=
∠D B C E A C A。

证明2：
B D A C
⊥ ∴90D B C C
∠=-∠
A B A C
= ∴A B C C
∠=∠
在ABC ∆中，180
A A
B C
C ∠+∠+∠=
∴180()1802A A B C C C ∠=-∠+∠=-∠
2(90)2C D B C =-∠=∠
∴12
D B C B A C
∠=
∠。

解题后的思考：证明一个角是另一个角的一半或2倍时，常用的办法是：（1）找出或作出等于较小角的2倍的角，证明它与较大角相等；（2）找出或作出等于较大角一半的角，证明它与较小角相等。

小结：应用“三线合一”性质的前提条件必须是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，若是其中一腰上的高与中线就不一定重合。

知识点三：等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法有两个： （1）定义法；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。

例5. 如图，已知B D 是∠ABC 的平分线，DE//BC 交AB 于点E 。

求证：BED ∆是等腰三角形。

思路分析：首先，从“结论”出发，判别一个三角形是等腰三角形，有两种方法：（1）是根据定义；（2）是根据“等角对等边”。

本题中的已知条件“角平分线”及“平行”都能提供角的条件，所以应选择第二种方法。

解答过程： BD 是∠ABC 的平分线
∴E B D D B C
∠=∠
DE//BC
∴E D B D B C ∠=∠ ∴EBD ED B
∠=∠
∴E B E D
=，即BED ∆是等腰三角形。

解题后的思考：用哪一个方法来证明三角形是等腰三角形，要根据题目条件来确定，不能在分析问题之前就先入为主确定用某种判定方法。

小结：“等边对等角”和“等角对等边”的条件和结论互逆。

前者是证明两角相等的又一好方法，而后者是证明两线段相等的又一有力方法。

知识点四：等边三角形及性质
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，且每个角都是60 。

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它的任意一角的平分线都垂直且平分对边。

例6. 如图，等边ABC ∆中，D 是A C 边的中点，延长BC 到点E ，使CE CD
=，连接DE ，
试判断BD E ∆的形状，并说明为什么？
思路分析：利用等腰三角形“三线合一”的性质和三角形外角的性质，证明D B E E
∠=∠。

解答过程：
ABC
∆是等边三角形，D 是AC 的中点
∴60
A B C A C B ∠=∠=
，130
2
A B D
D B C A B C ∠=∠=
∠=
又∵CE=CD
∴E C D E
∠=∠
A C
B E
C
D
E ∠=∠+∠
∴130
2
E A C B ∠=
∠=
∴D B C E ∠=∠
∴B D D E
=
∴△BDE 为等腰三角形
解题后的思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形“三线合一”的性质也适用于等边三角形。

小结：由于可以将等边三角形的任意两边看作腰，而另一边看作底边，所以等边三角形的任意一边上的高线和中线以及对角的平分线都重合在一起。

知识点五：等边三角形的判定
等边三角形的判定： （1）由定义判定；
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）判定定理2：有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。

例7. 如图所示，E 为等边ABC ∆的边AC 上一点，且12
∠=∠，CD=BE ，试判定AD E ∆的
形状。

思路分析：由已知条件可证A B E
A C D ∆≅
∆，得AE=AD ，且60
C A D
B A E ∠=∠=
，由
此可以判定AD E ∆为等边三角形。

解答过程： ABC ∆是等边三角形
∴
AB=AC ，60
B A E
∠=
在A B E ∆和AC D ∆中
12A B A C B E C D =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴A B E A C D ∆≅∆（SAS ）
∴
AE=AD ，60
B A E
C A
D ∠=∠=
∴AD E
∆为等边三角形。

解题后的思考：若已知等腰三角形，并能证出其中任意一个内角为60 ，就可以判定此三角形为等边三角形，易误认为只有顶角为60 才能得证。

小结：证明一个三角形是等边三角形的三种方法互相联系，要灵活运用，根据已知提供的条件选择适当的方法。

知识点六：有一个角是30 的直角三角形的性质
直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半。

它是由等边三角形的性质推出的，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数。

例8. 如图，在ABC ∆中，90
A C B
∠=
，CD 、CE 三等分A C B ∠，C D
A B
⊥。

求证：（1）
2A B B C
=；（2）C E
A E E B
==。

思路分析：本题考查的是有一个角是30
的直角三角形的性质。

可先分别求出1,2,3
∠∠∠的度数都是30 ，再求出60
B
∠=
，得30
A
∠=
即可。

解答过程：（1） 90
A C
B ∠=
，CD 、CE 三等分A C B ∠
∴12330
∠=∠=∠=
又
C D A B
⊥
∴60
∠=
B ，30
A ∠=
在R t A C B ∆中，30
A
∠=
∴
AB=2BC
（2） 130
A ∠=∠=
∴CE=AE
又 60
B B
C E
∠=∠=
∴BC E
∆为等边三角形
∴
EC=EB
∴CE=AE=EB 。

解题后的思考：在运用“在直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半”时，易忽视“在直角三角形中”这个重要条件，误认为只要在三角形中有一个角是30 ，那么它所对的边就等于最长边的一半。

小结：直角三角形的这个性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分的重要方法。

对于等腰三角形的概念与性质的学习，通过动手折纸，在操作过程中体会等腰三角形的概念及特征，探索等腰三角形的性质。

注意常用结论的适用范围，在分析题目时善于联想，完成题目后注意归纳总结题目特点，寻求多种解法。

在学习过程中，充分体会转化的数学思想，如“等边对等角”、“等角对等边”体现了三角形中边相等与角相等关系的转化。

一、预习新知
下一讲是《轴对称》的全章复习，请同学们提前总结本章所学的知识点，并弄清楚这些知识点之间的逻辑关系。

二、预习点拨
同学们想一想，截止到本章我们一共学习了哪些证明线段和角相等的方法？这些方法各自的适用条件是什么？本章中用到了哪些重要的数学思想？
（答题时间：60分钟）
一、选择题：
1. 已知等腰三角形的两边长分别为5、6，则此三角形的周长为（ ） A. 16 B. 17 C. 16或17 D. 无法确定
2. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的底角一定是锐角 B. 等腰三角形的底角可以是直角，但不能是钝角 C. 等腰三角形一内角平分线与此角所对边上的高一定重合
D. 等腰三角形的一个内角等于40 ，那么其余的两个内角一定都等于70 3. 如图，在ABC ∆中，AB=AC ，36
A
∠=
，BD 、CE 分别是A B C ∠、A C B ∠的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 12 B. 10 C. 9
D. 8
4. 如图，在ABC ∆中，点D 在AC 上，且AB=AD ，30A B C C ∠=∠+
，则C
B D ∠等于（ ）
A. 15
B. 18
C. 20
D. 22.5
5. 如图，在ABC ∆中，AB=AC ，50
A ∠=
，P 是ABC ∆内一点，且P B C
P C A
∠=∠，则B P C
∠的度数为（ ）
A.
115
B.
100
C. 130
D.
140
二、填空题：
6. 直角三角形的一直角边的长为8，若它的对角为60 ，则斜边上的高等于__________；
7. 在ABC ∆中，AB=AC ，A D B C
⊥于D ，ABC ∆的周长为36 cm ，A D C ∆的周长为30 cm ，
那么AD=_________ cm ；
8. 一个等腰三角形的顶角为钝角，则它的底角的取值范围是_______________； 9. 如图，15
A
∠=
，AB=BC=CD=DE=EF ，那么F E M
∠=
__________；
10. 如图，AB=AC ，F D
B C
⊥于D ，D E
A B
⊥于E ，若145
A F D
∠=
，则E
D F ∠=
________；
三、解答题：
11. 如图，在R t A B C
∆中，BC A
∠是直角，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD、BE交于点F。

求证：C D B E
⊥。

12. 如图，已知ABC
∆中，AB=AC，在AB上取点D，在AC的延长线上取点E，使BD=CE。

连接DE交BC于点G。

求证：DG=GE。

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一、选择题：
1. C
2. A
3. D
4. A
5. A
二、填空题：
6. 4
7. 12 8. 045α<< （其中α为底角大小）
9. 75 10. 55
三、解答题：
11. 证明： D E A B ⊥
∴90
E D B B C A ∠=∠= 在R t E B D ∆与∆R t E B C
中 B D B C B E B E =⎧⎨=⎩
∴∆≅∆Rt EBD Rt EBC
（HL ） ∴EBD EBC ∠=∠
BD=BC
∴B D C ∆是等腰三角形
又 EBD EBC ∠=∠
∴B E C D ⊥（等腰三角形三线合一）
12. 证明：过点D 作DF//AC ，交BC 于点F ，则D FB AC B ∠=∠ AB=AC ，∴B A C B ∠=∠，∴D F B B ∠=∠，∴DF=DB
CE=DB ，∴CE=DF
在D F G ∆与E C G ∆中 D G F E G C
F D
G E
C E
D F ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴D FG EC G
∆≅∆（AAS ） ∴D G G E =。