2018全国卷3高考试题及答案-理科数学.doc

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试题类型：
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =
(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则
41
i
zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i
（3）已知向量1(,22BA =uu v ,
1),2
BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是
(A) 各月的平均最低气温都在00C
以上
(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大
(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3
tan 4α=
，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
（6）已知4
3
2a =，34
4b =，13
25c =，则
（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
（8）在ABC △中，π4B =
，BC 边上的高等于1
3
BC ,则cos A =
（A （B （C ）- （D ）-
(9)如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A ）18+
（B ）54+ （C ）90 （D ）81
(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，
AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）
92
π
（C ）6π （D ）
323
π
（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点，A ，B 分别为C
的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交
于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）
1
3
（B ）
12
（C ）
23
（D ）
34
（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，
12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有
（A ）18个
（B ）16个
（C ）14个
（D ）12个
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.
第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）若x，y满足约束条件{x−y+1≥0 x−2y≪0
x+2y−2≪0
则z=x+y的最大值为_____________.
（14）函数y=sin x−√3cos x的图像可由函数 y=sin x+√3cos x的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

（15）已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。

（16）已知直线l:mx+y+3m−√3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2√3，则|CD|=__________________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知数列{a n}的前n项和S n=1+a，S n=1+λa n，其中λ0
（I）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式
（II）若S5=31
32
，求λ
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2018年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明
（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量。

（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，P A=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（I ）证明MN ∥平面P AB ;
（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.
（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；
（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. （21）（本小题满分12分）
设函数f （x ）=a cos2x +（a -1）（cos x +1），其中a ＞0，记|f （x ）|的最大值为A . （Ⅰ）求f ＇（x ）； （Ⅱ）求A ；
（Ⅲ）证明|f ′（x ）|≤2A .
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O 中»AB 的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点. （I ）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；
（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()
sin x y θθθ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
为参数，以坐标原点为极点，
以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4
ρθπ
+=.
（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+
（I ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；
（II ）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围.
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试题类型：新课标Ⅲ
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）
32
（14）
3
2π （15）21y x =-- （16）4
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ
-=
11
1a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，
0≠λ得0≠n a ，所以
1
1-=+λλ
n n a a . 因此}{n a 是首项为
λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1
(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(
1--=λλ
，由32315=S 得3231
)1(15=--λλ，即=
-5)1(λλ321，
解得1λ=-．
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
4=t ，28)(7
1
2
=-∑=i i t t ，
55.0)(7
1
2
=-∑=i i y y ， 89.232.9417.40))((71
7
1
7
1
=⨯-=-=
--∑∑∑===i i i
i i i i i
y
t y t y y t t
，
99.0646
.2255.089
.2≈⨯⨯≈
r .
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.
（Ⅱ）由331.17
32.9≈=y 及（Ⅰ）得103.028
89
.2)()
)((ˆ7
1
2
7
1
≈=
---=∑∑==i i
i i i
t t
y y t t
b ， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a
. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y
10.092.0ˆ+=. 将2018年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y
. 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得23
2
==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，22
1
==
BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .
（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且
5)2
(
2
222=-=-=
BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，
)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,2
5
(
N ，
)4,2,0(-=PM ，)2,1,25(
-=，)2,1,2
5(=. 设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-022
5042z y x z x ，可取
)1,2,0(=n ，
于是25
5
8|||||,cos |=
=
><AN n AN n .
（20）解：由题设)0,2
1(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且
)2
,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则
22
2111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=
. 所以FQ AR ∥. ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,21
21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=
∆∆. 由题设可得
2
21211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E
.
当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y
b a . 而
y b
a =+2
，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12
-=x y . ....12分 （21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）'
()2sin 2(1)sin f x a x a x =---． （Ⅱ）当1a ≥时，
'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =
因此，32A a =-． ………4分
当01a <<时，将()f x 变形为2
()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．
令2
()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，
且当14a
t a
-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a --++=--=-． 令1114a a --<
<，解得13a <-（舍去）
，1
5
a >． （ⅰ）当1
05
a <≤
时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．
（ⅱ）当
115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a g g g a
-->>． 又1(1)(17)
|()||(1)|048a a a g g a a
--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==． 综上，2
123,05611
,18532,1a a a a A a a a a ⎧
-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨
⎪
-≥⎪⎪⎩
． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得'
|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105
a <≤时，'
|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当
115a <<时，13
1884
a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'
|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'
|()|2f x A ≤.
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,. 因为BP AP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又PCD PFB BFD PFD ∠=∠=∠+∠2,180ο，所以ο
1803=∠PCD ， 因此ο60=∠PCD . （Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以ο180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）1C 的普通方程为2
213
x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分
（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，
即为P 到2C 的距离()d α的最小值，
()sin()2|3d παα==+-. ………………8分
当且仅当2()6k k Z π
απ=+∈时，()d α取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标为31(,)22
. ………………10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.
解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.
因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分
（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-
|212|x a x a ≥-+-+
|1|a a =-+， 当12
x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.
当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.
所以a 的取值范围是[2,)+∞.
………………10分。