广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题(1)

一、单选题
二、多选题1. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点
，，离心率分别为，，点
为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（ ）
A
．B
．C
．D
．
2. 现实生活中好多商标设计师的灵感来源于曲线C ：
，其中星形线E
：常用于超轻材料的设计，则下列关于星
形线的说法不正确的是（ ）A ．E 关于y
轴对称且关于对称
B ．E 上的点到x 轴、y
轴的距离之积不超过
C ．E
上的点到原点的距离最小值为
D ．曲线
E 所围成图形的面积小于2
3. 函数的最小正周期为（ ）
A
．
B
．C ．D
．
4. 已知集合
，，则（ ）A
．
B
．C
．D
．5.
设过原点且倾斜角为
的直线与双曲线C
：的左，右支分别交于A 、B 两点，F 是C 的焦点，若三角形的面积大于，则C 的离心率的取值范围是（ ）
A
．
B
．C
．D
．
6. 已知函数
的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则（ ）A ．
的周期为B ．在上单调递增C
．的图象关于点对称D
．的图象关于直线对称
7. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：M （t ）=M 0
，其中M 0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137
含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M （60）=（ ）A ．5太贝克
B ．75In2太贝克
C ．150In2太贝克
D ．150太贝克
8.
已知，集合，集合
，若，则（ ）A
．
B
．C
．或1D
．
9. 已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（
）
广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题(1)
广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题(1)
三、填空题四、解答题
A
．点到平面
的距离为B ．正方体
外接球的体积为C ．面
截正方体
外接球所得圆的面积为
D ．以顶点为球心，
为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于10. 底面为直角三角形的三棱锥
的体积为4，该三棱锥的各个顶点都在球O 的表面上，点P 在底面ABC 上的射影为K ，，则下
列说法正确的是（ ）A ．若点K 与点A 重合，则球O
的表面积的最小值为
B ．若点K 与点A 重合，则球O
的体积的最小值为
C ．若点K
是
的斜边的中点，则球O
的表面积的最小值为D ．若点K
是的斜边的中点，则球O
的体积的最小值为
11. 若正整数m ．n 只有1为公约数，则称m ，n 互质，对于正整数k ，（k ）是不大于k 的正整数中与k 互质的数的个数，函数（k ）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互质，那么，例如：，则（ ）A
．
B
．数列
是等比数列C ．数列
不是递增数列D ．数列的前n
项和小于
12. 2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A ．这组数据的众数为1
B ．这组数据的极差为2
C ．这组数据的平均数为2
D ．这组数据的40%分位数为1
13.
设数列的前
项和为
，若
，则___________.
14. 某班
名同学去参加个社团，每人只参加个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有_____种．(用数字填写答案)15. 关于函数
，有如下四个结论：①函数
的图象关于原点对称；
②函数
的图象关于y 轴对称；③函数的图象关于直线对称；
④函数的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________．
16. 已知椭圆
：
（）的离心率为，其左､
右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知
，过点的直线与椭圆交于不同的两点，
，直线，与轴的交点分别为
，，证明：以为直径的圆
过定点.
17. 已知函数．
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)若恒成立，求实数的值．
18. 影响消费水平的原因是很多的，其中重要的一项是工资收入.下表是我国某地区2016年-2021年职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）的数据；
年份201620172018201920202021
职工平均工资 6.67.27.88.58.49.5
城镇居民消费水平 4.1 5.0 5.2 6.3 5.8 6.6
以表示职工平均工资，以表示城镇居民消费水平，绘制如下散点图：
(1)请写出从散点图发现的与之间关系的一般规律，并求出线性回归方程（精确到0.01）；
(2)请预测2022年的职工平均工资至少多少万元时，城镇居民消费水平才不少于8.11万元？
附：线性回归方程，，，参考数据：，，
19. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，
，．
(1)求证：B，D，E，四点共面；
(2)求二面角的余弦值．
20. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为
，四边形的面积为.
（i）求直线的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
21. 某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示．
积极参加班级
工作不积极参加班级
工作
合计
学习积极性
高
18725
学习积极性
不高
61925
合计242650
(1)如果随机调查这个班的一名学生，求事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率；
(2)若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有2名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，请用字母代表不同的学生，写出样本空间；
(3)在（2）的条件下求事件B：2名学生中恰有1名男生的概率．。