角平分线练习题

角平分线练习

一、选择题

1.已知：如图1，B E，C F是△ABC的角平分线，

B E，CF相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=（）

A.70°

B.120°

C.115°

D.130°

2.已知：如图2，△ABC中，AB = AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =

（）

A. 10°

B. 20°

C. 30°

D. 40°

3.三角形中，到三边距离相等的点是（）

A.三条高线交点

B.三条中线交点

C.三条角平分线的交点

D.三边的垂直平分线的交点

4.已知P点在∠AOB的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（）

A. 5cm 、cm

B. 4cm、5cm

C. 5cm、5cm

D. 5cm、10cm

5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（）

A.直角三角形的两个锐角互余

B.等腰三角形的两个底角相等

C.全等三角形的对应角相等

D.相等的两个角是对顶角

6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC 的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的

距离分别等于（）cm

A. 2、2、2

B.3、3、3

C. 4、4、4

D. 2、3、5

二、填空题

1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题

是，它

是命题。

2.角平分线可以看作

是的点的集合。

3.已知：△ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离

是cm。

4.命题“如果a = b，那么| a| = | b |”的命题

是，它

是命题。

三、简答题

1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，AD = AC

求证：DC∥AE

2.已知：如图5，△ABC中，∠C= 90°，点D是斜边AB 的中点，AB = 2BC， DE⊥AB交AC于E

求证：BE平分∠ABC

3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。

4.已知：如图6，△ABC中，∠A= 90°，AB = AC = BD

ED

⊥BC

求证：AE = DE =DC

5.已知：线段a和∠a

求作△ABC，使AB = AC = a，∠A= ∠a

线段的垂直平分线垂直平分线的性质定理和它的逆定理；

二、例题分析

[例1]如图3—14—2，已知AB=AC，BD=DC，AD，BC相交于点O。求证：AD⊥BC。

思路分析：

此题证法比较多，可利用等腰三角形

的性质及线段垂直平分线的性质定理的

逆定理来证。这里我们选用线段垂直平

分线的性质定理的逆定理来证。

[例2]已知：如图下图3—14—2，在△ABC中，AD是高，BC的垂直平分线交AC于E，BE交AD于F。求证：E在AF 的垂直平分线上。

思路分析：

由图形观察到∠CAD与∠C互余，

∠BFD与∠CBE互余，∠AFE=∠BFD

因此只需证明∠C=∠CBE，就可得到

∠CAD=∠AFE。

第二阶段

[例3]如图3.14—3，已知：AB=AC，AB的垂直

平分线交AC于D，垂足是点E，∠C=70°，求

∠BDC的度数。

思路分析：

∵AB=AC，由∠C先求出∠A，根据DE是AB的中垂线，得到AD=BD，求出∠DBA，再计算出∠BDC。

[例4]如图3.14—4，已知：AB=AC，

DB=DC，E是AD上的一点，求证：BE=CE。

思路分析：

此题利用垂直平分线定理的逆定理来证

明可出奇制胜，而利用全等三角形证明却

较繁琐，

因而在今后的证题思路的分析中，要充

分发挥后续定理的作用。

第三阶段

[例5]如图3.14—5，求作一点P，使PC=PD，并且使点P 到∠AOB两边的距离相等。

思路分析：由PC=PD，

知P在线段CD的中垂线

上。由P到∠AOB两边的

距离相等，知P在∠AOB

的平分线上。

[例6]如图3.14—7，已知：△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N

求证：CM=2BM。

思路分析：等腰三角形性质、中垂线的性质、30°直角三角形的性质。

三、练习题

1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A、锐角三角形 B、钝角三

形

C、直角三角形

D、不能确定

2、线段的垂段直平分线上的点和这条线段两个端点的

_________相等。

3、和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条

线段的__________________上。

4、线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点的

__________________点的集合。

5、三角形三边垂直平分线的交点到_________的距离相等。

6、线段的垂直平分线有_____________条，它是

_________的集合。

7、若△ABC中有两边的垂直平分线的交点恰好在第三边上，则△ABC必定为（） A、锐角三角形 B、直角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

8、下列说法：①若直线PE是线段AB的中垂线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；

③若PA=PB，则点P必是线段AB中垂线上的点；④若EA=EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB，其中正确的个数为（） A、1个B、2个C、3

个 D、4个

9、已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法中正确的是（）A、与AB距离相等的点在MN上

B、与点A和点B距离相等的点在MN上

C、与MN距离相等的点在AB上

D、AB垂直平分MN

10、已知点D在△ABC的边AB的垂直平分线上，且

AD+DC=AC，若AC=5cm，BC=4cm，则△BDC的周长为（）

A、6cm

B、7cm

C、8cm

D、9cm

11、已知：AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F。求证：∠FAC=∠B。

12、已知△ABC中，AB=AC，在AB上求作一点E，使EA=EC，以在什么情况下E点在BA的延长线上？在什么情况下，本题无解？

角的平分线的性质自测

夯实基础

一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）

1．如图1所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（）

A.∠1＝∠2

B.∠1＞∠2

C.∠1＜∠2

D.无法确定2．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，

垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（）A、12cm B、10cm C、14cm D、11cm 3．如图2所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（）

A.PM＞PN

B.PM＝PN

C.PM＜PN

D.无法确定4．如图3所示，△ABC中，

分线，DE⊥AB，DF⊥AC

给出四个结论，其中正确的结论有( )

①AD平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到

B、C两点的距离相等④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个5．如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD 上，P A⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（）．

A．AD=CP

B．△ABP≌△CBP

C．△ABD≌△CBD

D．∠ADB=∠CDB．

二、精心填一填，你会轻松（每

题6分，共30分）

6．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC 于点D，若CD=8，则点D到斜边AB的距离等于_____________．

7．，已知点C是∠AOB平分线上的一点，点P、P′分别在边OA、OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为______________．①∠OCP＝∠OCP′；

②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC．8．如下图，已知BO平分CBA

∠，CO平分ACB

∠，MN BC

∥，且过点O，若12

AB=，14

AC=，则AM N

△的周长是．

9．如上右图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠

CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，

E

D

M

A

C N

P

E

图2

图3

A

B C

D

P