甘肃省兰州第一中学2020学年高一数学下学期期末考试试题

兰州一中2020-2学期期末考试试题
高一数学
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟. 选择题使用2B 铅笔填涂，非选择题答案写在答题卡上，交卷时只交答题卷卡.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知A (3, 7)，B (5,2)，把向量AB u u u r 按向量a =(1,2)平移后，所得向量A B ''u u u u r
的坐标是（ ）
A. (2, －5)
B. (1, －7)
C. (0, 4)
D. (3, －3) 2．已知扇形AOB 的圆心角为120o
，半径长为6，则扇形AOB 的面积是（ ）
A ．．4π C ．12π D ．24π
3．已知()1,1a =-r ，()1,0b =r ，()1,2c =-r
，若a r 与mb c -r r 垂直，则m =（ ）
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．3
4．已知向量a r ，b r 的夹角为120o
，且2a =r ，5b =r ，则(2)a b a -⋅=r r r （ ）
A ．3
B ．9
C ．12
D ．13 5．下列命题：
①若c b c a ⋅=⋅，且c ≠0r
，则b a =；
②在△ABC 中，必有=++；
③在=++，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中真命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 6．为了得到函数y ＝sin(2x －π
6)的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )
A ．向左平移π6个单位长度
B ．向右平移π
6个单位长度
C ．向左平移π3个单位长度
D ．向右平移π
3个单位长度
7．cos36cos72(
)=o o
A ．
12
B ．
14
C ．
18
D ．
116
8．函数2tan ()1tan x
f x x
=
-的最小正周期为（ ）
A ．4
π
B ．
2
π
C ．π
D ．2π
9．函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜3π2且x ≠π
2
)的图象是下列图象中的( )
10． 已知O 是△ABC 所在平面上的定点, 动点P 满足(),||||
AB AC
OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r λ∈R , 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 内心
B. 外心
C.重心
D.垂心 11．a,b,e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为
4
π
，向量b 满足217
+602
⋅+
=b e b ，则||-a b 的最小值是( ) A ．2
B ．22
C ．
2
2
D ．31-
12．已知函数)0(21
sin 212sin
)(2
>-+=ωωωx x
x f ，x ∈R . 若)(x f 在区间(,2)ππ内没 有零点，则ω的取值范围是（ ）
A. ]81
,0( B. ]85
,41[]81
,0(Y C. ]85
,0( D. )1,85
[]41
,0(Y
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．sin 750=o .
14．2020年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设
计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大 正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 直角三角形中较大的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 ．
15．已知2
cos 3
β=
，角αβ-的终边在y 轴的非负半轴上，则cos(23)αβ-的值是 . 16．给出命题： ①函数3cos()2
2
y x π
=+
是奇函数；
②若α、β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；
③32sin
2y x =在区间[,]32
ππ
-上的最小值是-2； ④曲线5sin(2)4y x π=+的对称中心是点(,0)28
k ππ
-()k ∈z .
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题10分) 已知函数f (x ))4
4cos(2π
-=x .
(1)求函数f (x )的最大值以及相应的x 的取值集合； (2)若直线x ＝m 是函数f (x )的对称轴，求实数m 的值．
18．(本小题12分) 已知,αβ为锐角，4tan ,cos()3ααβ=+=
(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值.
19．(本小题12分) 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3－ 3.
(1)求f (x )的定义域与最小正周期；
(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上的单调性.
20．(本小题12分) 如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点， 始边与x 轴的非负
半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππ
α∈， 将角α的终边
按逆时针方向旋转3
π
，交单位圆 于点B ，记1122(,),(,)A x y B x y . (1)若11
3
x =
，求2x ； (2)分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ，若122S S =，求角α的值.
21．（本题满分12分）如图所示，在△ABC 中，点M 在边BC 上，且BM MC =u u u u r u u u u r
，点N
在边AC 上，且3AN NC =u u u r u u u r
，AM 与BN 相交于点P .
(1)设||4,||5,BC AM ==u u u r u u u u r
求AB AC ⋅u u u r u u u r 的值；
(2)设CA =u u u r a ，CB =u u u r b , 用a ，b 表示CP u u u r .
22．（本小题12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t ) (0≤θ≤π2).
(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；
(2) 若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →
.
兰州一中2020-2学期期末考试试题
高一数学答案
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟. 选择题使用2B 铅笔填涂，非选择题答案写在答题卡上，交卷时只交答题卷卡.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知A (3,7)，B (5,2)，把向量AB u u u r 按向量a =(1,2)平移后，所得向量A B ''u u u u r
的坐标是（ ）
A. (2, －5)
B. (1, －7)
C. (0, 4)
D. (3, －3) 答案：A
2．已知扇形AOB 的圆心角为120o
，半径长为6，则扇形AOB 的面积是（ ）
A ．．4π C ．12π D ．24π 答案：C
3．已知()1,1a =-r ，()1,0b =r ，()1,2c =-r
，若a r 与mb c -r r 垂直，则m =（ ）
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．3 答案：D
4．已知向量a r ，b r 的夹角为120o
，且2a =r ，5b =r ，则(2)a b a -⋅=r r r （ ）
A ．3
B ．9
C ．12
D ．13 答案：D 5．下列命题：
①若⋅=⋅，且≠0r
，则=； ②在△ABC 中，必有0=++CA BC AB ；
③在=++，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中真命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 答案：B
6．为了得到函数y ＝sin(2x －π
6
)的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )
A ．向左平移π6个单位长度
B ．向右平移π
6个单位长度
C ．向左平移π3个单位长度
D ．向右平移π
3个单位长度
答案：D
7．cos36cos72(
)=o o
A ．
12
B ．
14
C ．
18
D ．
116
答案：B 8．函数2tan ()1tan x
f x x =-的最小正周期为（ ）
A ．
4
π
B ．
2
π
C ．π
D ．2π
答案：C
9．函数y ＝cos x |tan x | (0≤x ＜3π2且x ≠π
2
) 的图象是下列图象中的( )
答案：C
10． 已知O 是△ABC 所在平面上的定点, 动点P 满足(),||||
AB AC
OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r λ∈R , 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 内心
B. 外心
C.重心
D.垂心 答案：A
11．a,b,e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为
4
π
，向量b 满足217
+602
⋅+
=b e b ，则||-a b 的最小值是( ) A ．2 B ．22
C ．
2
2
D ．31-
答案：A
12．已知函数)0(2
1
sin 212sin
)(2
>-+=ωωωx x
x f ，x ∈R . 若)(x f 在区间(,2)ππ内没
有零点，则ω的取值范围是（ ）
A. ]81,0(
B. ]85,41[]81,0(Y
C. ]85,0(
D. )
1,8
5[]41,0(Y
【答案】B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．sin 750=o . 【答案】
12
14．2020年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵 爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方 形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形 的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 ．
答案：7
25
-
15．已知2
cos 3
β=
，角αβ-的终边在y 轴的非负半轴上，则cos(23)αβ-的值是 . 答案：2
3-
16．给出命题： ①函数3cos()2
2
y x π
=+
是奇函数；
②若α、β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；
③32sin
2y x =在区间[,]32
ππ
-上的最小值是-2，最大值是2； ④曲线5sin(2)4y x π=+的对称中心是点(,0)28
k ππ
-()k ∈z .
其中正确命题的序号是 ． 答案：① ④
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题10分) 已知函数f (x ))4
4cos(2π
-=x .
(1)求函数f (x )的最大值以及相应的x 的取值集合； (2)若直线x ＝m 是函数f (x )的对称轴，求实数m 的值．
解：(1)∵f (x ))4
4cos(2π
-=x .
∴f (x )的最大值为2. 此时4x - π
4＝2k π，
则
x 的取值集合为{x |x ＝
2
16
ππ
k +
(k ∈Z )} .............................5分 (2)令4x - π4＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π4＋π
16(k ∈Z )．
∵x ＝m 是函数f (x )的对称轴，
∴m ＝
k π
4
＋
π
16
(k ∈Z )． ...............................................................................10分
18．(本小题12分) 已知,αβ为锐角，45
tan ,cos().3ααβ=+=-
(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值. 解：（1）因为，，所以
．
因为，所以
，
因此，
． ...............................................
................6分 （2）因为为锐角，所以
．
又因为，所以
，
因此． 因为，所以
，
因此，． (12)
分
19．(本小题12分) 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3－ 3.
(1)求f (x )的定义域与最小正周期；
(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上的单调性. 解
：
(1)f (x )
的
定
义
域
为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≠π
2＋k π，k ∈Z . .....................1分
f (x )＝4tan x cos x cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －π3
－3
＝4sin x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3－3
＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12cos x ＋32sin x － 3
＝2sin x cos x ＋23sin 2
x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， (5)
分 所
以
f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝
π. .....................6分
(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π，k ∈Z ，得
－
π
12
＋
k π≤x ≤
5π12
＋k π，
k ∈Z . ...................8分
设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4， B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，
易知A ∩B ＝[,
]124ππ
-
.
所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 时，f (x )在区间[,]124ππ-上单调递增，在区间[,]412
ππ--上
单
调
递
减. .....................12分
20．(本小题12分) 如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，
始边与x 轴的非负
半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈， 将角α的终边 按逆时针方向旋转3π，交单位圆 于点B ，记1122(,),(,)A x y B x y . (1)若113
x =，求2x ； (2)分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面
积为2S ，若122S S =，求角α的值.
解：（1）由三角函数定义得12cos ,cos()3x x π
αα==+. 因为1(,),cos 623
ππαα∈=，所以222sin 1cos αα=-=. 所以
213126cos()cos sin 32x πααα-=+=-=. .....................6分
(2)依题意得12sin ,sin()3
y y παα==+， 所以111111cos sin sin 2224
S x y ααα===， 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343
S x y πππααα==-+⋅+=-+ 依题意得2sin 22sin(2)3παα=-+
整理得cos20α=，因为
62ππα<<，所以23παπ<<， 所以22π
α=，即
4πα=
. .....................1２分
21．（本题满分12分）如图所示，在△ABC 中，点M 在边BC 上，且BM MC =u u u u r u u u u r ，点
N 在边AC 上，且3AN NC =u u u r u u u r ，AM 与BN 相交于点P .
(1)设||4,||5,BC AM ==u u u r u u u u r 求AB AC ⋅u u u r u u u r 的值；
(2)设CA =u u u r a ，CB =u u u r b , 用a ，b 表示CP u u u r .
解：（1）BM MC =u u u u r u u u u r Q ，且||4,BC =u u u r
MC MB ∴=-u u u u r u u u r ，且1|||| 2.2MB BC ==u u u r u u u r .....................２分 ()()AB AC AM MB AM MC ∴⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r
()()AM MB AM MB =+⋅-u u u u r u u u r u u u u r u u u r
22225221.AM MB =-=-=u u u u r u u u r .................
....6分
（2）∵A 、P 、M 三点共线，设AP AM λ=u u u r u u u u r ，
B 、P 、N 三点共线，设BP BN μ=u u u r u u u r ， (8)
分
1=()(1)2
CP CA AP CA AM CA AC CM CA CB λλλλ+=+=++=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r Q ，
1=()(1)4
CP CB BP CB BN CB BC CN CB CA μμμμ+=+=++=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，.............10分 ∴114
λμ-=，112μλ-=，解得47μ=， ∴
4141(1)7477CP CA CB =-+⨯=u u u r u u u r u u u r a 37
+b ． .....................12分
22．（本小题12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t ) (0≤θ≤π2).
(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；
(2) 若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.
解：(1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.
当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，
∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，
－8). ....................................6分
(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，
∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，
t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k .
∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .
由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →
＝(4，8)，
∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)
＝32. .......................................12分。