八十年代以我国人口发展的数学模型和展望

八十年代以来我国人口发展的数学模型和展望1

The mathematical modeling and projection of China population after 1980

物理学院技术物理系99级王彦

摘要

以LESLIE矩阵构建人口的动力学方程，建立了80年以来中国人口的数学模型,并用人口普查的数据验证了该模型的有效性及所含假设的合理性。利用该模型可推算82年至98年的逐年的以岁为单位的年龄构成。通过调整模型中有关参数及输入的条件，定量地分析了“夫妻双方均为独生子女可生两胎”这一政策将在未来15年内对我国人口的影响。

所建模型有很好的移植性，理论上来讲可推测很长一段时期内任一年的年龄结构，并可通过调整参量定量分析一部分人口政策及社会因素对人口发展的影响，可供有关研究及政策制定部门参考。

abstract

Based on the LESLIE Matrix as the dynamic function, we built up the mathematical model of the china population development since the adoption of “Family Planning Policy”. A few assumptions are made and justified by the Census Data. With this model, we could accurately estimate the yearly age distribution pattern of china population from 80 to 98. By modifying the relevant parameters and input, we further alculate the population age distribution in 2015 with and without adoption of “a spouse can have two children if the two parties of the spouse are both the only child in their family”. This model could be used , through adapting its parameters , to calculate and project population development under some different social conditions

社会经济的许多领域的规划都必须考虑人口这一重要因素。而人口普查只能为我们提供某几个时间点的横截面数值，但在现实生活中，人们常常需要其他时

1“政基金”项目和国家自然科学基金委员会杰出青年基金项目资助（No 10025523）

间点的人口总数及其构成。于是一个迫切的任务就是如何用少数的几个时点的信息比较准确的得到较详尽的其他时点的人口数据。同时我们知道，人口与政策密切相关，这一点对于自80年起实施“一对夫妇只生一个孩子”的中国更是如此。为了定量分析政策对它的影响，也需要建立一个现实的，可靠的模型。这两方面的原因促使作者从人口发展的动力学机制出发，建立一个含多方面参量包括政策参量的数学模型。

本文由五部分构成：第一部分介绍人口学中部分专业词汇的定义；第二部分模型的建立和检验。 第三.四部分为该模型的两个应用,针对缺乏相关参量的直接统计数据是两种不同的处理方法。第五部分为总结和讨论。

0.数据定义

这部分介绍本文中出现的人口学名词并加以简单分析。

年龄别生育率：某年的某年龄妇女生的孩子数与该年龄妇女总数之比。 总和生育率：某年各年龄组妇女生育率的合计数。即

总和生育率=各年龄组妇女生育率之和

我们可以把年龄别生育率看作一个妇女在该年龄时平均生的孩子，于是各个不同年龄段的生育率分布可以看成一个妇女处在不同年龄段生育孩子数的分布。 我们把这一分布称为生育模式。而总和生育率等于每个妇女一生中一共生育的孩子数。

出生率：某年的出生人数与该年总人数之比。

年龄别死亡率：某年的某年龄死亡的人数与该年龄总人数之比。

一．模型的建立

（一）. LESLIE 矩阵

首先，我们要找到描述人口变化的方程。目前我国的移民现象很少见，我们可以认为中国人口是一个封闭的系统。定义)(i A n 为第n 年i 岁的人数，)(i d n 为第n 年年龄为i 的人的死亡率，()i b n 为第n 年年龄为i 的妇女生的孩子数与该年龄妇女数的比例，即i 岁的妇女的生育率。则当i ≥1时，)]1(1[)1()(1--*-=+i d i A i A n n n 。我国人口男女比大约1.05，我们在这里忽略这种差别，近似为1，则)()(2/1)0(1i b i A A n n n

n **=∑+。用矩阵来表示上述关系，

得到

n n n n n n n n A i d d d i b b b A ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=+.............

......0...)(1...00..................

0...0...)1(100...0...0)0(1......2/)(...2/)1(2/)0(1 其中，[]T n n n n i A A A A ...)(...)1()0(=

由于80岁以上的老人所占比重很小，且对于人口的增长已经没有影响（他们不可能再生育），在本文的模型中，常常只考虑80岁以下的人的情况。其实，n A 的维度只要大于一定值就可以了，在问题处理过程中是可以变化的。

(二).参量的确定

LESLIE 矩阵本身是普适的人口动力学方程，而不同历史，社会条件下的人口发展模式特点是由其中的参量来描述的，也就是)(i b n 和)(i d n 。它们都是随时间变化的量，是诸多因素共同作用的结果。我们不可能找到这些参量每年的精确数值，因此作一些假设和近似是必要的。

1.生育率i b n (）

如第一部分数据分析中分析的那样,我们把某个时点的妇女的生育年龄分布同时看作一个妇女一生中生育孩子数的分布.于是某个时点的综合生育率等于一个妇女一生中生育的孩子数。考察城市和人口的生育的年龄结构，我们发现两者有很大的不同。

图一98年中国城乡妇女生育率年龄分布

从图中， 我们发现农村妇女的总和生育率明显高于城市妇女， 同时她们的生育高峰也比城市妇女早一些，且计划生育政策及其执行情况也有很大的不同，所以本文中将把这两种情况分开讨论。即

2/])()()()([)0()0()0(111∑∑+=+=+++i

urban n urban n rural n i rural n

urban n rural n n i A i b i A i b A A A 知道了)(i A n ，我们可以用城乡人口比来得到)(i A rural n

和)(i A urban n 。 受到生理条件的限制，生育率关于年龄的相对分布应该是一个变化缓慢的