2019-2020学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(六十三) 绝对值不等式 Word版含解析.doc

课时达标检测（六十三） 绝对值不等式
1．已知函数f (x )＝|x ＋m |－|5－x |(m ∈R )．
(1)当m ＝3时，求不等式f (x )>6的解集；
(2)若不等式f (x )≤10对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．
解：(1)当m ＝3时，f (x )>6，即|x ＋3|－|5－x |>6，不等式的解集是以下三个不等式组解
集的并集.⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥5，x ＋3－(x －5)>6， 解得x ≥5；
或⎩
⎪⎨⎪⎧ －3<x <5，x ＋3＋(x －5)>6，解得4<x <5； 或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤－3，－x －3＋(x －5)>6，解集是∅. 故不等式f (x )>6的解集为{x |x >4}．
(2)f (x )＝|x ＋m |－|5－x |≤|(x ＋m )＋(5－x )|＝|m ＋5|，由题意得|m ＋5|≤10，则－10≤m ＋5≤10，
解得－15≤m ≤5，故m 的取值范围为[－15,5]．
2．(2018·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|.
(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；
(2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．
解：(1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪
⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪a 2－1，
由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，
∴⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4]．
(2)由2x －a ＝0得x ＝a 2，由x －1＝0得x ＝1，由a <2知a 2
<1， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x <a 2，x －a ＋1⎝⎛⎭⎫a 2≤x ≤1，3x －a －1(x >1).
函数的图象如图所示．
∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 2＋1＝3，
解得a ＝－4.
3．(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|.
(1)解不等式f (x )>4；
(2)若∀x ∈⎝
⎛⎭⎫－∞，－32，不等式a ＋1<f (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，
f (x )>4，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧ －32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧
x >1，3x ＋2>4， 解得x <－2或0<x ≤1或x >1.
∴不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知，当x <－32
时，f (x )＝－3x －2， ∵当x <－32时，f (x )＝－3x －2>52
， ∴a ＋1≤52，即a ≤32
. ∴实数a 的取值范围为⎝
⎛⎦⎤－∞，32. 4．(2018·长春模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.
(1)解不等式f (x )>1；
(2)当x >0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1x
(a >0)的最小值大于函数f (x )，试求实数a 的取值范围．
解：(1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，解集是∅.
当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，即－1≤x <0；
当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，即x <－1.
综上，原不等式的解集是{x |x <0}．
(2)因为g (x )＝ax ＋1x －1≥2a －1，
当且仅当x ＝a a 时等号成立，
所以g (x )min ＝2a －1，
当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－2x ，0<x ≤2，－3，x >2， 所以f (x )∈[－3,1)，所以2a －1≥1，即a ≥1，
故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．
5．(2018·湖北四校联考)已知函数f (x )＝e |x
＋a |－|x －b |，a ，b ∈R. (1)当a ＝b ＝1时，解不等式f (x )≥e ；
(2)若f (x )≤e 2恒成立，求a ＋b 的取值范围．
解：(1)当a ＝b ＝1时，f (x )＝e |x
＋1|－|x －1|，由于y ＝e x 在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥e 等价于|x ＋1|－|x －1|≥1，①
当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝x ＋1－(x －1)＝2，则①式恒成立；
当－1<x <1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ，①式化为2x ≥1，此时12
≤x <1； 当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解．
综上，不等式的解集是⎣⎡⎭
⎫12，＋∞. (2)f (x )≤e 2等价于|x ＋a |－|x －b |≤2，②
因为|x ＋a |－|x －b |≤|x ＋a －x ＋b |＝|a ＋b |，
所以要使②式恒成立，只需|a ＋b |≤2，
可得a ＋b 的取值范围是[－2,2]．
6．(2018·湖北枣阳一中模拟)已知f (x )＝|x －1|＋|x ＋a |，g (a )＝a 2－a －2.
(1)当a ＝3时，解关于x 的不等式f (x )>g (a )＋2；
(2)当x ∈[－a,1)时恒有f (x )≤g (a )，求实数a 的取值范围．
解：(1)a ＝3时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2，x ≤－3，4，－3<x <1，
2x ＋2，x ≥1，
g (3)＝4. ∴f (x )>g (a )＋2化为|x －1|＋|x ＋3|>6，
即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2>6，x ≤－3，或⎩⎪⎨⎪⎧ 4>6，－3<x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2>6，x ≥1， 解得x <－4或x >2.
∴所求不等式解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
(2)∵x ∈[－a,1)．∴f (x )＝1＋a .
∴f (x )≤g (a )即为1＋a ≤a 2－a －2，可化为a 2－2a －3≥0，解得a ≥3或a ≤－1. 又∵－a <1，∴a >－1.
综上，实数a 的取值范围为[3，＋∞)．
7．(2018·安徽蚌埠模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.
(1)解不等式|g (x )|<5；
(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．
解：(1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，∴－7<|x －1|<3，解得－2<x <4，∴原不等式的解集为{x |－2<x <4}．
(2)∵对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，
∴{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．
又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，
g (x )＝|x －1|＋2≥2，∴|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，
∴实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．
8．已知函数f (x )＝|3x ＋2|.
(1)解不等式f (x )<4－|x －1|；
(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．
解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4.
当x <－23
时，即－3x －2－x ＋1<4， 解得－54<x <－23
； 当－23
≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4， 解得－23≤x <12
； 当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．
综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－54<x <12. (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4，
当且仅当m ＝n ＝12
时等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝
⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .
∴x ＝－23时，g (x )max ＝23
＋a ，要使不等式恒成立， 只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103
.
所以实数a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤0，103.。