2020年浙江省湖州市雷甸中学高三数学理模拟试卷含解析

2020年浙江省湖州市雷甸中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 为等差数列，为其前项和，已知则
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，3)内是增函数的是
A.y=
B. y=cosx
C.y=
D.y=x＋x－1
参考答案：
A
故函数为偶函数，
故函数在（0,3）为增函数，故A正确；y=cosx 和y=x＋x－1奇函数，故B，D错；y=为偶函数，但是在(0，3)内是减函数.
3. 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
4. 函数的图象关于（）
A.坐标原点对称
B.直线对称
C.轴对称
D.直线
对称
参考答案：试题分析：因为
所以是偶函数
故答案选
考点：函数的奇偶性
5. 将函数y=的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是
（）
（A）y=（B）y=（C）y=1+（D）y=
参考答案：
D
6. 已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
7. 若集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，5，7}，B={1，3，5，6，7}，则集合?U（A∩B）是( )
A．{2，4，6} B．{1，3，5，7} C．{2，4} D．{2，5，6}
参考答案：
A
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先根据交集的定义求出A∩B；再结合补集概念即可得到结论．
【解答】解：因为A={1，3，5，7，}，B={1，3，5，6，7}，
∴A∩B={1，3，5，7}．
∵U={1，2，3，4，5，6，7}；
∴C U （A∩B）={2，4，6}． 故选：A ．
【点评】本题主要考察集合的交，并，补混合运算，是对基础知识的考察，在高考中出现在前三题得位置里．
8. 已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(2m ＋n )//(m －2n )，则λ＝ A.－1 B.0 C.1 D.2
参考答案：
B
9. 设，函数，若，则等于 ( )
参考答案： C
10. 在映射
中，，且，则与中的元素
对应的
中的元素为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知
的展开式中的常数项为
，
是以
为周期的偶函数，且当
时，
，若在区间
内，函数
有4个零点，则实数的取值范围
是
．
参考答案：
略
12. 某校选修篮球课程的学生中，高一学生由30名，高二学生由40
名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为n 的样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中抽取
人。

参考答案：
13. 已知集合
，集合
，且
，则实数x = .
参考答案：
因为，则
，
14. 若关于的方程
有解，则
的取值范围是 ．
参考答案：
15. 已知0<m<1，a 是方程的根，则= ．
参考答案：
1
16. 已知是虚数单位，复数满足，则______．
参考答案：
17. 复数 满足，则 = _________
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）每进行一次游戏，赢的话可领取1000元，输的话则要罚300元.在这种游戏中某人赢的概率是，输的概率是，如果这个人连续8次进行这种游戏.
（1）在这8次游戏中，求赢了多少次才能保证在扣除罚款后至少可得6000元；
（2）试求在这8次游戏中，扣除罚款后至少可得到6000元的概率.
参考答案：
解析：（1）设在8次游戏中赢了x次，则输了次
依题意
故
因此在这8次游戏中赢7次或8次，才能得证在扣除罚款后至少可得6000元.
………………………………………………………………………………（6分）（2）在8次游戏中，至少要赢7次，才能使扣除罚款后至少可得到6000元，必须在8次游戏中赢7，8次
由于这两个事件互不相容，因此所求的概率
…………………………………………（12分）
19. 在梯形中，，，，，如图把沿
翻折，使得平面平面.
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）若点为线段中点,求点到平面的距离．
参考答案：
（Ⅰ）证明:因为,，,,
所以,
,
,所以.
因为平面平面,平面平面,
所以平面．………… 6分
(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知.
以点为原点，所在的直线为轴,
所在直线为轴，
如图建立空间直角坐标系.
则,,,,．
所以,,．
设平面的法向量为,则且,
所以令,得平面的一个法向量为
所以点到平面的距离为．………………12分
20. 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标项点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标系方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）先求出曲线C1的直角坐标方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出到C1的极坐标方程．
（2）将ρ=﹣2sinθ代入ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0，得sin（2θ﹣）=，由此能求出C1与C2交点的极坐标．
【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数），
∴曲线C1的直角坐标方程为（x+4）2+（y+5）2=25，
∴x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴（ρcosθ+4）2+（ρsinθ+5）2=25，
化简，得到C1的极坐标方程为：ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0．
（2）将ρ=﹣2sinθ代入ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0，
化简，得：sin2θ+sinθcosθ﹣1=0，
整理，得sin（2θ﹣）=，
∴2θ﹣=2kπ+或=2kπ+，k∈Z，
由ρ≥0，0≤θ＜2π，得或，
代入ρ=﹣2sinθ，得或，
∴C1与C2交点的极坐标为（，）或（2，）．
21. （本小题满分14分）
已知函数（a∈R）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围；
（3）已知当x>-1,n≥1时，，求证：当n∈N*，x2<n时，不等式
成立．
参考答案：
(1)解：1分
当a≤0时，，则在上单调递增2分
当a > 0时，在上单调递减，在上单调递增．4分(2)解：由，得5分
考查函数(x∈[1，2])，则6分
令，
当1≤x≤2时，，∴在[1，2]上单调递增7分
∴, ，∴在[1，2]上单调递增
∴在[1，2]上的最小值为，最大值为8分
∴当时，函数在[1，2]上有且仅有一个零点9分
(3)解：10分
由(1)知，则11分
∵，且n∈N*，∴，∴ 12分
又∵，∴13分
14分
22. 已知平面直角坐标系xOy中，过点的直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N.
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若，求实数a的值.
参考答案：
（1）∵（为参数），
∴直线的普通方程为. ……………2分
∵，∴，
由得曲线的直角坐标方程为.……………4分
（2）∵，∴，
设直线上的点对应的参数分别是，
则，
∵，∴，∴，……………6分
将，代入，得，∴，……………8分又∵，∴. ……………10分。