2018届江西省南昌市第二中学高三上学期第五次月考数学(文)试题

2018届江西省南昌市第二中学高三上学期第五次月考
数学（文）试题
一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
1．已知U R =，{0},{1}A x x B x x =>=≤-，则()()U U A C B B C A = （ ） A ．∅ B ．{0}x x ≤ C ．{1}x x >-
D ．{01}x x x >≤-或
2．已知为实数，为虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. D.
3．如图，'''O A B ∆是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的面积是( )
A ．12
B ．
C ．6
D ．
4．在一次对“学生的数学成绩与物理成绩是否有关”的独立性检验的试验中，由22⨯列联表算得2
K 的观测值7.813k ≈，参照附表：
判断在此次试验中，下列结论正确的是（ ） A. 有99.9%以上的把握认为“数学成绩与物理成绩有关” B. “数学成绩与物理成绩有关” 的概率为99%
C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”
5. 已知抛物线2
4y x =，过定点P （1，0））的直线L 与抛物线交于A,B 两点则使4=AB 的直线L 的条数( )
A. 0
B.1
C. 2
D. 以上都有可能
6．曲线1
2-=
x x
y 在点)4,2(P 处的切线与直线l 平行且距离为52，则直线l 的方程为（ ） A ．022=++y x B ．022=++y x 或0182=-+y x C ．0182=--y x D ．022=+-y x 或0182=--y x 7．已知数列{}n a 是等比数列，若a 2a 5a 8=8，则
151959
149
a a a a a a ++
（ ） A ．有最大值
12 B ．有最小值12
C ．有最大值5
2
D ．有最小值
52
8.设平面向
量
、
满足
|
|=2、
|
|=1
，
，点
P
满
足
，则点P 所表示的轨迹长度为（ ）
A.
B.
C.
D.
9．已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图 所示，则该几何体的体积为（ ） A. 8 B. 7
C. 23
3 D. 223
10．已知双曲线
=1（a ＞0，b ＞0）上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦
点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）
A. [，2+]
B. [，]
C. [，]
D. [
，
+1]
11．已知四面体ABCD 的一条棱长为a
，其余棱长均为，且所有顶点都在表面积为20π 的球面上，则a 的值等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3 12．已知函数{}
()min 2f x =-，其中{},min ,,a a b
a b b a b
≤⎧=⎨
>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的
图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的最大值为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13．数列{}n a 中11a =,2112a =
+,31123a =++,411234a =+++，⋅⋅⋅1123....n
n a =++++…，则数列{}n a 的前n 项的和n s =_______.
14. 已知x 的取值范围为[0，10]，给出如图所示程序框图，输入一个数
x ．则输出的x （6＜x≤8）的概率为_______．
15．观察式子：2222221311511171, 1+, 1+,222332344
+
<+<++<…， 可归纳出第n 个式子为___________________.
16.以下结论：
①命题p ：“∃x ∈（0，
），使sin x+cos x=”，命题q ：“在△ABC 中，“A>B ””是“sinA>sinB ”
的充要条件，那么命题￢p ∧q 为真命题．
②数列{a n }的前n 项和为n S ，对任意正整数n ， 13n n a S +=，则{}n a 一定是等比数列;
③椭圆C 的方程为()22
122210,,x y a b F F a b
+=>>为其左、右焦点，e 为离心率，P 为椭圆上一动点，则
当0e <<
12PF F ∆为直角三角形的点P 有且只有4个；
④设()f x =，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()g f x f x K
f x K f x K
≥⎧=⎨
<⎩，若对于函数
()f x =x ，恒有()()g f x f x =，则K 有最小值且最小值为1
其中真命题的是______.(请将序号填在横线上）
三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，点(,)a b 在直线
(sin sin )sin sin x A B y B c C -+=上．
（1）求角C 的值；
（2）若2
22cos 2sin 22A B -=
，且A B <，求c a ．
18．博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织
者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次APEC 知识竞赛，将所得成绩制成如右频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．
（1）试求受奖励的分数线；
（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上的概率．
19．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形， 1A A ⊥平面ABCD ， 60BAD ∠=︒，
12,1,AB BC AA ===， E 为11A B 中点.
（1）求证：平面1A BD ⊥平面1A AD ；
（2）求多面体1A E ABCD -的体积.
20．如图，点F 是椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左焦点，点A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，椭
圆的离心率为
2
1
，点C 在x 轴上，且BC BF ⊥，过点A 作斜率为(0)k k >的直线l 与由三点B ,F ，C 确定的圆M 相交于D ，E 两点，满足22
1
a ME MD -=⋅．
（1）若BOF ∆
（2）直线l 的斜率是否为定值？若是，请求出；若不是，请说明理由.
21．己知函数h (x )是函数y =ln x 的反函数， ()f x ）
x （1
x h +=
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()()()()x
g x xf x tf x e t R -'=++∈，是否存在实数a 、b 、c ∈[0，1]，使得
()()()?g a g b g c +<若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，直线的参数方程为
（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴
为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
．
（Ⅰ）若曲线C 关于直线l 对称，求a 的值； （Ⅱ）若A,B 为曲线上两点，且，求的最大值．
23．选修4-5：不等式选讲
（I ）已知非零常数a 、b 满足11
a b a b
+=
+，求不等式|21|x ab -+≥的解集； （Ⅱ）若[1,2]x ∀∈，1||≤--m x x 恒成立，求常数m 的取值范围．
南昌二中2017～2018学年度上学期第五次考试
高三数学（文）试卷参考答案
DDACBB DDBBCD
21n n +
11
2)
1(151********
2222++<+++++++
n n n ①③ 1.【答案】D 【解析】因为U R =，{0},{1}
A x x
B x x =>=≤-,
所以
{}0U C A x x =≤,
{}1U C B x x =>-,
()()U U A C B B C A = {}
01x x x >≤-或，故答案为D ．
2.【答案】D 【解析】由题设复
数是实数，
即
且
时，所
以
，
则
，应选答案D.
3.【答案】A 【解析】根据斜二测画法知OAB ∆为直角三角形，底面边长6OA =，高
2''224OB O B ==⨯=，故OAB ∆的面积是1
64122
S =
⨯⨯=. 4.【答案】C 【解析】结合独立性检验的知识点知，本题在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”。

故选C 。

5.【答案】B 【解析】因为抛物线的通径=4
6.【答案】B 【解析】由题意得，22
2(1)22
(1)(1)x x y x x --'=
=
--，令2x =，则2y '=-，即切线的斜率为2k =-，即直线l 的斜率为2k =-，设直线l 方程为20x y b ++=，由点到直线的距离公式可
得
d ，解得2b =或18b =-，所以直线l 的方程为022=++y x 或0182=-+y x ，
故选B ．
7.【答案】D.【解析】由等比数列的性质可知，25=a ，
2
5
86218
921891291291219
4
1
9
191
9191919
59
15
1=⨯+
=+
≥++=++=++=
+
+
a a a a a a a a a a a a a a a a
当且仅当
911559199a a a a a a =⇒=时，等号成立，即151959
149
a a a a a a ++
有最小值52，故选D.
8.【答案】D
【解析】由题意得，，所以，分别以
为轴，建立如图所示的平面
直角坐标系，则：
，则，
，设，则，
所以，所以，所以点的轨迹表示以原点为圆心，半径
为的圆在第一象限的部分，点所表示的轨迹长度为，故选D ．
9.【答案】B 【解析】截去的两个三棱锥的高为2，底分别为腰为1的等腰直角三角形以及直角边为1和2的直角三角形，所以几何体的体积为321111
22121273232
-⨯⨯
⨯-⨯⨯⨯⨯=，选B. 10.【答案】B 【解析】利用S △ABF =2S △AOF ，先求出e 2=
，再根据α∈[
，
]，即可求出双曲
线离心率的取值范围．解：设左焦点为F'，令|AF|=r 1，|AF'|=r 2，则|BF|=|F'A|=r 2，∴r 2﹣r 1=2a ， ∵点A 关于原点O 的对称点为B ，AF ⊥BF ，∴|OA|=|OB|=|OF|=c ，∴r 22+r 12═4c 2，∴r 1r 2=2（c 2﹣a 2）
∵S △ABF =2S △AOF
，∴r 1r 2═2•c 2sin2α，∴r 1r 2═2c 2s in2α∴c 2sin2α=c 2﹣a 2∴e 2=
，
∵α∈[，]，∴sin2α∈[，
]，∴e 2=
∈[2，（
+1）2]∴e ∈[
，+1]．故选：B ．
11.【答案】C 【解析】截面法
12【答案】D 【解析】作出函数()x f 的图象所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-==2
2x y x
y ，得()()()20222
2≤≤=-x x
x ，
得324-=x ，因此，()
232,324--A ，由图知，m y =与()x f y =图象有三个交点， 则2320-<<m
不妨设32120x x x <<<<，则由m x =12，得
421m x = 由m x x =-=-2222，得m x -=22，02>-m 由
m
x x =-=-2233，得
23+=m x ，02>+m
()()()
124414412242
22222
321=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+≤-=+⋅-⋅=⋅⋅∴m m m m m m m x x x ，当且仅当2
24m m -=，即
2=m 时取到等号，故答案为D.
13【答案】21n n +【解析】由()12112123....n 11n a n n n n ⎛⎫===- ⎪
++++++⎝⎭，数列{}n a 的前n 项的和
1111
12212222311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=
⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
14.【答案】．【解析】
解析：当x≤7时，输出x+1，此时输出的结果满足6＜x+1≤8解得5＜x≤7；
当x ＞7时，输出x ﹣1，此时输出的结果满足6＜x ﹣1≤8解得7＜x≤9；综上，输出的x 的范围中5＜x≤9． 则使得输出的x 满足6＜x≤8的概率为P==．
15.【答案】11
2)
1(151********
2222++<+++++++
n n n 16.【答案】①③【解析】 对于①、因为
，当x ∈（0，
）时，，此时
，所以命题p 为假命题．
在△ABC 中，根据大边对大角关系及正弦定理可得命题q 为真，所以￢p 为真，所以命题￢p ∧q 为真命题，所以①是真命题；
②、∵a n +1=3S n ，∴S n +1−S n =3S n ，∴S n +1=4S n ， 若S 1=0，则数列{a n }为等差数列；
若S1≠0，则数列{Sn}为首项为S1，公比为4的等比数列，∴Sn=S1⋅4n−1， 此时an=Sn−Sn−1=3S1⋅4n−2 (n ⩾2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列。

综上，数列{an}可能为等差数列，但不会为等比数列。

②是假命题；
③
、如图所示，0,,e b c <<
>当有122
F BF π∠<这时， 若
12PF F ∆为直角三角形时，只能是12PF F ∠和21PF F ∠
为直角时成立，所以这样的直角三角形，只有四个 ③是真命题；
④、令
4522+
+-=x x t ，可得23
0≤
≤t ，所以2221≤≤t
，即()f x =1，因为
(),()(),()g f x f x K
f x K f x K ≥⎧=⎨
<⎩，()()g f x f x =，所以对任意的x 恒有K x f ≥)(，即K 的最大值为1，④是假
命题.
17【答案】（1）C =3π；（2
）c
a =
（1）由题得
()sin sin sin sin a A B b B c C
-+=，
由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得()2
2a a b b c -+=，即
2
22a b c ab +-=. 由余弦定理得
2221
cos 22a b c C ab +-==
， 结合0C π<<,得
3C π
=
.
（2）因为
2
22cos 2sin cos cos 22A B
A B -=+
2cos cos(
)3A A π
=+-
1cos sin()26A A A π=
+=+= 因为
23A B π+=
，且A B <所以0,366263A A A ππππππ
<<∴<+<∴+=
所以，
,,,6
2
3
c
A B C a π
π
π
=
=
=
∴=.
18.【答案】（1）86．（2）
3
10P =
试题解析：（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在90100 分的人数为0.0121010012⨯⨯=，竞赛成绩在8090 的人数为0.021010020⨯⨯=，故受奖励分数线在8090 之间，设受奖励分数线为x ，则
()900.020.012100.20x -⨯+⨯=，解得86x =，故受奖励分数线为86．
（2）由（1）知，受奖励的20人中，分数在8690 的人数为8，分数在90100 的人数为12，利用分层抽样，可知分数在 8690 的抽取2人，分数在90100 的抽取3人，设分数在8690 的2人分别为
12,A A ，分数在90100 的3人分别为123,,B B B ，所有的可能情况有()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 满足条件的情况有()()()121323,,,,,B B B B B B ，所求的概率为
310P = 19.【答案】（1）见解析（2
试题解析：
（1）在ABD ∆中， 60,2,1BAD AB BC ∠=︒==，
由余弦定理得BD =
.∴222BD AD AB +=.
∴BD AD ⊥.
∵1A A ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，
∴1A A BD ⊥. 1A A AD A ⋂=，∴BD ⊥平面1A AD .
BD ⊂平面1A BD .∴平面1A BD ⊥平面1A AD .
（2）设,AB CD 的中点分别为,F G ，连接,,,EF FG GE BD FG H ⋂=，
∵,,E F G 分别为1,,A A AB CD 的中点，
∴多面体1EFG A AD -为三棱柱.
∵BD ⊥平面1A AD ，∴DH 为三棱柱的高
.
1111,22A AD S AD A A DH BD ∆==== 三棱柱1EFG A AD -
体积为1A AD S HD ∆⋅==.
在四棱锥E BCGF -中， 1//EF A A . ∴EF ⊥
底面1,BCGF EF A A ==
1121sin6022BCGF ABCD S S ==⨯⨯⨯︒= 四棱锥E BCGF -
的体积为1133BCGF S EF ⋅==， ∴多面体1A E ABCD -
+=. 20【答案】（1）22186x y +=（2
）k = 试题分析：解：（1）由已知可得12c a =，
12
cb =， 2分又222a b c =+， 解得222
2,6,8c b a ===. 3分 所求椭圆方程为22
186x y +=. （2）由12c a =
得b =，则
(,0),)F c B - 因BC BF ⊥ 则1-=⋅BF BC k k (斜率显然存在且不为零） 而
FB k ==设 (,0)C t ，
则BC k == 得 c t 3=，所以
)0,3(c C 则圆心M 的坐标为(,0)M c ，半径为2r c =
据题意 直线l 的方程可设为 (2)y k x c =+，即20kx y ck -+=
由 221a ME MD -=⋅ 得 2122cos 2c c DME a ⨯⨯∠=- 即 2122cos (2)2c c DME c ⨯⨯∠=-，得1cos 2DME ∠=-，而0DME π≤∠≤所以 23DME π∠=
在等腰三角形MED 中 由垂径定理可得点M 到直线l 的距离为c .
则
c
解得 k = 而0k > 故
直线l 的斜率k =（定值） 21.【答案】（1）单调增区间为(,0)-∞，单调减区间为(0,)+∞；（2）存在(,32)(3,)2e t e ∈-∞--+∞U .
解：（1）'()x x f x e -=
，当0x ≥时，'()0f x ≤，()f x 在区间(0,)+∞上为减函数.
当0x <时，'()0f x >，()f x 在区间(,0)-∞上为增函数.
()f x ∴的单调增区间为(,0)-∞，()f x 的单调减区间为(0,)+∞ ……3分
（2）假设存在[0,1]a b c ∈、、，使得()()()g a g b g c +<，
则min max 2(())(())g x g x <. ……5分
2(1)1()x x t x g x e +-+=Q ，()(1)'()x x t x g x e ---∴= ……6分
①当1t ≥时，'()0g x ≤，()g x 在[0,1]上单调递减，
2(1)(0)g g ∴<，即321t e -<g ，得312e t >->. ……7分
②当0t ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,1]上单调递增，
2(0)(1)g g ∴<，即32t e -<，得320t e <-<. ……8分
③当01t <<时，在[0,)x t ∈上，'()0g x <，()g x 在[0,)t 上单调递减，在(,1]x t ∈上，'()0g x >，()g x 在(,1]t 上单调递增，2()max{(0),(1)}g t g g ∴< ……9分 即132max{1,}t t t e e +-⨯
<.（*） 由（1）知1()t t f t e +=在[0,1]t ∈上单调递减， 故
142t t e e +⨯≥，而33t e e -<，不等式（*）无解. ……11分 综上所述，存在(,32)(3,)2e t e ∈-∞--+∞U ，使得命题成立. ……12分
22【答案】(Ⅰ)0；(Ⅱ).
试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为
（为参数），消去参数得直线普通方程为
．
由，得曲线的直角坐标方程为， 即， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以
．
（Ⅱ）由点在圆上，且，不妨设，
则， 当，即时取等号，所以的最大值为． 23．（Ⅰ）11a b a b a b ab ++=+=，∴()(1)0a b ab ab
+-=， ∴0a b =-≠，或1ab =， 当0a b =-≠时，2|21|x a -+≥-，x R ∈，
当1ab =时，|21|1x -+≥，
∴211x -≤-，或211x -≥，∴0x ≤或1x ≥，
综上，当0a b =-≠时，原不等式的解集为R ；
当1ab =时，原不等式的解集为(,0][1,)-∞+∞ ．
（Ⅱ）由1||≤--m x x ，得||1m x x -≥-，
∴1m x x -≥-或(1)m x x -≤--，
∴21m x ≥-或1m ≤，
∵[1,2]x ∈，21[1,3]x -∈，
若[1,2]x ∀∈，1||≤--m x x 恒成立，
∴3m ≥，或1m ≤．。