2020年九年级数学中考三轮冲刺复习：《三角形综合训练》

三轮冲刺复习：《三角形综合训练》
1．（1）问题发现
如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若∠ADE＝60°，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是．
（2）拓展探究
如图2，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，点D，E分别在边BC，AC上．若∠ADE ＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）解决问题
如图3，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A →B方向勾速运动，同时点M从点B出发，以cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作∠PMG＝30°，该角的另一边交射线CA于点G，连接PC．设运动时间为t（s），当△APG为等腰三角形时，直接写出t的值．
解：（1）问题发现
AB，CE，BD，DC之间的数量关系是：，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∠ADE＝60°，
∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴．
故答案为：．
（2）拓展探究
（1）中的结论成立，
∵AB＝AC，∠B＝α，
∴∠B＝∠C＝α，
∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，
∵∠ADE＝α，
∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴；
（3）解决问题
∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BPM+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，
∵∠PMG＝30°，
∴∠CMG+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，
∴∠BPM＝∠CMG，
又∠B＝∠C＝30°，
∴△PBM∽△MCG，
∴，
由题意可知AP＝t，BM＝t，即BP＝4﹣t，如图1，过点A作AH⊥BC于H，
∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，
∴AH＝2cm，BH＝＝＝2cm，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BC＝2BH＝4cm，
∴MC＝（4t）cm，
∴，即CG＝3t，
当G点在线段AC上时，若△APG为等腰三角形时，则AP＝AG，如图2，
此时AG＝AC﹣CG＝4﹣3t，
∴4﹣3t＝t，
解得：t＝1，
当G点在CA延长线上时，若△APG为等腰三角形时，如图3，
此时∠PAG＝180°﹣120°＝60°，则△APG为等边三角形，AP＝AG，此时AG＝CG﹣AC＝3t﹣4，
∴3t﹣4＝t，
解得：t＝2，
∴当△APG为等腰三角形时，t的值为1或2．
2．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．如图①，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．[定义应用]
（1）已知△ABC是倍角三角形，∠A＝60°．则这个三角形其余两个内角的度数分别为40°、80°或30°、90°．
[性质探究]
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长分别为a，b，c．若∠A＝2∠B，且∠A ＝60°，如图②，易得到a2＝b（b+c）．那么在任意的△ABC中，满足∠A＝2∠B，如图
③，关系式a2＝b（b+c）是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
[拓展应用]
（3）若一等腰三角形恰好是一个倍角三角形，求它的腰与底边之比．
解：（1）∵△ABC是倍角三角形，∠A＝60°．
∴∠B+∠C＝120°，
如果∠A是∠C的2倍，则∠C＝30°，∠B＝90°，
如果∠B是∠C的2倍，即∠B＝2∠C，
∴2∠C+∠C＝120°，
∴∠C＝40°，
∴∠B＝80°，
∴这个三角形其余两个角的度数分别为40°、80°或30°、90°
故答案为：40°、80°或30°、90°．
（2）对于任意的倍角△ABC，∠A＝2∠B，关系式a2＝b（b+c）仍然成立，
如图2，延长BA至D，使AD＝AC＝b，连结CD，
则∠CAB＝2∠D，
∴∠B＝∠D，BC＝CD＝a，
∴△ADC∽△CDB
∴，
即．
∴a2＝b（b+c）．
（3）∵等腰三角形恰好是一个倍角三角形，∴分两种情况考虑，
如图2，AB＝AC，∠A＝2∠B，
由（2）的结论可知：a2＝b（b+c），b＝c，∴a2＝2b2，
∴，
如图3，若AB＝BC，∠A＝2∠B，
由（2）知a2＝b（b+c），a＝c，
∴a2＝b（b+a），
解得：（负值舍去）．
∴．
综合可得，等腰三角形恰好是一个倍角三角形时，它的腰与底边之比为或．
3．如图，已知平面直角坐标系中，点A（a，0）、B（0，b），a、b满足﹣+＝0．
（1）求△AOB的面积；
（2）将线段AB经过水平、竖直方向平移后得到线段A′B′，已知直线A′B′经过点C （4，0），A′的横坐标为5．
①求线段AB平移过程中扫过的面积；
②请说明线段AB的平移方式，并说明理由；
③线段A′B'上一点P（m，n），直接写出m、n之间的数量关系：2m﹣n＝8 ．
解：（1）∵﹣+＝0．
∴，
∴b＝4，
∴a＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴S
＝×2×4＝4；
△AOB
（2）①如图1，连接A'B，CB，作A'D⊥x轴于点D，作B'E⊥x轴于点E，
∵AB ∥A 'B '，
∴S △A 'BA ＝S △ABC ＝×4×（4+2）＝12，
又∵S △A 'BA ＝S △ABO +S 梯形A 'BOD ﹣S △AA 'D ，
∴12＝4+（A 'D +4）×5﹣（5+2）×A 'D ，
∴A 'D ＝2，
∴A '（5，2），
∵B （0，4），A （﹣2，0），AB 平移后得到线段A ′B ′，
∴B '（7，6），
∵S 四边形ABB 'E ＝S △AOB +S 梯形B 'BOE ＝
×（4+6）×7＝4+35＝39．
∴S 四边形AA 'B 'B ＝S 四边形ABB 'E ﹣S △AA 'C ﹣S △CB 'E
＝39﹣
×3×6， ＝24．
即线段AB 平移过程中扫过的面积为24．
②∵A ′（5，2）经A （﹣2，0）平移得到，
∴线段AB 向右平移7个单位，再向上平移2个单位得到线段A ′B ′．
③2m ﹣n ＝8．
如图2，过B '作B 'F ⊥x 轴于点F ，连接PF ，
∵C（4，0），B'（7，6），P（m，n），
∴S
△B'CF
＝×3×6＝9，
∵S
△B'CF ＝S
△PCF
+S
△B'PF
＝×6×（7﹣m），
∴×6×（7﹣m）＝9，
∴2m﹣n＝8．
4．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，0），C（2，7），连接AC，交y轴于D，且a＝，（）2＝5．
（1）求点D的坐标．
（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）如图3，若Q（m，n）是x轴上方一点，且△QBC的面积为20，试说明：7m+3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由．
解：（1）∵a＝，（）2＝5，
∴a＝﹣5，b＝5，
∵A（a，0），B（b，0），∴A（﹣5，0），B（5，0），∴OA＝OB＝5．
如图1，连接OC，设OD＝x，
∵C（2，7），
∴S
△AOC
＝×5×7＝17.5，
∵S
△AOC ＝S
△AOD
+S
△COD
，
∴5x•＝17.5，
∴x＝5，
∴点D的坐标为（0，5）；
（2）如图2，
∵A（﹣5，0），B（5，0），C（2，7），
∴S
△ABC
＝×（5+5）×7＝35，
∵点P在y轴上，
∴设点P的坐标为（0，y），
∵S
△ACP ＝S
△ADP
+S
△CDP
，D（0，5），
∴5×|5﹣y|×+2×|5﹣y|×＝35，解得：y＝﹣5或15，
∴点P的坐标为（0，﹣5）或（0，15）；
（3）7m+3n是定值．
∵点Q在x轴的上方，
∴分两种情况考虑，
如图3，当点Q在直线BC的左侧时，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，
∵S
△QBC ＝S
△QHC
+S
△HBC
﹣S
△QHB
，且S
△QBC
＝20，
∴＝20，
∴7m+3n＝﹣5．
如图4，当点Q在直线BC的右侧时，
过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，
∵S
△QBC ＝S
△QHC
+S
△HBC
﹣S
△QHB
，且S
△QBC
＝20，
∴＝20，
∴7m+3n＝75，
综上所述，7m+3n的值为﹣5或75．
5．如图1，已知面积为12的长方形ABCD，一边AB在数轴上．点A表示的数为﹣2，点B 表示的数为1，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P运动时间为t（t＞0）秒．
（1）长方形的边AD长为 4 单位长度；
（2）当三角形ADP面积为3时，求P点在数轴上表示的数是多少；
（3）如图2，若动点Q 以每秒3个单位长度的速度，从点A 沿数轴向右匀速运动，与P 点出发时间相同．那么当三角形BDQ ，三角形BPC 两者面积之差为时，直接写出运动时间t 的值．
解：（1）∵点A 表示的数为﹣2，点B 表示的数为1，
∴AB ＝3，
∵长方形ABCD 的面积为12，
∴CD ＝4，
故答案为4；
（2）∵S △ADP ＝＝AP ×4＝3，
∴AP ＝1.5，
点P 在点A 之左时，﹣2﹣1.5＝﹣3.5，P 点在数轴上表示﹣3.5；
点P 在点A 之右时，1.5﹣2＝﹣0.5，P 点在数轴上表示﹣0.5；
（3）①当Q 在B 点的左侧，且S △BDQ ﹣S △BPC ＝时，则（3﹣3t ）×4﹣t ×4＝， 解得t ＝； ②当Q 在B 点的左侧，S △BPC ﹣S △BDQ ＝时，则t ×4﹣（3﹣3t ）×4＝，
解得t ＝；
③当Q 在B 点的右侧，且S △BDQ ﹣S △BPC ＝时，则（3t ﹣3）×4﹣t ×4＝， 解得t ＝；
④当Q 在B 点的右侧侧，S △BPC ﹣S △BDQ ＝时，则t ×4﹣（3t ﹣3）×4＝， 解得t ＝．
6．如图，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，点A在CB的延长线上，且BA＝BC，点E 在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
（1）试求证图（1）中：∠BAE＝∠DEF；
（2）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE＝EF；
（3）当点E在直线BD上移动时，在图（2）与图（3）中，分别猜想线段AE与EF有怎样的数量关系，并就图（3）的猜想结果说明理由．
（1）证明：∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，点A在CB的延长线上，
∴∠ABD＝90°，
∴∠AEB+∠A＝90°，
∵EF⊥EA，
∴∠AEB+∠FED＝90°，
∴∠BAE＝∠DEF；
（2）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH＝BE．
∵BC＝AB＝BD，BE＝BH，
∴AH＝ED，
∵∠AEF＝∠ABE＝90°，
∴∠AEB+∠FED＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FED＝∠HAE，
∵∠BHE＝∠CDB＝45°，
∴∠AHE＝∠EDF＝135°，
∴△AHE≌△EDF（AAS），
∴AE＝EF．
（3）解：如图2中，在BC上截取BH＝BE，同法可证：AE＝EF，
如图3中，延长BA至点H，使得BH＝BE．同法可证：AE＝EF．
7．在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，0）、B（0，），a、b满足：a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，且AB＝AC．
（1）判断△ABC的形状并证明；
（2）如图1，点D为BA延长线上一点，AD＝AB，E为x轴负半轴上一点，F为DE上一点，连接CF交AD于点G，∠EFC＝120°，求的值；
（3）如图2，R（3a，0）点P为线段BR上一动点，以AP为边作等腰△APQ，PA＝PQ，且∠APQ＝∠RAB，连接AQ．当点P运动时，△ABQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
解：（1）结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，
∴（a+b）2+（b﹣2）2＝0，
∵（a+b）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a＝﹣2，b＝2，
∴A（﹣2，0），C（2，0），
∴OA＝OC，
∵BO⊥AC，
∴BA＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）如图1中，作BH∥DE交x轴于H．
∵∠DEA＝∠BHA，∠DAE＝∠BAH，AD＝AB，
∴△DAE≌△BAH（AAS），
∴AE＝AH，
∵∠D+∠DGF＝∠EFH＝120°，∠D+∠DEA＝∠DAC＝120°，
∴∠DEA＝∠DGF＝∠AGH，
∴∠AGH＝∠BHC，
∵∠GAH＝∠BCH＝120°，AH＝BC，
∴△AHG≌△CBH（AAS），
∴AG＝CH，
∴＝＝＝2．
＝4．
（3）结论：△ABQ的面积不变，S
△ABQ
理由：如图2中，在x轴的正半轴上取一点M，使得PR＝PM，连接PM，QR．
由题意R（﹣6，0），A（﹣2，0），B（0，﹣2），
∴OR＝6，OB＝2，
∴tan∠PQM＝，tan∠OAB＝
∴∠PRM＝∠PMR＝30°，∠OAB＝60°，
∴∠RPM＝120°，
∵∠RPM＝∠APQ＝120°，
∴∠APM＝∠RPQ，
∵PR＝PM，PQ＝PQ，
∴△PRQ≌△PMA（SAS），
∴∠PRQ＝∠AMP＝30°，
∴∠ARQ＝60°＝∠OAB，∴AB∥QR，
∴S
△ABQ ＝S
△ABR
＝×4×2＝4．
8．如图，AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，直线MN经过点P并与AB，CD分别交于点M，N．
（1）如图①，求证：EM+FN＝EF；
（2）如图②，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，直接写出EM，FN，EF三条线段的数量关系．
（1）证明：如图1，在EF上截取FQ＝FN，
∵FP平分∠CFE，
∴∠PFN＝∠PFQ，
又FP＝FP，
∴△FPN≌△FPQ（SAS），
∴∠PNF＝∠PQF，
又AB∥CD，
∴∠PNF+∠PME＝180°，
∵∠PQF+∠PQE＝180°，
∴∠PME＝∠PQE，
∵EP平分∠MEP，
∴∠PEM＝∠PEQ，
∵PE＝PE，
∴△PEM≌△PEQ（AAS），
∴EM＝EQ，
∴EM+FN＝EQ+FQ＝EF；
（2）解：（1）的结论不成立．
EM，FN，EF三条线段的关系是：FN﹣EM＝EF．
如图2，延长EP交CD于H，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，
∴∠PEF+∠PFE＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPF＝∠HPF，
∵PF＝PF，∠PFH＝∠PFE，
∴△PFH≌△PFE（ASA），
∴EF＝HF，PH＝PE，
∵AB∥CD，
∴∠EMP＝∠PNH，∠PEM＝∠PHN，
∴△PEM≌△PHN（AAS），
∴EM＝NH，
∴FN﹣NH＝FN﹣EM＝HF＝EF，
即FN﹣EM＝EF．
9．探究题：
如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）
上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝4cm；
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝ 4 cm．（请直接写出答案）
解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，
∴PC＝1cm，
∴AB＝PC，
∵DP⊥AP，
∴∠APD＝90°，
∴∠APB+∠CPD＝90°，
∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPD，
在△ABP和△PCD中，
，
∴△ABP≌△PCD，
∴BP＝CD＝4cm；
（2）PB＝PC，
理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA＝∠DPE＝90°，
在△DPA和△DPE中，
，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA＝PE．
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．
在△APB和△EPC中，
，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB＝PC；
（3）∵△PDC是等腰三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，又∵DP⊥AP，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝AB＝1cm，
∴PC＝BC﹣BP＝4cm，
∴CD＝CP＝4cm，
故答案为：4．
10．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A（2，0）、B（0，1）．（1）在图①中，点C坐标为（1，3）；
（2）如图②，点D在线段OA上，连接BD，作等腰直角三角形BDE，∠DBE＝90°，连接CE．证明：AD＝CE；
（3）在图②的条件下，若C、D、E三点共线，求OD的长；
（4）在y轴上找一点F，使△ABF面积为2．请直接写出所有满足条件的点F的坐标．
（1）解：如图①中，作CH⊥y轴于H．
∵A（2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∵∠CHB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠OAB＝90°，∠ABO+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠OAB，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴CH＝OB＝1，OA＝BH＝2，
∴OH＝OB+BH＝3，
∴C（1，3）．
故答案为（1，3）．
（2）证明：如图②中，
∵△DBE，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠DBE＝∠ABC＝90°，BD＝BE，BA＝BC，∴∠DBA＝∠EBC，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴EC＝AD．
（3）解：如图②中，设CD交AB于J．
∵△DBA≌△EBC，C，E，D共线，
∴∠BCD＝∠BAD，
∵∠BCD+∠CJB＝90°，∠CJB＝∠AJD，
∴∠BAD+∠AJD＝90°，
∴∠ADJ＝90°，
∴CD⊥OA，
∵C（1，3），
∴OD＝1．
（4）解：设F（0，m）．
由题意：•|m﹣1|•2＝2，
∴m＝3或﹣1，
∴F（0，3）或（0，﹣1）
11．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴PC＝PA＝PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
12．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA＝CB且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）如图1，若∠BCA＝80°，∠α＝100°，问EF＝BE﹣AF，成立吗？说明理由．（2）将（1）中的已知条件改成∠BCA＝∠β，∠α+∠β＝180°（如图2），问EF＝BE ﹣AF仍成立吗？说明理由．
解：（1）EF＝BE﹣AF成立，理由如下：
∵∠BCA＝80°（已知），
∴∠BCE+∠ACE＝80°
∵∠BEC＝∠α＝100°（已知），
∴∠BEF＝180°﹣100°＝80°（平角定义）．
∴∠B+∠BCE＝80°（三角形外角和定理）
∴∠B＝∠ACE（等量代换）．
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，AF＝EC（全等三角形对应边相等）．
∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF（等量代换）．
（2）EF＝BE﹣AF成立，理由如下：
∵∠BCA＝∠β，
∴∠BCE+∠ACE＝∠β
∵∠BEC＝∠α＝180°﹣∠β，
∴∠BEF＝180°﹣∠α＝∠β．
∴∠B+∠BCE＝∠β．
∴∠B＝∠ACE
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF，AF＝EC，
∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF．
13．如图，△ABC中，∠A＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，E为AC的中点，连接EB，交CD于点F．
（1）如图1，若∠EBA＝30°，EB＝2，求AE的长；
（2）如图2，若F恰好为EB的中点，求证：CF＝DF+CE．
（1）解：过E作EG⊥AB于G，
∴∠AGE＝∠BGE＝90°，
∵∠EBA＝30°，EB＝2，
∴EG＝BE＝1，
∵∠A＝45°，
∴AG＝EG＝1，
∴AE＝；
（2）证明：过E作EG⊥AB于G，
∵CD⊥AB，
∴EG∥CD，
∵E为AC的中点，
∴EG＝CD，
∵F恰好为EB的中点，
∴DF＝EG＝CD，
∴CF＝CD，
∵∠A＝45°，
∴CD＝AD，
∴CF＝AD，
∵DF+AD＝CD+AD＝AD+AD＝AD，
∴CF＝DF+AD，
∵CE，
∴CF＝DF+．
14．△ABC是等边三角形，点E、F分别为射线AC、射线CB上两点，CE＝BF，直线EB、AF 交于点D．
（1）当E、F在边AC、BC上时如图（1），求证：△ABF≌△BCE．
＝25，EG⊥BC于G，EH⊥AB （2）当E在AC延长线上时，如图（2），AC＝10，S
△ABC
于H，HE＝8，EG＝3．
（3）E、F分别在AC、CB延长线上时，如图（3），BE上有一点P，CP＝BD，∠CPB是锐角，求证：BP＝AD．
（1）证明：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝∠C＝60°，BA＝CB，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS）．
（2）解：如图2中，
＝AC2＝25，
∵S
△ABC
∴AC＝10（负根已经舍弃），
在RtAEH中，∵∠AHE＝90°，∠A＝60°，HE＝8，
∴AE＝＝＝16，
∴EC＝AE﹣AC＝16﹣10＝6，
在Rt△ECG中，∵∠G＝90°，∠ECG＝∠ACB＝60°，EC＝6，∴EG＝EC•sin60°＝6×＝3．
故答案为3．
（3）解：如图3中，作CM⊥BE于M，BN⊥AF于N．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝CB，
∴∠ABF＝∠BCE＝120°，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠F＝∠E，∠BAF＝∠CBE，
∴∠BNF＝∠CME＝90°，BF＝EC，
∴△BNF≌△CME（AAS），
∴CM＝BN，
∵∠BND＝∠CMP＝90°，BD＝CP，
∴Rt△BND≌Rt△CMP（HL），
∴∠BDN＝∠CPM，
∵∠BAD＝∠CBP，AB＝CB，
∴△ABD≌△BCP（AAS），
∴BP＝AD．
15．如图1，在平面直角坐标系中A（a，0），B（0，b），且a，b满足+（b﹣4）2＝0．
（1）A、B坐标分别为A（4，0）、B（0，4）．
（2）P为x轴上一点，C为AB中点，∠APC＝∠PBO，求AP的长．
（3）如图2，点E为第一象限一点，AE＝AB，以AE为斜边构造等腰直角△AFE，连BE，连接OF并延长交BE于点G，求证：BG＝EG．
解：（1）∵+（b﹣4）2＝0，
又∵≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a＝b＝4，
∴A（4，0），B（0，4），
故答案为（4，0），（0，4）．
（2）如图1中，
∵A（4，0），B（0，4），BC＝AC，
∴C（2，2），设P（m，0）．
∴直线PC的解析式为y＝x+，
∴直线PC与y轴交于F（0，），
∵∠POF＝∠POB，∠OPF＝∠PBO，
∴△OPF∽△OBP，
∴OP2＝OF•OB，
∴m2＝×4，
解得m＝4（舍弃）或﹣2，
∴P（﹣2，0），
∴OP＝2，
PA＝OP+OA＝2+4＝6．
（3）如图2中，连接AG．
∵△AOB，∠AFE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AO，AE＝AF，∠OAB＝∠FAE＝45°，
∴＝，∠OAF＝∠BAE，
∴△OAF∽△BAE，
∴∠AOF＝∠ABE，
∴B，O，A，G四点共圆，
∴∠AOB+∠AGB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BE，
∵AB＝AE，
∴BG＝GE．
16．已知，△ABC中，∠ABC＝∠C，P是BC边上一点，作∠CPE＝∠BPF，分别交边AC，AB 于点E，F．
（1）若∠CPE＝∠C（如图1），求证：PE+PF＝AB；
（2）若∠CPE≠∠C，过点B作∠CBD＝∠CPE，交CA（或CA的延长线）于点D．试猜想：线段PE，PF和BD之间的数量关系，并就∠CPE＞∠C情形（如图2）说明理由：
（3）若点F与A重合（如图3），∠C＝27°，且PA＝AE．
①求∠CPE的度数；
②设PB＝a，PA＝b，AB＝c，试证明：a2＝bc+c2．
（1）证明：∵∠B＝∠C，∠CPE＝∠BPF，∠CPE＝∠C
∴∠B＝∠BPF＝∠CPE＝∠C，
∴PF＝BF，PE∥AF，PF∥AE，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴PE＝AF，
∴PE+PF＝AF+BF＝AB，
（2）结论：PE+PF＝BD，
理由：过B作BG∥CD交EP的延长线于G，
∴∠ABC＝∠C＝∠CBG，
∵∠CPE＝∠BPF，
∴∠BPF＝∠CPE＝∠BPG，
∵BP＝BP
∴△FBP≌△GBP（ASA），
∴PF＝PG，
∵∠CBD＝∠CPE，
∴PE∥BD，
又∵BG∥CD，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴EG＝BD，
∴PE+PF＝PE+PG＝EG＝BD；
（3）①设∠CPE＝∠BPA＝x
∵∠C＝27°，PA＝AE，
∴∠APE＝∠AEP＝∠C+∠CPE＝27°+x，
∵∠BPA+∠APE+∠CPE＝180°，
∴x+x+27°+x＝180°，
∴x＝51°，
即∠CPE＝51°；
②延长BA到M，使得AM＝AP．连接PM，
∵∠B＝∠C＝27°，∠BPA＝∠CPE＝51°，
∴∠BAP＝180°﹣27°﹣51°＝102°＝∠M+∠APM，
∵AM＝AP，
∴∠M＝∠APM＝51°，
∴∠M＝∠BPA，
∵∠B＝∠B，
∴△ABP∽△PBM，
∴，
∴BP2＝AB•BM，
∵PB＝a，PA＝AM＝b，AB＝c，
∴a2＝c（b+c）＝bc+c2．
17．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
（1）如图1，当点E在AB边得中点位置时：
①通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是DE＝EF．
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是NE＝BF，请证明你的
猜想．
（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
解：（1）①DE＝EF；
②NE＝BF；
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵N，E分别为AD，AB中点，
∴AN＝DN＝AD，AE＝EB＝AB，∴DN＝BE，AN＝AE，
∵∠DEF＝90°，
∴∠AED+∠FEB＝90°，
又∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠FEB＝∠ADE，
又∵AN＝AE，
∴∠ANE＝∠AEN，
又∵∠A＝90°，
∴∠ANE＝45°，
∴∠DNE＝180°﹣∠ANE＝135°，又∵∠CBM＝90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF＝45°，∠EBF＝135°，在△DNE和△EBF中
，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE＝EF，NE＝BF．
（2）DE＝EF，
理由如下：
连接NE，在DA边上截取DN＝EB，∵四边形ABCD是正方形，DN＝EB，∴AN＝AE，
∴△AEN为等腰直角三角形，
∴∠ANE＝45°，
∴∠DNE＝180°﹣45°＝135°，
∵BF平分∠CBM，AN＝AE，
∴∠EBF＝90°+45°＝135°，
∴∠DNE＝∠EBF，
∵∠NDE+∠DEA＝90°，∠BEF+∠DEA＝90°，
∴∠NDE＝∠BEF，
在△DNE和△EBF中
，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE＝EF．
18．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．
（1）请直接写出AD长．（用x的代数式表示）
（2）当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？
（3）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．
解：（1）由题意得，CD＝0.5x，
则AD＝4﹣0.5x；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4cm，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
设x秒时，△ADE为直角三角形，
∴∠ADE＝90°，BE＝0.5x，AD＝4﹣0.5x，AE＝4+0.5x，
∴∠AED＝30°，
∴AE＝2AD，
∴4+0.5x＝2（4﹣0.5x），
∴x＝；
答：运动秒后，△ADE为直角三角形；
（3）如图2，作DG∥AB交BC于点G，
∴∠GDP＝∠BEP，∠DGP＝∠EBP，∠CDG＝∠A＝60°，∠CGD＝∠ABC＝60°，∴∠C＝∠CDG＝∠CGD，
∴△CDG是等边三角形，
∴DG＝DC，
∵DC＝BE，
∴DG＝BE．
在△DGP和△EBP中，
，
∴△DGP≌△EBP（ASA），
∴DP＝PE，
∴在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．
19．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．
（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；
（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF 的值．
解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0
∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0
∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0
∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0
∴a＝b＝4
过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM
∴OA平分∠MON
即OA是第一象限的角平分线
（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H
∴∠OAH＝∠HAB＝45°
∵BM⊥AE
∴∠ABH＝∠OAE
在△AOE与△AHB中
∴△AOE≌△AHB（ASA）
∴AH＝OE
在△ONE和△AMH中
∴△ONE≌△AMH（SAS）
∴∠AMH＝∠ONE
设BM与NE交于K
∴∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA
∴2∠ONE﹣∠NEA＝90°
（3）过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N
可证：△FMH≌△FNH（SAS）
∴FM＝FN
同理：NE＝EK
∴OE+OF﹣EF＝2HK
过A作AP⊥y轴于P，AQ⊥x轴于Q
可证：△APF≌△AQE（SAS）
∴PF＝EQ
∴OE+OF＝2OP＝8
∴2HK+EF＝OE+OF＝8
20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）求证：△OBC≌△ABD．
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；
如果变化，请说明理由．
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠ABC，
在△OBC和△ABD中，
∵，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；
（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；
（3）∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，
∴AE＝2，
∴AC＝AE＝2，
∴OC＝1+2＝3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．。