2022版新教材高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 新高考新题型微课堂 8 多选题命题热点之解

第8章 平面解析几何
八 多项选择题命题热点之解析几何
解析几何问题中的多项选择题 , 主要集中在椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质 , 直线与圆锥曲线的位置关系等 , 解答此类问题的基本方法是直接法．
圆锥曲线的几何性质
(多项选择题)(2020·潍坊高三模拟)已知椭圆C : x 2a ＋y 2
b
＝1(a >b >0)的左、右焦点
分别为F 1 , F 2 , 且|F 1F 2|＝2 , 点P (1,1)在椭圆内部 , 点Q 在椭圆上 , 那么以下说法正确的选项是( )
A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1
B ．椭圆
C 的短轴长可能为2
C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫0 5－12 D ．假设PF 1→＝F 1Q →
, 那么椭圆C 的长轴长为5＋17
ACD 解析 : 因为|F 1F 2|＝2 , 所以F 2(1,0) , |PF 2|＝1 , 所以|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |≥2a －|PF 2|＝2a －1 , 当Q , F 2 , P 三点共线时 , 取等号 , 故A 正确．
假设椭圆C 的短轴长为2 , 那么b ＝1 , a ＝2 , 所以椭圆方程为x 22＋y 2＝1.由1
2＋1>1 , 知点
P 在椭圆外 , 故B 错误．
因为点P (1,1)在椭圆内部 , 所以1a ＋1b <1.又a －b ＝1 , 所以b ＝a －1 , 所以1a ＋1
a －1<1 , 即
a 2－3a ＋1>0 , 解得
a >3＋52＝6＋254＝(1＋5)24 , 所以a ＞1＋52 , 所以e ＝1
a
＜5－12 ,
所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
0 5－12 , 故C 正确．
假设PF 1→＝F 1Q →
, 那么F 1为线段PQ 的中点 , 所以Q (－3 , －1) , 所以9a ＋1b ＝1.又a －b ＝
1 , 即
a 2－11a ＋9＝0 , 解得
a ＝11＋852＝22＋2854＝(5＋17)24 , 所以a ＝5＋172
, 所
以椭圆C 的长轴长为5＋17 , 故D 正确．
(1)恰当地应用圆锥曲线的定义 , 特别是涉及椭圆、双曲线和抛物线的焦点时 , 要特别注意其定义的应用．
(2)注意应用平面几何的知识 , 如三角形相似、全等、线段成比例等．
(3)涉及最值和取值范围时一般转化为函数、均值不等式问题 , 或利用圆锥曲线的定义解决．
(多项选择题)(2020·淄博高三二模)设F 1 , F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0 , b >0)的左、右
焦点．假设在双曲线右支上存在点P , 满足|PF 2|＝|F 1F 2| , 且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长 , 那么关于该双曲线的以下结论正确的选项是( )
A ．渐近线方程为4x ±3y ＝0
B ．渐近线方程为3x ±4y ＝0
C ．离心率为53
D ．离心率为5
4
AC 解析 : 设|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .由|PF 1|－|PF 2|＝2a , 可得|PF 1|＝2c ＋2a . 设PF 1的中点为M ,
由等腰三角形PF 1F 2的性质可得F 2M ⊥PF 1.
因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a , 所以|PF 1|＝2(2c )2－(2a )2＝
4
c 2－a 2＝4b ,
所以2c ＋2a ＝4b , 即c ＋a ＝2b , 可得c 2＝a 2＋b 2＝(2b －a )2 , 解得3b ＝4a .那么双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±4
3
x , 即4x ±3y ＝0.
离心率e ＝c
a
＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝
1＋169＝5
3
.
直线和圆锥曲线
(多项选择题)(2020·聊城市高三二模)已知抛物线C : y 2＝2px 过点P (1,1) , 那么以
下结论正确的选项是( )
A ．点P 到抛物线焦点的距离为3
2
B ．过点P 和抛物线焦点的直线交抛物线于点Q , 那么△OPQ 的面积为5
32
C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x －2y ＋1＝0
D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M , N , 那么直线MN 的斜率为定值
BCD 解析 : 因为抛物线C : y 2＝2px 过点P (1,1) , 所以p ＝1
2
, 所以抛物线方程为y 2＝x ,
焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
14 0.
对于A , |PF |＝1＋14＝5
4
, 故A 错误．
对于B , k PF ＝43 , 所以l PF : y ＝4
3⎝⎛⎭⎫x －14 , 与y 2＝x 联立得4y 2－3y －1＝0 , 所以y 1＋y 2＝34 , y 1y 2＝－14 , 所以S △OPQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×1
4×
(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝
5
32
, 故B 正确．
对于C , 依题意斜率存在 , 设直线方程为y －1＝k (x －1) , 与y 2＝x 联立得ky 2－y ＋1－k ＝0 ,
Δ＝1－4k (1－k )＝4k 2－4k ＋1＝0 , 解得k ＝1
2 , 所以切线方程为x －2y ＋1＝0 , 故C 正
确．
对于D, 依题意斜率存在 , 设l PM : y －1＝k (x －1) , 与y 2＝x 联立得ky 2－y ＋1－k ＝0 , 所以yM ＋1＝1k , 即yM ＝1
k －1 ,
那么xM ＝⎝⎛⎭⎫1k －12
,
所以点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫⎝⎛⎭⎫1
k －12
1
k －1 , 同理N
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
⎝⎛⎭⎫－1k －12 －1k －1 ,
所以k MN
＝1k －1－⎝⎛⎭⎫－1k －1⎝⎛⎭⎫1k －12－⎝⎛⎭
⎫－1k －12＝2k －4k ＝－1
2 , 故D 正确．
(1)涉及直线和圆锥曲线的问题要注意应用〞设而不求〞的思想方法 , 用点的坐标表示所涉及的量 , 把几何条件转化为代数式进行运算求得结果．
(2)掌握弦长、面积的一般表示方法和应用圆锥曲线定义的表示方法．
(多项选择题)(2020·淄博市高三月考)已知椭圆x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F , E , 直
线x ＝m (－1<m <1)与椭圆相交于点A , B , 那么( )
A ．当m ＝0时 , △F A
B 的面积为 3 B ．不存在m 使△F AB 为直角三角形
C ．存在m 使四边形FBEA 的面积最大
D ．存在m 使△F AB 的周长最大 AC 解析 : 如下列图． 对于A 选项 , 经计算显然正确．
对于B 选项 , m ＝0时 , 可以得出∠AFE ＝π
3 ; 当m ＝1时 , ∠
AFE <π
4
.根据椭圆的对称性 , 存在m 使△F AB 为直角三角形 , 故B 错误．
对于C 选项 , 根据椭圆的对称性可知 , 当m ＝0时 , 四边形FBEA 面积最大 , 故C 正确．
对于D 选项 , 由椭圆的定义得△F AB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.
因为|AE |＋|BE |≥|AB | , 所以|AB |－|AE |－|BE |≤0 , 当AB 过点E 时取等号． 所以|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a , 即直线x ＝m 过椭圆的右焦点E 时 , △F AB 的周长最大．
此时直线x ＝m ＝c ＝1 , 但－1<m <1 , 所以不存在m , 使△F AB 的周长最大．故D 错误．。