2.6 菱形的性质2.6.1 菱形的性质课件
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1 21024120cm2 . 2
5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF
交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B F
又 CE=CE，
C
∴△BCE≌△CDE（SAS）．
EA
∴∠CBE=∠CDE．
D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE．
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝ 5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌△BEA ， ∴AO＝BE .
练一练 1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
5，则△ABD的周长是
( C)
第1题图
第2题图
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、 BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段 OE的长为__6_c_m___.
为以60°为顶角的两个等边三角形.
练一练 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm， 则这个菱形的高DE为（ B ） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
当堂练习
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ C）
A.对角相.对角线相等
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
证一证
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与
角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
A
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
E
∴∠AED=90°,
DE1BD1105cm.
22
B
D
A E A D 2 D E 21 3 2 5 2 1 2 c m .
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
C
(2)菱形ABCD的面积 1 BD AC
2
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
∴OA= 1 AB=1cm，AC=AB=2cm，
2
O B AB2O A23,
∴BD=2OB=2 3 cm；
1
（2）S菱形ABCD= 2 AC•BD
= 1 ×2× 2 3 = 2
2
3 （cm2）．
归纳 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或 等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则
△ABD的周长等于
（B）
A.18
B.16
C.15
D.14
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长
是 __3_c_m__.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝
___3_0_°__.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，
BD相交于点O.
B
求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；
A
O
C
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD 交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
A
∴AC⊥BD,
O
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC B
D
1
1
= 2 AC·BO+ 2 AC·DO
1
C
= 2 AC(BO+DO)
= 1 AC·BD.
2
你有什么发现？
讲授新课
一 菱形的性质
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩 形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边 形有一个角是直角时,就成为了矩形.
平行 四边形
有一个角是直角
矩形
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大 小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这 个特殊的平行四边形叫什么呢?
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
归纳 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线 都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
（2）∵AB = AD,
B
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
A
O
C
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）. D 在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
例5 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝ 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD， 求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到和
2 ）.
A
解：∵花坛ABCD是菱形，
A C B D ， A B O 1 A B C 3 0 .
2
B
在 R t O A B 中 ， A O 1A B10m ，
因为A B A O 2 B O 25 2 1 2 2 1 3 ,
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h， 所以13h＝120，得h＝1 2 0 .
13
归纳 菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两 对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形 的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两 条对角线长度乘积的一半．
在直角△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．
谢谢观看！
课堂小结
边
菱
形 的
角
性
菱形的 质 对
性质
归纳总结 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的 所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.
角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分.
典例精析 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交
思考：菱形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心 是什么？
O
由于菱形是平行四边形，因此 菱形是中心对称图形，对角线的交点是
它的对称中心.
做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折，点A的像 是__点__C__， 点C的像是_点__A__， 点D的像是_点__B__，点B 的像是_点__D__，边AD的像是_边__C_D_，边CD的像是_边__A_D_ ， 边AB的像是_边__C_B_，边CB的像是_边__A_B_.
于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
AO＝
1 2
AC，BO＝
1 2
BD.
因为AC＝6cm，BD＝12cm，
所以AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
A B A O 2 B O 23 2 6 2 35 c m .
所以菱形的周长＝4AB＝4×3 5 ＝12 5 (cm)．
2
O
D
B O A B 2 A O 22 0 2 1 0 2 1 03 m ， C
A C 2 A O 2 0 m ， B D 2 B O 2 0 3 3 4 . 6 4 m .
∴ S 菱 形 A B C D 1 2 A C B D 2 0 03 3 4 6 .4m 2.
【变式题】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与
角
线
有关计算
1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等
两组对角分别相等，邻 角互补
1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角
1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高=两条 对角线乘积的一半
第2章 四边形
2.6 菱形
菱形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
导入新课
情景引入 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形， 和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让 我们一起来学习吧.
想一想：你能得到什么结论？ 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线
都是它的对称轴.
二 菱形的面积
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平 行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积?
A
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
B
D
=BC·AE.
E
C 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直, 那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
则菱形的边长是__5_c_m___.
B
O
A
C
D
(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角 线长为11cm，菱形的周长为_4_4_c_m__.
(5)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的长度比
为1∶2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_8_厘__米___.
B
O
A
C
D
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE， AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形， A
D
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
O
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
B
EC
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD 的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形 ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
所以S△AOB＝
1 2
OA·OB＝1
2
×5×12＝30，
所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求： （1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积． 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC=
1 3
×180°=60°，
∴∠ABO= 1 ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
平行四边形 一组邻边相等 菱形
归纳总结 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确 地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题:
5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF
交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B F
又 CE=CE，
C
∴△BCE≌△CDE（SAS）．
EA
∴∠CBE=∠CDE．
D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE．
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝ 5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌△BEA ， ∴AO＝BE .
练一练 1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
5，则△ABD的周长是
( C)
第1题图
第2题图
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、 BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段 OE的长为__6_c_m___.
为以60°为顶角的两个等边三角形.
练一练 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm， 则这个菱形的高DE为（ B ） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
当堂练习
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ C）
A.对角相.对角线相等
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
证一证
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与
角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
A
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
E
∴∠AED=90°,
DE1BD1105cm.
22
B
D
A E A D 2 D E 21 3 2 5 2 1 2 c m .
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
C
(2)菱形ABCD的面积 1 BD AC
2
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
∴OA= 1 AB=1cm，AC=AB=2cm，
2
O B AB2O A23,
∴BD=2OB=2 3 cm；
1
（2）S菱形ABCD= 2 AC•BD
= 1 ×2× 2 3 = 2
2
3 （cm2）．
归纳 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或 等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则
△ABD的周长等于
（B）
A.18
B.16
C.15
D.14
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长
是 __3_c_m__.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝
___3_0_°__.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，
BD相交于点O.
B
求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；
A
O
C
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD 交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
A
∴AC⊥BD,
O
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC B
D
1
1
= 2 AC·BO+ 2 AC·DO
1
C
= 2 AC(BO+DO)
= 1 AC·BD.
2
你有什么发现？
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一 菱形的性质
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩 形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边 形有一个角是直角时,就成为了矩形.
平行 四边形
有一个角是直角
矩形
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大 小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这 个特殊的平行四边形叫什么呢?
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
归纳 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线 都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
（2）∵AB = AD,
B
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
A
O
C
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）. D 在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
例5 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝ 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD， 求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到和
2 ）.
A
解：∵花坛ABCD是菱形，
A C B D ， A B O 1 A B C 3 0 .
2
B
在 R t O A B 中 ， A O 1A B10m ，
因为A B A O 2 B O 25 2 1 2 2 1 3 ,
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h， 所以13h＝120，得h＝1 2 0 .
13
归纳 菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两 对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形 的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两 条对角线长度乘积的一半．
在直角△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．
谢谢观看！
课堂小结
边
菱
形 的
角
性
菱形的 质 对
性质
归纳总结 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的 所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.
角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分.
典例精析 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交
思考：菱形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心 是什么？
O
由于菱形是平行四边形，因此 菱形是中心对称图形，对角线的交点是
它的对称中心.
做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折，点A的像 是__点__C__， 点C的像是_点__A__， 点D的像是_点__B__，点B 的像是_点__D__，边AD的像是_边__C_D_，边CD的像是_边__A_D_ ， 边AB的像是_边__C_B_，边CB的像是_边__A_B_.
于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
AO＝
1 2
AC，BO＝
1 2
BD.
因为AC＝6cm，BD＝12cm，
所以AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
A B A O 2 B O 23 2 6 2 35 c m .
所以菱形的周长＝4AB＝4×3 5 ＝12 5 (cm)．
2
O
D
B O A B 2 A O 22 0 2 1 0 2 1 03 m ， C
A C 2 A O 2 0 m ， B D 2 B O 2 0 3 3 4 . 6 4 m .
∴ S 菱 形 A B C D 1 2 A C B D 2 0 03 3 4 6 .4m 2.
【变式题】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与
角
线
有关计算
1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等
两组对角分别相等，邻 角互补
1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角
1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高=两条 对角线乘积的一半
第2章 四边形
2.6 菱形
菱形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
导入新课
情景引入 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形， 和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让 我们一起来学习吧.
想一想：你能得到什么结论？ 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线
都是它的对称轴.
二 菱形的面积
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平 行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积?
A
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
B
D
=BC·AE.
E
C 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直, 那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
则菱形的边长是__5_c_m___.
B
O
A
C
D
(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角 线长为11cm，菱形的周长为_4_4_c_m__.
(5)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的长度比
为1∶2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_8_厘__米___.
B
O
A
C
D
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE， AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形， A
D
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
O
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
B
EC
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD 的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形 ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
所以S△AOB＝
1 2
OA·OB＝1
2
×5×12＝30，
所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求： （1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积． 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC=
1 3
×180°=60°，
∴∠ABO= 1 ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
平行四边形 一组邻边相等 菱形
归纳总结 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确 地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题: