北师版九年级数学下册《正弦与余弦》课件精品(2022年新版)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
以不与A点重合的任意一点 为圆心，以这个点到A点的 距离为半径画圆即可； 可作无数个圆.
· A ··
· ·
回忆线段垂直平分线的尺规作图的方法
1．分别以点A和B为圆心，以 大于二分之一AB的长为半径
作弧，两弧相交于点M和N； A
2.作直线MN.
M
B N
问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少 个圆？
斜边c
B 对边a
A
邻边b C
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠B＝
∠A'＝α，那么AC 与A ' C ' 有什么关系．能解释一下吗？
AB A ' B '
B' B'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
AC AB A'C' A'B'
BC AB B'C' A'B'
BC B'C' AB A' B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个 固定值．
引出定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边
与斜边的比叫做∠A的正弦〔sine〕，记作sinA ， 即
AC A'C ' AB A'B '
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管 三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
引出定义： 当锐角A的大小确定时，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做
∠A的余弦〔cosine〕，记作cosA，即
cosAA斜 的边 邻边bc
归纳
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
作线段AB的垂直平分线，以其
上任意一点为圆心，以这点和
·
点A或B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.
A ·· B
·
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
经过A,B两点的圆的圆心在线段
AB的垂直平分线上.
F
经过B,C两点的圆的圆心在线段
A
BC的垂直平分线上.
B ●
n经过A,B,C三点的圆的圆心应该在
解：∵点O为△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC. ∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°， ∴∠OCA＋∠OCB＝90°， 即∠ACB＝90°.
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的 圆心坐标是_〔__5_，__2_〕__，半径是__2 __5 __．
A．第①块 C．第③块
B．第②块 D．第④块
二 三角形的外接圆及外心
试一试： △ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C
三点的圆.
A
O C
B
概念学习
1. 外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个
圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三 B 角形叫作这个圆的内接三角形.
A
●
O
C
2.三角形的外心： 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图：三角形三条边的垂直平分线的交点. 性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的
边长无关.
4.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.当锐角A变化 时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
5.sinA的值越大，梯子越陡； cosA的值越小，梯子越陡.
典例精析 例 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求 BC的长.
方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是 确定外接圆的直径(或半径)长度．
当堂练习
1.判断： 〔1〕经过三点一定可以作圆 〔 ×〕 〔2〕三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点 〔 √ 〕 〔3〕三角形的外心到三边的距离相等 〔×〕 〔4〕等腰三角形的外心一定在这个三角形内 〔 ×〕
判一判： 以下说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形(× ) (3)经过三点一定可以确定一个圆(× )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
画一画
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 再画出它们的外接圆，观察并表达各三角形与它的 外心的位置关系.
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
●O
B
C
要点归纳
锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外.
典例精析 例：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为 原点，∠ABO＝60°，假设△AOB的外接圆与y轴 交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
正弦 sinAA斜 的边 对边=ac 余弦 cosAA斜 的边 邻边=bc
si2A n co 2A s a c 2 b c 2a 2c 2b 2c c2 2 1
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形
结合，构造直角三角形).
2.sinA、 cosA是一个比值〔数值〕.
sinAA斜 的边 对边ac
斜边 c
B
a 对边
例如，当∠A＝30°时，我们有 sinAsin30 1 2
当∠A＝45°时，我们有 sinAsin45 2 2
A bC
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
二 余弦的定义
探究归纳
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的 对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否 也确定了呢？为什么？
学习目标
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算； 〔重点、难点〕
2.在直角三角形中求正弦值、余弦值. (重点)
导入新课
回忆与思考 1.分别求出图中∠A，∠B的正切值.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A 的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间 的比是否也确定了呢？
coAsAC4, tan A BC 3
AB 5
AC 4
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝
15 17
，求sinA、
tanA的值．
B
解：∵ cos A AC 15 AB 17
∴ 设AC=15k，那么AB=17k A
C
所以 B C A B 2 A C 2( 1 7 k )2 ( 1 5 k )2 8 k
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝ 3 3 ， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( 3 3 ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π.
sinABC8k 8, AB 17k 17
tanABC8k 8. AC 15k 15
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ 3 ， 4
求sinA、cosB的值．
B
解：∵
tan A
BC AC
34，AC 8，
BC3AC386 44
C
8
A
A B A C 2 B C 28 2 6 2 1 0
sinBsinACDAD AC
D
B
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为
求和它相等角的正弦值.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6， 求sinA、cosA、tanA的值．
B
解：∵sin A BC AB
sinABC6 3 AB 10 5 A
10 6
C
又∵ A C A2 B B2 C12 0 6 2 8
作圆,⊙O即为所求.
4.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，
C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是〔 B 〕
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
5.如图，△ABC内接于⊙O，假设∠OAB＝20°，那么 ∠C的度数7是0°________．
6.如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为 △ABC的外心，求∠ACB的度数．
2.三角形的外心具有的性质是〔 B 〕 A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
3.如图，是一块圆形镜片破碎后的局部残片，试找 出它的圆心.
方法:
B
1.在圆弧上任取三点A、B、C. A
C
2.作线段AB、BC的垂直平分线,
O
其交点O即为圆心.
3.以点O为圆心，OC长为半径
sinABC6 3， cosBBC 6 3.
AB 10 5
AB 10 5
学习目标
1.复习并稳固圆中的根本概念. 2.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用. (重点) 3.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.〔难点〕
导入新课
情境引入
旋转木马.mp4
假设旋转木马真如短片所说，是中国创造的，你能
将旋转木马破碎的圆形底座复原，以帮助考古学家
解： 在Rt△ABC中，
B
sin A BC , AC
即 BC 0.6,
200
A
C
∴ BC=200×0.6=120.
当堂练习
1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中sinB
可由哪两条线段比求得？
解：在Rt△ABC中，sin
B
AC AB
C
在Rt△BCD中，sin
B
CD BC
因为∠B=∠ACD，所以 A
斜边c
B 对边a
A
邻边b C
讲授新课
一 正弦的定义
任意画Rt△ABC 和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A
＝∠A‘＝α，那么 BC 与 B ' C ' 有什么关系．能解释一下吗？
AB
A'B '
B' B
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
o
C
这两条垂直平分线的交点O的位置.
G
问题4过同一直线上三点能不能作圆?
A
B
C
不能.
位置关系 归纳总结
不在同一直线上的三个点确定 一个圆.
有且只有
B
F A
●
o
C
G
典例精析 例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎 片如下图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明 带到商店去的一块玻璃碎片应该是〔 B〕
画进行深入的研究吗？
想一想
要确定一个圆必须满足几个条件?
导入新课
复习与思考 问题1 构成圆的根本要素有那些?
or
两个条件: 圆心 半径 那么我们又该如何画圆呢?
问题2 过一点可以作几条直线？
问题3 过几点可以确定一条直线？那么过几点可 以确定一个圆呢？
讲授新课
一 探索确定圆的条件
合作探究 问题1如何过一个点A作一个圆？ 过点A可以作多少个圆？
· A ··
· ·
回忆线段垂直平分线的尺规作图的方法
1．分别以点A和B为圆心，以 大于二分之一AB的长为半径
作弧，两弧相交于点M和N； A
2.作直线MN.
M
B N
问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少 个圆？
斜边c
B 对边a
A
邻边b C
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠B＝
∠A'＝α，那么AC 与A ' C ' 有什么关系．能解释一下吗？
AB A ' B '
B' B'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
AC AB A'C' A'B'
BC AB B'C' A'B'
BC B'C' AB A' B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个 固定值．
引出定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边
与斜边的比叫做∠A的正弦〔sine〕，记作sinA ， 即
AC A'C ' AB A'B '
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管 三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
引出定义： 当锐角A的大小确定时，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做
∠A的余弦〔cosine〕，记作cosA，即
cosAA斜 的边 邻边bc
归纳
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
作线段AB的垂直平分线，以其
上任意一点为圆心，以这点和
·
点A或B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.
A ·· B
·
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
经过A,B两点的圆的圆心在线段
AB的垂直平分线上.
F
经过B,C两点的圆的圆心在线段
A
BC的垂直平分线上.
B ●
n经过A,B,C三点的圆的圆心应该在
解：∵点O为△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC. ∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°， ∴∠OCA＋∠OCB＝90°， 即∠ACB＝90°.
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的 圆心坐标是_〔__5_，__2_〕__，半径是__2 __5 __．
A．第①块 C．第③块
B．第②块 D．第④块
二 三角形的外接圆及外心
试一试： △ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C
三点的圆.
A
O C
B
概念学习
1. 外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个
圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三 B 角形叫作这个圆的内接三角形.
A
●
O
C
2.三角形的外心： 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图：三角形三条边的垂直平分线的交点. 性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的
边长无关.
4.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.当锐角A变化 时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
5.sinA的值越大，梯子越陡； cosA的值越小，梯子越陡.
典例精析 例 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求 BC的长.
方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是 确定外接圆的直径(或半径)长度．
当堂练习
1.判断： 〔1〕经过三点一定可以作圆 〔 ×〕 〔2〕三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点 〔 √ 〕 〔3〕三角形的外心到三边的距离相等 〔×〕 〔4〕等腰三角形的外心一定在这个三角形内 〔 ×〕
判一判： 以下说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形(× ) (3)经过三点一定可以确定一个圆(× )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
画一画
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 再画出它们的外接圆，观察并表达各三角形与它的 外心的位置关系.
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
●O
B
C
要点归纳
锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外.
典例精析 例：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为 原点，∠ABO＝60°，假设△AOB的外接圆与y轴 交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
正弦 sinAA斜 的边 对边=ac 余弦 cosAA斜 的边 邻边=bc
si2A n co 2A s a c 2 b c 2a 2c 2b 2c c2 2 1
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形
结合，构造直角三角形).
2.sinA、 cosA是一个比值〔数值〕.
sinAA斜 的边 对边ac
斜边 c
B
a 对边
例如，当∠A＝30°时，我们有 sinAsin30 1 2
当∠A＝45°时，我们有 sinAsin45 2 2
A bC
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
二 余弦的定义
探究归纳
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的 对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否 也确定了呢？为什么？
学习目标
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算； 〔重点、难点〕
2.在直角三角形中求正弦值、余弦值. (重点)
导入新课
回忆与思考 1.分别求出图中∠A，∠B的正切值.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A 的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间 的比是否也确定了呢？
coAsAC4, tan A BC 3
AB 5
AC 4
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝
15 17
，求sinA、
tanA的值．
B
解：∵ cos A AC 15 AB 17
∴ 设AC=15k，那么AB=17k A
C
所以 B C A B 2 A C 2( 1 7 k )2 ( 1 5 k )2 8 k
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝ 3 3 ， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( 3 3 ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π.
sinABC8k 8, AB 17k 17
tanABC8k 8. AC 15k 15
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ 3 ， 4
求sinA、cosB的值．
B
解：∵
tan A
BC AC
34，AC 8，
BC3AC386 44
C
8
A
A B A C 2 B C 28 2 6 2 1 0
sinBsinACDAD AC
D
B
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为
求和它相等角的正弦值.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6， 求sinA、cosA、tanA的值．
B
解：∵sin A BC AB
sinABC6 3 AB 10 5 A
10 6
C
又∵ A C A2 B B2 C12 0 6 2 8
作圆,⊙O即为所求.
4.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，
C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是〔 B 〕
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
5.如图，△ABC内接于⊙O，假设∠OAB＝20°，那么 ∠C的度数7是0°________．
6.如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为 △ABC的外心，求∠ACB的度数．
2.三角形的外心具有的性质是〔 B 〕 A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
3.如图，是一块圆形镜片破碎后的局部残片，试找 出它的圆心.
方法:
B
1.在圆弧上任取三点A、B、C. A
C
2.作线段AB、BC的垂直平分线,
O
其交点O即为圆心.
3.以点O为圆心，OC长为半径
sinABC6 3， cosBBC 6 3.
AB 10 5
AB 10 5
学习目标
1.复习并稳固圆中的根本概念. 2.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用. (重点) 3.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.〔难点〕
导入新课
情境引入
旋转木马.mp4
假设旋转木马真如短片所说，是中国创造的，你能
将旋转木马破碎的圆形底座复原，以帮助考古学家
解： 在Rt△ABC中，
B
sin A BC , AC
即 BC 0.6,
200
A
C
∴ BC=200×0.6=120.
当堂练习
1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中sinB
可由哪两条线段比求得？
解：在Rt△ABC中，sin
B
AC AB
C
在Rt△BCD中，sin
B
CD BC
因为∠B=∠ACD，所以 A
斜边c
B 对边a
A
邻边b C
讲授新课
一 正弦的定义
任意画Rt△ABC 和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A
＝∠A‘＝α，那么 BC 与 B ' C ' 有什么关系．能解释一下吗？
AB
A'B '
B' B
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
o
C
这两条垂直平分线的交点O的位置.
G
问题4过同一直线上三点能不能作圆?
A
B
C
不能.
位置关系 归纳总结
不在同一直线上的三个点确定 一个圆.
有且只有
B
F A
●
o
C
G
典例精析 例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎 片如下图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明 带到商店去的一块玻璃碎片应该是〔 B〕
画进行深入的研究吗？
想一想
要确定一个圆必须满足几个条件?
导入新课
复习与思考 问题1 构成圆的根本要素有那些?
or
两个条件: 圆心 半径 那么我们又该如何画圆呢?
问题2 过一点可以作几条直线？
问题3 过几点可以确定一条直线？那么过几点可 以确定一个圆呢？
讲授新课
一 探索确定圆的条件
合作探究 问题1如何过一个点A作一个圆？ 过点A可以作多少个圆？