高中数学 2.2.1双曲线的定义与标准方程课件 湘教版选修11
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解 法一 由椭圆方程2x72 ＋3y62 ＝1，得椭圆的两个焦点为F1(0， －3)，F2(0，3)．由椭圆与双曲线的交点A的纵坐标为4，可得这个 交点A( 15，4)．设所求双曲线的方程为ya22－bx22＝1(a＞0，b＞0)，
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法二 由椭圆方程，得焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，A 点坐标为( 15 ，4)．所以2a－|AF2||＝ （ 15）2＋（4＋3）2 －
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(2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点 F1、F2 叫做双曲线的 焦点 点之间的距离叫做双曲线的 焦距 ．
，两焦
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2(1．)焦双点曲在线x的轴标上准的方双程曲线的标准方程是ax22－by22＝1(a>0，b>0，) 焦点(F2)1焦(－点c在，0y)轴，上F的2 (双c，曲0线) 的标．准方程是ay22－bx22＝1(a>0，b>0，) 焦点 F1(0，－c) ，F2(0，c) ．
曲线上，所以
m9 ＋21265n＝1， 295m6＋2n5＝1，
解得
m＝－16， n＝9.
所以所求双曲线的
标准方程为－x12 6＋y92＝1，即y92－1x62 ＝1.
(2)因为双曲线的焦点在x轴上，c＝ 6，所以设所求双曲线方
程为
xλ2－
y2 6－λ
＝1(0＜λ
＜6)．因为双曲线过点(－5，2)，所以2λ5
(3)双曲线中 a、b、c 的关系是 c2＝a2＋b2 ． (4)已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设 为 Ax2＋By2＝1(A·B < 0)． (5)双曲线的标准方程中，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴 上，若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上．
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自主探究 1．双曲线的定义中，为什么常数要小于|F1F2|? 提示 (1)如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是 以 F1，F2 为端点的两条射线(包括端点)． (2)如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平 分线． (3)如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．
解析 原方程可化为xb2＋y2＝1，∵ab<0，∴ba<0， a
知曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.
答案 B
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3．与双曲线
x2 8
－
y2 10
＝1具有相同焦点的双曲线方程是
________(只写出一个即可)．
解析
与
x2 8
－
y2 10
＝1具有相同焦点的双曲线方程为
x2 8＋k
－
10y－2 k＝1(－8<k<10)．
2．2 双曲线 2．2.1 双曲线的定义与标准方程
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程．
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自学导引 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面上到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为定值 (小于 |F1F2| 且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的 点的轨迹为 以 F1、F2 为端点的两条射线 ． 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的 点的轨迹 不存在 ．
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2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数(小于|F1F2|) 的点的轨迹是不是双曲线？
提示 不是，是双曲线的某一支．
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预习测评
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－ |MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点的轨迹是以F1、F2为 焦点的双曲线，则甲是乙的( )．
－
4 6－λ
＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)．所以所求双曲线的标准方
程是x52－y2＝1.
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点评 求双曲线的标准方程，要先“定位”再“定量”．注
意过两点的双曲线方程可设为
x2 m
＋
y2 n
＝1(mn＜0)，避免讨论焦点
所在坐标轴．
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1．设双曲线与椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 有共同的焦点，且与椭圆相交， 在第一象限的交点 A 的纵坐标为 4，求此双曲线的方程．
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2．标准方程的理解 (1)标准方程的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－ c2(a>b>0)相区别，在椭圆中a>b>0，而在双曲线中，a，b大小则 不确定． (2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线 标准方程的类型，焦点跟着正项走．若x2项的系数为正，则焦点 在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 根据双曲线的定义：乙⇒甲，但甲⇒/ 乙，只有当 2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．
答案 B
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• 2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这曲线是( )．
• A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
• C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上
答案 x62－1y22 ＝1
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4．双曲线2x2－y2＝8上一点P到其一个焦点的距离为10，则P 点到另一个焦点的距离为________．
答案 6或14
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要点阐释 1．定义的理解 (1)定义中“小于|F1F2|且不等于零”这一限制条件十分重 要，其根据是“三角形两边之差小于第三边”，若2a＝2c，则点 的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若2a>2c，则点 的轨迹不存在；若2a＝0，则点的轨迹是线段F1F2的垂直平分 线． (2)距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，若F1， F2分别表示双曲线的左、右焦点，且|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在 左支上；若|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上．双曲线的点满足 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，2a＜|F1F2|，a>0}.
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典例剖析 题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P3，145，Q－136，5； (2)c＝ 6，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．
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解
(1)设双曲线方程为
x2 m
＋
y2 n
＝1(mn＜0)，因为点P，Q在双
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法二 由椭圆方程，得焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，A 点坐标为( 15 ，4)．所以2a－|AF2||＝ （ 15）2＋（4＋3）2 －
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(2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点 F1、F2 叫做双曲线的 焦点 点之间的距离叫做双曲线的 焦距 ．
，两焦
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2(1．)焦双点曲在线x的轴标上准的方双程曲线的标准方程是ax22－by22＝1(a>0，b>0，) 焦点(F2)1焦(－点c在，0y)轴，上F的2 (双c，曲0线) 的标．准方程是ay22－bx22＝1(a>0，b>0，) 焦点 F1(0，－c) ，F2(0，c) ．
曲线上，所以
m9 ＋21265n＝1， 295m6＋2n5＝1，
解得
m＝－16， n＝9.
所以所求双曲线的
标准方程为－x12 6＋y92＝1，即y92－1x62 ＝1.
(2)因为双曲线的焦点在x轴上，c＝ 6，所以设所求双曲线方
程为
xλ2－
y2 6－λ
＝1(0＜λ
＜6)．因为双曲线过点(－5，2)，所以2λ5
(3)双曲线中 a、b、c 的关系是 c2＝a2＋b2 ． (4)已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设 为 Ax2＋By2＝1(A·B < 0)． (5)双曲线的标准方程中，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴 上，若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上．
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自主探究 1．双曲线的定义中，为什么常数要小于|F1F2|? 提示 (1)如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是 以 F1，F2 为端点的两条射线(包括端点)． (2)如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平 分线． (3)如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．
解析 原方程可化为xb2＋y2＝1，∵ab<0，∴ba<0， a
知曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.
答案 B
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3．与双曲线
x2 8
－
y2 10
＝1具有相同焦点的双曲线方程是
________(只写出一个即可)．
解析
与
x2 8
－
y2 10
＝1具有相同焦点的双曲线方程为
x2 8＋k
－
10y－2 k＝1(－8<k<10)．
2．2 双曲线 2．2.1 双曲线的定义与标准方程
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程．
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自学导引 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面上到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为定值 (小于 |F1F2| 且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的 点的轨迹为 以 F1、F2 为端点的两条射线 ． 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的 点的轨迹 不存在 ．
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2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数(小于|F1F2|) 的点的轨迹是不是双曲线？
提示 不是，是双曲线的某一支．
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预习测评
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－ |MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点的轨迹是以F1、F2为 焦点的双曲线，则甲是乙的( )．
－
4 6－λ
＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)．所以所求双曲线的标准方
程是x52－y2＝1.
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点评 求双曲线的标准方程，要先“定位”再“定量”．注
意过两点的双曲线方程可设为
x2 m
＋
y2 n
＝1(mn＜0)，避免讨论焦点
所在坐标轴．
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1．设双曲线与椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 有共同的焦点，且与椭圆相交， 在第一象限的交点 A 的纵坐标为 4，求此双曲线的方程．
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2．标准方程的理解 (1)标准方程的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－ c2(a>b>0)相区别，在椭圆中a>b>0，而在双曲线中，a，b大小则 不确定． (2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线 标准方程的类型，焦点跟着正项走．若x2项的系数为正，则焦点 在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 根据双曲线的定义：乙⇒甲，但甲⇒/ 乙，只有当 2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．
答案 B
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• 2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这曲线是( )．
• A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
• C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上
答案 x62－1y22 ＝1
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4．双曲线2x2－y2＝8上一点P到其一个焦点的距离为10，则P 点到另一个焦点的距离为________．
答案 6或14
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要点阐释 1．定义的理解 (1)定义中“小于|F1F2|且不等于零”这一限制条件十分重 要，其根据是“三角形两边之差小于第三边”，若2a＝2c，则点 的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若2a>2c，则点 的轨迹不存在；若2a＝0，则点的轨迹是线段F1F2的垂直平分 线． (2)距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，若F1， F2分别表示双曲线的左、右焦点，且|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在 左支上；若|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上．双曲线的点满足 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，2a＜|F1F2|，a>0}.
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典例剖析 题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P3，145，Q－136，5； (2)c＝ 6，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．
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解
(1)设双曲线方程为
x2 m
＋
y2 n
＝1(mn＜0)，因为点P，Q在双