安徽省淮南市示范高中五校高一数学上学期第一次联考试卷(含解析)

2015-2016学年安徽省淮南市示范高中五校高一（上）第一次联考数
学试卷
一.选择题（共10小题，每小题4分，合计40分）
1．集合{1，2}的子集共有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列各组中的两个函数是相等函数的是（）
A．y=x与y=B．y=（）2﹣1与y=|x|﹣1
C．y=x2与y=D．y=
3．下列函数是奇函数的是（）
A．f（x）=x4B．f（x）=x+C．f（x）=x3﹣1 D．f（x）=
4．下列函数在区间（0，+∞）上是减函数的是（）
A．f（x）=3x﹣2 B．f（x）=9﹣x2C．D．f（x）=log2x
5．已知a=1.7﹣2.5，b=2.51.7，c=，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
6．已知lg2=a，lg3=b，则用a，b表示lg15为（）
A．b﹣a+1 B．b（a﹣1）C．b﹣a﹣1 D．b（1﹣a）
7．函数f（x）=2x+3x﹣7的零点所在的区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
8．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）
A．B．C．
D．
9．已知函数，若f（m）=2，则实数m的值为（）A．﹣1或2 B．﹣8或﹣1 C．﹣8或2 D．﹣8，﹣1或2
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，且f （﹣1）=0则不等式f（x）＜0的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）
二．填空题（共5小题，每小题4分，合计20分）
11．已知函数f（x）=3x3+2x，则f（2）+f（﹣2）= ．
12．函数f（x）=lg（1﹣x）+的定义域为．
13．函数在区间[0，1]上的最大值与最小值的和为．
14．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（1﹣x）的单调增区间
为．
15．下列说法中不正确的是（只需填写序号）
①设集合A=φ，则φ⊆A；
②若集合A={x|x2﹣1=0}，B={﹣1，1}，则A=B；
③在集合A到B的映射中，对于集合B中的任何一个元素y，在集合A中都有唯一的一个元素x与之对应；
④函数f（x）=的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；
⑤设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则a＞2．
三．解答题（共5小题，合计60分．请给出必要的解答过程）
16．计算：
（1）（π）0+2﹣2×（2）
（2）2log510+log50.25．
17．已知集合A={x|﹣2＜x≤4}，B={x|2﹣x＜1}，U=R，
（1）求A∩B．
（2）求A∪（∁U B）．
18．已知f（x）为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x．
（1）求当x∈（﹣∞，0）时，函数f（x）的解析式．
（2）在给出的坐标系中画出函数f（x）的图象，写出函数f（x）的单调区间，并指出单调性．
19．已知f（x）=x+ax﹣1（a＞0），
（1）若f（1）=2且f（m）=5，求m2+m﹣2的值；
（2）求实数a的范围使函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
20．设函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求f（0）；
（2）求证：函数f（x）是奇函数；
（3）若f（x）在[0，+∞）上是增函数，解不等式：f（lgx﹣1）＜0．
2015-2016学年安徽省淮南市示范高中五校高一（上）第一次联考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题4分，合计40分）
1．集合{1，2}的子集共有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】子集与真子集．
【专题】计算题；集合．
【分析】直接由子集公式计算公式2n计算即可得出
【解答】解：集合中有两个元素，故其子集的个数是22=4
故选D．
【点评】解答本题的方法有二，一是记忆公式，二是列举法，掌握求解的规律是解答的关键2．下列各组中的两个函数是相等函数的是（）
A．y=x与y=B．y=（）2﹣1与y=|x|﹣1
C．y=x2与y=D．y=
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．
【解答】解：对于A，y=x（x∈R）与y==x（x≠0）的定义域不同，所以不是相等函数；对于B，y=﹣1=x﹣1（x≥0）与y=|x|﹣1（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是相等函数；
对于C，y=x2（x∈R）与y==x2（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数；
对于D，y==x（x∈R）与y==|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是相等函数．
故选：C．
【点评】本题考查了根据函数的定义判断两个函数是否为相等函数的应用问题，是基础题目．
3．下列函数是奇函数的是（）
A．f（x）=x4B．f（x）=x+C．f（x）=x3﹣1 D．f（x）=
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：A．f（x）=x4为偶函数，
B．f（x）=x+为奇函数，
C．f（x）=x3﹣1为非奇非偶函数，
D．f（x）=为偶函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性，比较基础．
4．下列函数在区间（0，+∞）上是减函数的是（）
A．f（x）=3x﹣2 B．f（x）=9﹣x2C．D．f（x）=log2x
【考点】函数单调性的性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由条件利用函数的单调性的出结论．
【解答】解：由于函数f（x）=3x﹣2在区间（0，+∞）上是增函数，故排除A；
由于函数f（x）=9﹣x2在区间（0，+∞）上是减函数，故B满足条件；
由于f（x）=在区间（0，+∞）上，当x=1时，函数无意义，故C不满足条件，
由于f（x）=log2x在区间（0，+∞）上是增函数，故排除D，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
5．已知a=1.7﹣2.5，b=2.51.7，c=，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数及对数函数的单调性，即可比较出三个数的大小．
【解答】解：∵0＜1.7﹣2.5＜1，
2.51.7＞1，
＜0，
则c＜a＜b，
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键．
6．已知lg2=a，lg3=b，则用a，b表示lg15为（）
A．b﹣a+1 B．b（a﹣1）C．b﹣a﹣1 D．b（1﹣a）
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】利用对数运算法则化简求解即可．
【解答】解：lg2=a，lg3=b，
则lg15=lg3+lg5=lg3+1﹣lg2=b﹣a+1．
故选：A．
【点评】本题考查对数运算法则的应用，是基础题．
7．函数f（x）=2x+3x﹣7的零点所在的区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由函数的解析式可得f（1）•f（2）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f （x）=2x+3x﹣7的零点所在的区间．
【解答】解：∵函数f（x）=2x+3x﹣7，
∴f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（2）•f（3）＜0，
根据函数的零点的判定定理可得，函数f（x）=2x+3x﹣7的零点所在的区间是（1，2），
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
8．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．
【解答】解：根据指数函数y=（）x可知a，b同号且不相等
则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D
选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确
故选：A
【点评】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．
9．已知函数，若f（m）=2，则实数m的值为（）
A．﹣1或2 B．﹣8或﹣1 C．﹣8或2 D．﹣8，﹣1或2
【考点】分段函数的应用；函数的零点．
【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数列出方程，求解即可．
【解答】解：函数，若f（m）=2，
当m＞0时，m（m﹣1）=2，解得m=2，
当m≤0时，log3（1﹣m）=2，解得m=﹣8，
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点与方程根的关系，考查计算能力．
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，且f （﹣1）=0则不等式f（x）＜0的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（﹣1）=0，
∴f（﹣1）=f（1）=0，
则函数f（x）对应的图象如图：
则f（x）＜0的解为﹣1＜x＜1，
即不等式的解集为（﹣1，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
二．填空题（共5小题，每小题4分，合计20分）
11．已知函数f（x）=3x3+2x，则f（2）+f（﹣2）= 0 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，然后进行求值．
【解答】解：∵f（x）=3x3+2x，
∴f（﹣x）=﹣3x3﹣2x=﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数，
∴f（2）+f（﹣2）=f（2）﹣f（2）=0．
故答案为：0
【点评】本题主要考查函数奇偶性的定义的应用，本题也可以采用直接代入法进行求值．12．函数f（x）=lg（1﹣x）+的定义域为（﹣2，1）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得：﹣2＜x＜1．
∴函数f（x）=lg（1﹣x）+的定义域为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
13．函数在区间[0，1]上的最大值与最小值的和为．
【考点】函数的值域；指数函数单调性的应用．
【专题】数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】根据指数函数在区间[0，1]上单调递减，得出f（x）max=f（0），f（x）min=f（1），再相加即可．
【解答】解：因为指数函数在区间[0，1]上单调递减，
所以，f（x）max=f（0），f（x）min=f（1），
所以，f（x）max+f（x）min=f（0）+f（1）=1+=，
即函数在[0，1]上的最大值和最小值的和为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数值域的确定，涉及运用函数的单调性确定函数的最大值和最小值，属于基础题．
14．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（1﹣x）的单调增区间为（1，+∞）．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的单调性与特殊点．
【专题】数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】先根据图象所过的点求出函数解析式f（x）=x2，再根据二次函数的图象和性质求出函数f（1﹣x）的单调增区间．
【解答】解：因为幂函数f（x）=x a的图象经过点，
所以=2，解得a=2，
所以，f（x）=x2，
因此f（1﹣x）=（1﹣x）2=（x﹣1）2，
其图象为抛物线，且开口向上，对称轴为x=1，
所以，函数f（1﹣x）的单调增区间为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）（也可填：[1，+∞））．
【点评】本题主要考查了幂函数的单调性与特殊点，涉及二次函数的图象和性质，属于基础题．
15．下列说法中不正确的是③④⑤（只需填写序号）
①设集合A=φ，则φ⊆A；
②若集合A={x|x2﹣1=0}，B={﹣1，1}，则A=B；
③在集合A到B的映射中，对于集合B中的任何一个元素y，在集合A中都有唯一的一个元素x与之对应；
④函数f（x）=的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；
⑤设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则a＞2．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数思想；集合思想；集合；简易逻辑；推理和证明．
【分析】根据子集的定义及空集的性质，可判断①；解方程求出A，根据集合相等的定义，可判断②；根据映射的定义，可判断③；根据反比例函数的单调性，可判断④；求出满足条件的a的范围，可判断⑤．
【解答】解：①集合是任意一个集合的子集，故集合A=φ时，φ⊆A，即①正确；
②若集合A={x|x2﹣1=0}={﹣1，1}，B={﹣1，1}，则A=B，即②正确；
③在集合A到B的映射中，对于集合A中的任何一个元素y，在集合B中都有唯一的一个元素x与之对应，但对于集合B中的任何一个元素y，在集合A中可能没有对应的元素，也可能有多个对应的元素，故③错误；
④函数f（x）=的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），故④错误；
⑤设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则a≥2，故⑤错误．
故说法不正确的有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合的相关概念和函数的基本概念，难度不大，属于基础题．
三．解答题（共5小题，合计60分．请给出必要的解答过程）
16．计算：
（1）（π）0+2﹣2×（2）
（2）2log510+log50.25．
【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．
（2）利用对数运算法则化简求解即可．
【解答】解：（1）原式=1+×（）=1+×=；…（5分）
（2）原式=log5100+log50.25=log525=2．…（10分）
【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，是基础题．
17．已知集合A={x|﹣2＜x≤4}，B={x|2﹣x＜1}，U=R，
（1）求A∩B．
（2）求A∪（∁U B）．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】对应思想；定义法；集合．
【分析】（1）化简集合B，根据交集的定义求出A∩B；
（2）先求出补集∁U B，再根据并集的定义求出A∪（∁U B）．
【解答】解：（1）∵B={x|2﹣x＜1}={x|x＞1}，A={x|﹣2＜x≤4}，
∴A∩B={x|1＜x≤4}；…（6分）
（2）∵∁U B={x|x≤1}，
∴A∪（∁U B）={x|x≤4}．…（12分）
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
18．已知f（x）为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x．
（1）求当x∈（﹣∞，0）时，函数f（x）的解析式．
（2）在给出的坐标系中画出函数f（x）的图象，写出函数f（x）的单调区间，并指出单调性．
【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）设x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞），从而利用偶函数得f（x）=log2（﹣x）（x∈（﹣∞，0））；
（2）分段作出函数图象，从而由图象知f（x）的单调增区间是：（0，+∞），单调减区间是：（﹣∞，0）．
【解答】解：（1）设x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞），
所以f（﹣x）=log2（﹣x），
又f（x）为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
所以f（﹣x）=f（x），
所以f（x）=log2（﹣x）（x∈（﹣∞，0））；
（2）作函数图象如下，
由图象可知，
f（x）的单调增区间是：（0，+∞），单调减区间是：（﹣∞，0）．
【点评】本题考查了函数的性质的应用及数形结合的思想应用，同时考查了学生的作图的能力．
19．已知f（x）=x+ax﹣1（a＞0），
（1）若f（1）=2且f（m）=5，求m2+m﹣2的值；
（2）求实数a的范围使函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数的值．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）可由f（1）=2得到a=1，而根据f（m）=5便可得到m+m﹣1=5，该式两边平方便可得出m2+m﹣2的值；
（2）根据增函数的定义，设任意的x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，然后作差，通分，提取
公因式，便可得到，从而可以得到a＜x1x2
在（1，+∞）上恒成立，而x1x2＞1，从而得到a≤1，这便得出了实数a的范围．
【解答】解：（1）由f（1）=2得a=1；
∴f（x）=x+x﹣1；
由f（m）=5得m+m﹣1=5；
∴（m+m﹣1）2=25；
即m2+m﹣2+2=25；
∴m2+m﹣2=23；
（2）设1＜x1＜x2，则：
=
；
因为f（x）在区间（1，+∞）上是增函数；
所以＜0，由1＜x1＜x2得x1﹣x2＜0，x1x2＞0；
∴x1x2﹣a＞0在（1，+∞）上恒成立；
即a＜x1x2在（1，+∞）上恒成立；
又x1x2＞1，∴a≤1；
∴实数a的范围为（﹣∞，1]．
【点评】本题考查已知f（x）求f（x0）的方法，完全平方式的运用，增函数的定义，作差的方法比较f（x1），f（x2）的大小，作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x1﹣x2．
20．设函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求f（0）；
（2）求证：函数f（x）是奇函数；
（3）若f（x）在[0，+∞）上是增函数，解不等式：f（lgx﹣1）＜0．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）令x=y=0，代入计算即可得到f（0）=0；
（2）可令y=﹣x，结合f（0）=0，可得f（﹣x）=﹣f（x），再由定义域关于原点对称，即可得证；
（3）由题意可得f（x）在R上递增，可得lgx﹣1＜0，由对数不等式的解法即可得到所求解集．
【解答】解：（1）令x=y=0得f（0）=2f（0），
即f（0）=0；
（2）证明：令y=﹣x代入得f（0）=f（x）+f（﹣x），
由f（0）=0，所以f（x）=﹣f（﹣x），
又函数定义域为R，故f（x）是奇函数．
（3）因为f（x）在[0，+∞）上是增函数且f（x）是奇函数，
所以f（x）在R上是增函数，
由f（lgx﹣1）＜0及f（0）=0得
f（lgx﹣1）＜f（0），
所以lgx﹣1＜0即lgx＜1，
解得：0＜x＜10，
故解集为：{x|0＜x＜10}．
【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式的解法，属于中档题．。