人教版高中数学必修一函数与方程、不等式之间的关系(2)-课件
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即(0 )f(0 ) <0 ,零点位于区间[a0 , b0 ] 中.
(2)取区间[0 ，0 ]的中点,则此中点对应的坐标为
0 = 0 +
1
2
0 − 0 =
1
(0
2
+ 0 ) 计算f(0 )和f(0 )，并判断：
①如果f(0 )＝0，则0 就是f(x)的零点，计算终止；
[1.3125, 1.375]
1.34175
f(1.34375)>0
[1.3125, 1.34375]
∵1.3125 ≈ 1.3, 1.34375 ≈ 1.3, 即两端精确到0.1时的近似
值相等了,
∴ 结束，且知: 近似解为1.3.
3. 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)在D内取一个闭区间 [a0 , b0 ] D, 使 f (a 0 )与 f (b0 ) 异号，
1
故判别式 1 4a 0, a ,
4
1
综上，当a 0或 a 时，函数f(x)仅有一个零点.
4
例4. 若二次函数f(x)＝x2 − 2x＋m在区间(0,4)上存在零
点，求实数m的取值范围.
解析： m＝ − x2＋2x在(0,4)上有解，
又− x2＋2x＝ −(x − 1)2＋1，
B. [2, 3]和[3, 4]
C. [2, 3],[3,4]和[4, 5]
D. 以上均有可能
答案： D
5
-52.488
6
-232.064
（一）二分法
1. 二分法的概念
对于在区间 [a, b] 上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区
∴f(x)在区间[1, 1.5]上存在零点,
取区间[1, 1.5]作为计算的初始区间,
用二分法逐次计算列表如下:
端(中)点 中点函数值
坐标
符号
零点所在区间
[1, 1.5]
1.25
f(1.25)<0
[1.25, 1.5]
1.375
f(1.375)>0
[1.25, 1.375]
1.312 5
f(1.312 5)<0
令2 ＝1 , 2 ＝1 .
(4)继续实施上述步骤，直到区间 [ , ]，当 和 按照
给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就
是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止.这时函数y＝f(x)的近
似零点满足给定的精确度.
例2.给出四个函数图像，不能用二分法求函数零点的是( )
确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.
（二）零点综合应用
例3. 若函数f(x)＝ax2 − x − 1仅有一个零点，求实数a的取
值范围.
解：①若a＝0，则f(x)＝ − x − 1为一次函数，易知函数仅
有一个零点；
②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零
点，则方程ax2 − x − 1＝0有两个相等的实数根，
②如果f(0 )·f(0 )<0，则零点位于区间 0 , 0 上，
令 1 ＝0 ，b1＝0 ；
③如果f(0 )·f(0 )>0，则零点位于区间 [0 ,0 ]上，
令1 ＝0 , 1 ＝0 .
(3)取区间[1 ，1 ]的中点,则此中点对应的坐标为
1 = 1 +
y f ( x)
∴f(x)的大致图象如图所示：
则a应满足
a 0,
f (2) 0,
或
a 0,
∴y＝ − x2＋2x在(0,4)上的值域为(− 8,1]，
∴ − 8< m ≤1.
例5.已知关于x的二次方程ax2 − 2(a＋1)x＋a − 1＝0有两
个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的
取值范围.
解: 令f(x)＝ax2 − 2(a＋1)x＋a − 1，依题意知，函数f(x)
有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.
北京市中小学空中课堂
函数与方程、不等式之间的关系(市第八中学
一、复习
1. 函数的零点
函数零点的定义: 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的
函数值等于零，即f(α)＝0，则α叫做函数y＝f(x)的零点.
2.零点存在定理
y f ( x)
( a, b)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，
并且f(a)f(b)<0 (即在区间两个端点处的函数值异号) ，
则函数在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，
f(x0)＝0.
练习1. 若函数f(x)＝x2 ＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝
____，b＝_____.
解析： ∵2， − 4是函数f(x)的零点，
∴f(2)＝0，f(− 4)＝0，即
1
2
1 − 1 =
1
(1
2
+ 1 ) 计算f(1 )和f(1 )，并判断：
①如果f(1 )＝0，则1 就是f(x)的零点，计算终止；
②如果f(1 )·f(1 )<0，则零点位于区间 1 , 1 上，
( a, b)
令 2 ＝1 ，b2＝1 ；
③如果f(1 )·f(1 )>0，则零点位于区间 [1 ,1 ]上，
A
答案A
B
C
D
练习. 求函数f(x)＝x3 ＋2x2 －3x－6的一个正的零点
(精确到0.1).
解：由于f(1)= − 6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1，2]作为
计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
至此可以看出，区间[1.718 75, 1.734 375]的左右端点精
确到0.1的近似值都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精
2a b 4,
a 2,
解得
4a b 16,
b 8.
练习2. 已知函数f(x)的部分x、f(x)的对应关系如下表:
x
f(x)
1
136.136
2
15.552
3
-3.92
4
10.88
则函数f(x)存在零点的区间为( )
A. [1, 2] 和 [2, 3]
间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的
方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，
可用二分法来求方程的近似解.
例1. 求函数f(x)=x3−x−1在区间[1, 1.5]内的一个零点
(精确度0.1) .
解：由于f(1)=1−1−1 = −1<0,
f(1.5) = 3.375−1.5−1 = 0.875 > 0,
(2)取区间[0 ，0 ]的中点,则此中点对应的坐标为
0 = 0 +
1
2
0 − 0 =
1
(0
2
+ 0 ) 计算f(0 )和f(0 )，并判断：
①如果f(0 )＝0，则0 就是f(x)的零点，计算终止；
[1.3125, 1.375]
1.34175
f(1.34375)>0
[1.3125, 1.34375]
∵1.3125 ≈ 1.3, 1.34375 ≈ 1.3, 即两端精确到0.1时的近似
值相等了,
∴ 结束，且知: 近似解为1.3.
3. 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)在D内取一个闭区间 [a0 , b0 ] D, 使 f (a 0 )与 f (b0 ) 异号，
1
故判别式 1 4a 0, a ,
4
1
综上，当a 0或 a 时，函数f(x)仅有一个零点.
4
例4. 若二次函数f(x)＝x2 − 2x＋m在区间(0,4)上存在零
点，求实数m的取值范围.
解析： m＝ − x2＋2x在(0,4)上有解，
又− x2＋2x＝ −(x − 1)2＋1，
B. [2, 3]和[3, 4]
C. [2, 3],[3,4]和[4, 5]
D. 以上均有可能
答案： D
5
-52.488
6
-232.064
（一）二分法
1. 二分法的概念
对于在区间 [a, b] 上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区
∴f(x)在区间[1, 1.5]上存在零点,
取区间[1, 1.5]作为计算的初始区间,
用二分法逐次计算列表如下:
端(中)点 中点函数值
坐标
符号
零点所在区间
[1, 1.5]
1.25
f(1.25)<0
[1.25, 1.5]
1.375
f(1.375)>0
[1.25, 1.375]
1.312 5
f(1.312 5)<0
令2 ＝1 , 2 ＝1 .
(4)继续实施上述步骤，直到区间 [ , ]，当 和 按照
给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就
是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止.这时函数y＝f(x)的近
似零点满足给定的精确度.
例2.给出四个函数图像，不能用二分法求函数零点的是( )
确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.
（二）零点综合应用
例3. 若函数f(x)＝ax2 − x − 1仅有一个零点，求实数a的取
值范围.
解：①若a＝0，则f(x)＝ − x − 1为一次函数，易知函数仅
有一个零点；
②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零
点，则方程ax2 − x − 1＝0有两个相等的实数根，
②如果f(0 )·f(0 )<0，则零点位于区间 0 , 0 上，
令 1 ＝0 ，b1＝0 ；
③如果f(0 )·f(0 )>0，则零点位于区间 [0 ,0 ]上，
令1 ＝0 , 1 ＝0 .
(3)取区间[1 ，1 ]的中点,则此中点对应的坐标为
1 = 1 +
y f ( x)
∴f(x)的大致图象如图所示：
则a应满足
a 0,
f (2) 0,
或
a 0,
∴y＝ − x2＋2x在(0,4)上的值域为(− 8,1]，
∴ − 8< m ≤1.
例5.已知关于x的二次方程ax2 − 2(a＋1)x＋a − 1＝0有两
个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的
取值范围.
解: 令f(x)＝ax2 − 2(a＋1)x＋a − 1，依题意知，函数f(x)
有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.
北京市中小学空中课堂
函数与方程、不等式之间的关系(市第八中学
一、复习
1. 函数的零点
函数零点的定义: 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的
函数值等于零，即f(α)＝0，则α叫做函数y＝f(x)的零点.
2.零点存在定理
y f ( x)
( a, b)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，
并且f(a)f(b)<0 (即在区间两个端点处的函数值异号) ，
则函数在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，
f(x0)＝0.
练习1. 若函数f(x)＝x2 ＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝
____，b＝_____.
解析： ∵2， − 4是函数f(x)的零点，
∴f(2)＝0，f(− 4)＝0，即
1
2
1 − 1 =
1
(1
2
+ 1 ) 计算f(1 )和f(1 )，并判断：
①如果f(1 )＝0，则1 就是f(x)的零点，计算终止；
②如果f(1 )·f(1 )<0，则零点位于区间 1 , 1 上，
( a, b)
令 2 ＝1 ，b2＝1 ；
③如果f(1 )·f(1 )>0，则零点位于区间 [1 ,1 ]上，
A
答案A
B
C
D
练习. 求函数f(x)＝x3 ＋2x2 －3x－6的一个正的零点
(精确到0.1).
解：由于f(1)= − 6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1，2]作为
计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
至此可以看出，区间[1.718 75, 1.734 375]的左右端点精
确到0.1的近似值都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精
2a b 4,
a 2,
解得
4a b 16,
b 8.
练习2. 已知函数f(x)的部分x、f(x)的对应关系如下表:
x
f(x)
1
136.136
2
15.552
3
-3.92
4
10.88
则函数f(x)存在零点的区间为( )
A. [1, 2] 和 [2, 3]
间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的
方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，
可用二分法来求方程的近似解.
例1. 求函数f(x)=x3−x−1在区间[1, 1.5]内的一个零点
(精确度0.1) .
解：由于f(1)=1−1−1 = −1<0,
f(1.5) = 3.375−1.5−1 = 0.875 > 0,