概率论与数理统计第三节 频率与概率.ppt3(最新版)

由概率的公理化定义可推得概率的下列性质 . 性质1 P 0 .
证 因为 由于上式右端可列个事件两两互斥 , 故由概率公
理化定义的可列可加性, 有 P P 再由概率的非负性可得,
P 0 .
性质 5 对于任何事件 A , 有
P A 1 P A .
证
因为
A A ,且 AA .
所以 1 P S P A A P A P A 即
P A 1 P A .
性质 6 设 A, B 为任意两个事件 , 则
第三节 频率与概率
上一讲中，我们了解到，随机 现象有其偶然性的一面，也有其必 然性的一面，这种必然性表现在大 量重复试验或观察中呈现出的固有 规律性，称为随机现象的统计规律 性. 而概率论正是研究随机现象统 计规律性的一门学科. 现在，就让 我们一起，步入这充满随机性的世 界，开始第一步的探索和研究.
2084 4040 12000 1061 2048 6019
频率 f n ( A) 0.518 0.5069 0.5016
Pearson
24000
12012
0.5005
频率和概率
频率的稳定性 随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发
生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数 的增加更加明显。可见, 在大量重复的试验中,随机 事件出现的频率具有稳定性.即通常所说的统计规律 性.
n
n
1
n 1
P A1 A2 An
例题
1、 设P(A)>0,P(B)>0,将下列四个数 P(A),P(AB),P(A)+P(B),
P( A B), 按由小到大的顺序排列，用 “ ”联系他们，并指出在什么情况下可能 有等式成立？
2 设 P(A)=P(B)=P(C)=1/3,P(AB)=P(AC)=0, P(BC)=1/4,求 A,B,C至少有一事件发生的概率.
P P P
注意: 概率为0的事件不等价于不可能事件
概率为1的事件不等价于必然事件
性质 2
设有限个事件 A1 ,A2 ,, An 两两互不相容 ,则
P A1 A2 An P A1 P A2 P An .
解 1由于 A、B 互斥 , 所以
于是 所以
1 P BA P B . 2
B A BA B

A
B
A、B 互斥
2 因为 A B , 所以
P BA P B A P B P A 1 1 1 . 2 4 4
B
A
一、频率的定义
频率
设在 n 次重复试验中 ,事件 A 出现了 nA 次 ,
则称 nA 为事件 A 在 n 次试验中出现的频数 ,比值 nA 为事件 A 在 n 次试验中出现的频率 , 记为 f n A , n 即 f n A . n
性质:
1)
0 f n ( A) 1 ;
由此性质还可推得
P A B P A P B .
而且此结果 还可以推广 :
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P A B C D P A P B P C P D
P A P B .

又由概率的非负性, 有 P A B P A P B 0
即
性质 4 对于任一事件 A , 都有 P A 1 .
证 因为对于任一事件A , 都有 A 故由性质 4 , 可得 P A P 1 .

A B

A
3 P BA P B AB
P B P AB 1 1 7 . 2 9 18
AB
B
A B
练习题 在某城市中发行三种报纸A, B, C , 经调查 订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C 报的有30%，同时订阅A及B报的有10%，同时 订阅A及C 报的有8%，同时订阅C 及B报的有 5%，同时订阅A及B及C 报的有3%，试求下列 事件的概率：
P A B P A P B 并且 P A P B .
性质 3 设 A、B 为两事件 , 且 A B , 则
证 如图 ,因为 A B , 所以 A B A B 并且 B A B A B 于是由性质 2 , 可得 P A P B P A B A B 也即 P A B P A P B ,
P A B P A P B P AB
证 如图所示 ,
A B A B AB
而且
所以
P A B P A P B AB
A B AB

A
AB
B
P A P B P AB .
nH
251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
fn(H)
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
表2
试验者 De Morgan Bufen Pearson
“正面向上”次 抛币次数n 数
2)
f n (S ) 1;
A1 , A2 , , Ak 是两两互不相容事件, f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak ) 则
3) 若
例：抛硬币出现的正面的频率 表 1
试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n =5 n =50 n =500
3 对于两两互不相容的事件 A1, A2 ,, 有
可列可加性
P A1 A2 P A1 P A2
事件发生 的频繁程度
事件发生
的可能性的大小
频 率
稳 定 值
概 率
频率的性质
概率的公理化定义
注记: 概率的公理化定义给每个随机试验E 提供了一个统一的理论结构,对E上的每个 随机事件A,所对应的实数P(A)用以度量A发 生的可能性的大小,称为A的概率.但是该定 义没有给出具体的对应法则,只规定了这种 对应所满足的三个公理化要求.概率论的主 要任务就是在概率的公理化定义下研究随 机现象的有关规律性.
nH
2 3 1 5 1 2 4 2 3 3
fn0.6 0.6
nH
22 25 21 25 24 21 18 24 27 31
fn(H)
0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62
教学内容
1 频率的定义与性质; 2 概率的统计定义与概率的基本性质;
教学重点
概率的性质
• 一、提出问题
1.大量的重复试验后,事件发生的可能性有大 有小,怎样来认识和刻画它？
2.频率，我们比较熟悉。它和概率有关系吗? 可以给我们哪些启示呢？
二 问题分析
• 我们观察一项随机试验所发生的各个事件, 就其一次具体的试验而言,每一事件出现与 否都带有很大的偶然性,似乎没有规律可言. 但是在大量的重复试验后,就会发现: 某些 事件发生的可能性大些,另外一些事件发生 的可能性小些,而有些事件发生的可能性大 致相同.
P AB P AC P AD P BC P BD P CD
P ABC P ABD P BCD P ACD P ABCD
P Ai P Ai P Ai A j P Ai A j Ak 1 i , j n 1 i , j ,k n i 1 i 1
这个定义也称为 概率的统计定义 .
二、概率的定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , S 是它的
样本空间 , 对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA ,
称之为事件 A 的概率 , 如果它满足下列三个条件 : 1 P A 0 ; 非负性
2 P S 1 ; 规范性
事件的概率
事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用 来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A 的概率
概率的统计定义
对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n次
试验，事件Ａ发 生的频率 m/n，随着试验次数n的
增大而稳定地在某个常数 附近摆动那么称p为事件
Ａ的概率
P( A) p
当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频 率近似的代替事件A的概率，
1 只订A报的； 2 只订A及B报的； 3 只订一种报的； 4 正好订两种报纸的； 5 至少订阅一种报纸的； 6 不订阅任何报纸的； 7 最多订阅一种报纸的。
这一讲，我们介绍了
概率的公理化定义
它给出了概率所必须满足的最基本的 性质，为建立严格的概率理论提供了一个 坚实的基础.
由概率所必须满足的三条公理，我们 推导出概率的其它几条重要性质. 它们在 计算概率时很有用，尤其是加法公式.
三、小结
频率的定义 概率的公理化定义及概率的性质 事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发 生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率 是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标. 它介于0与1之间.
• 比如,一个箱子中装有100只产品,其中95只 是合格品,5只是次品.从其中任意拿出一只, 则拿到合格品的可能性就比拿到次品的可 能性大. • 假如这100只产品中的合格品与次品都是50 只,则拿到合格品与拿到次品的可能性就大 致相同.
• 所以,一个事件发生的可能性大小是它本身 所固有的一种客观的度量. 很自然,人们希望 用一个数来描述事件发生的可能性大小,而 且事件发生可能性大的, 这个数就大; 事件 发生可能性小的, 这个数就小. • 为此,我们引入频率的概念, 它描述了事件在 多次试验中发生的频繁程度,进而引出表征 事件在一次试验中发生的可能性大小的数 量指标——概率.
3、 设随机事件A和B的概率满足 P(AB)=P(AB) 且P(A)=p,求P(B)
1 例1 设 A、B 为两个随机事件 , 且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2 1 1 A 与 B 互斥 ; 2 A B ; 3 P AB . 9
证 因为
A1 A2 An A1 A2 An
所以由可列可加性及性 1 , 有 质
P A1 P A2 P An P P
P A1 A2 An P A1 A2 An P A1 P A2 P An 0 0 P A1 P A2 P An .