(全国通用)高考数学一轮总复习第五章平面向量、解三角形5.3解三角形专用题组理新人教B版

（全国通用）高考数学一轮总复习第五章平面向量、解三角形5.3解三角形专用题组理新人教B版
考点一正弦、余弦定理
答案 A 由正弦定理得sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin B,即sin Bsin(A+C)=sin B,因为sin B≠0,所以sin B=,所以∠B=或π,又因为a>b,故∠B=,选A.
19.(2013陕西,7,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
答案 B 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
得sin(B+C)=sin2A,∴sin A=1,即A=.故选B.
20.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.
答案7
解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsin A=10得sin A=,因为A为锐角,所以A=60°,cos A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-2×40×=49,故a=7,即BC=7. 评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键. 21.(2013浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC=.
答案
解析令∠BAM=β,∠BAC=α,
故|CM|=|AM|sin(α-β),
∵M为BC的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β).
在△AMB中,由正弦定理知:=,
即=,
∵sin β=,∴cos β=,
∴=cos α·
=sin αcos α-cos2α,
整理得1=2sin αcos α-cos2α,
解得tan α=,故sin α=.
评析本题考查解三角形,正弦定理的应用和三角函数求值问题.考查学生的图形观察能力和数据处理能力.如何利用M是BC中点是解答本题的关键.
22.(2012湖北,11,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .
答案
解析由已知得a2+b2-c2=-ab,
∴cos C==-,
∴C=.
评析本题考查余弦定理,考查学生的运算求解能力.
23.(2012重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c= .
答案
解析∵A,B,C为三角形内角且cos A=,cos B=,
∴sin A=,sin B=.
sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B
=×+×=.
由正弦定理=,得c=b×=3×=.
评析本题考查同角三角函数关系及正弦定理.
24.(2013北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(1)求cos A的值;
(2)求c的值.
解析(1)因为a=3,b=2,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得=.
所以=.故cos A=.
(2)由(1)知cos A=,所以sin A==.
又因为∠B=2∠A,
所以cos B=2cos2A-1=.
所以sin B==.
在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.
所以c==5.
评析本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式和诱导公式的熟练应用是解决本题的关键.
考点二解三角形及其综合应用
16.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( ) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24
答案 A 设△ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=π-B,A+B=π-C.于是sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+⇒sin 2A+sin 2B=-sin 2C+⇒sin 2A+sin 2B+sin 2C=⇒2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=⇒2sin C·[cos(A-B)-cos(A+B)]=⇒4sin Asin Bsin C=⇒sin Asin Bsin C=.
则S=absin C=2R2·sin Asin Bsin C=R2∈[1,2],∴R∈[2,2],∴abc=8R3sin Asin Bsin C=R3∈[8,16 ],知C、D均不正确.bc(b+c)>bc·a=R3≥8,∴A正确.事实上,注意到a、b、c 的无序性,并且16>8,若B成立,则A必然成立,排除B.故选A.
17.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.
(1)求tan C的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.
又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,
解得tan C=2.
(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.
又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.
由正弦定理得c=b,
又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.
评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 18.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,
又sin B≠0,从而tan A=,
由于0<A<π,所以A=.
(2)解法一:由a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,
得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,
因为c>0,所以c=3.
故△ABC的面积为bcsin A=.
解法二:由正弦定理,得=,
从而sin B=,
又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin
=sin Bcos+cos Bsin=.
所以△ABC的面积为absin C=.
19.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.
(1)证明:tan=;
(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.
解析(1)tan===.
(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.
由(1),有tan+tan+tan+tan
=+++
=+.
连结BD.
在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,
在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,
所以AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A.
则cos A===.
于是sin A===.
连结AC.同理可得
cos B===,
于是sin B===.
所以,tan+tan+tan+tan
=+
=+
=.
评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
20.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.
(1)求sin∠BAD;
(2)求BD,AC的长.
解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,
所以sin∠ADC=.
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B
=×-×=.
(2)在△ABD中,由正弦定理得
BD===3.
在△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B
=82+52-2×8×5×=49.
所以AC=7.
评析本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.
21.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.
解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.
由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.
∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sin A+sin C=2sin(A+C).
(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cos B==≥=,
当且仅当a=c时等号成立.
∴cos B的最小值为.
评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.
22.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin的值.
解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a=2b·.
因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.
(2)由余弦定理得cos A===-.
由于0<A<π,所以sin A===.
故sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.
评析本题考查正、余弦定理,三角变换等知识,属容易题.
23.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A=,求△ABC的面积.
解析(1)由题意得
-=sin 2A-sin 2B,
即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,
sin=sin.
由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得
2A-+2B-=π,
即A+B=,
所以C=.
(2)由c=,sin A=,=,得a=,
由a<c,得A<C.从而cos A=,
故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,
所以,△ABC的面积为S=acsin B=.
评析本题主要考查诱导公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时
考查运算求解能力.
24.(2013四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-.
(1)求cos A的值;
(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.
解析(1)由2cos2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-,
即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.
则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.
(2)由cos A=-,0<A<π,得sin A=,
由正弦定理,有=,所以sin B==.
由题意知a>b,则A>B,故B=.
根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,
解得c=1或c=-7(舍去).
故向量在方向上的投影为||cos B=.
评析本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化等数学思想.
25.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长. 解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,
所以a=3.
又由正弦定理得sin B===,
由题设知0<B<,所以cos B===.
在△ABD中,由正弦定理得AD==
==.
26.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.
(1)证明:B-A=;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
解析(1)由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin.
又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.
(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,
所以A∈.
于是sin A+sin C=sin A+sin
=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1
=-2+.
因为0<A<,所以0<sin A<,
因此<-2+≤.
由此可知sin A+sin C的取值范围是.
评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的
严谨性有较高要求.
27.(2013江西,16,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin
A)cos B=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
解析(1)由已知得
-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,
即有sin Asin B-sin Acos B=0,
因为sin A≠0,所以sin B-cos B=0,
又cos B≠0,所以tan B=,
又0<B<π,所以B=.
(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.
因为a+c=1,cos B=,所以b2=3+.
又0<a<1,于是有≤b2<1,即有≤b<1.
28.(2013课标全国Ⅰ,17,12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
解析(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos 30°=.故PA=.
(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α.
在△PBA中,由正弦定理得=,
化简得cos α=4sin α.
所以tan α=,即tan∠PBA=.
评析本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过PB把△PBC和△PAB联系起来利用正弦定理是解题关键.
29.(2012江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin-csin=a.
(1)求证:B-C=;
(2)若a=,求△ABC的面积.解析(1)证明:由bsin-csin=a,应用正弦定理,得sin Bsin-sin Csin=sin A,
sin B-sin C sin B+cos B=,
整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1,
由于0<B,C<π,从而B-C=.
(2)B+C=π-A=,因此B=,C=.
由a=,A=,得b==2sin,c==2sin,所以△ABC的面积S=bcsin A=sin·sin=cos·sin=.
评析本题主要考查解三角形的基本知识,运用正弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式进行求解,考查了推理运算能力及应用意识.。