凸函数的性质和一些不等式的证明

高等教育自学考试
毕业论文
论文题目：凸函数的性质和一些不等式的证明
作者姓名：XXX
专业：数学教育
主考学校：兰州大学数学与统计学学院＿＿
准考证号： XXXXXXXXXXXX
指导教师姓名职称：XXX
甘肃省高等教育自学考试办公室印制
2013 年 3 月 4 日
XX 专业
论文标题:凸函数的性质和一些不等式的证明 论文标题（Properties of convex function and
inequality ）
论文作者（XX ） 论文作者（XXXXXXXXX ）
数学专业 本科论文
目录
内容摘要： (4)
关键词： (4)
一、凸函数 (5)
1.凸函数的定义 (5)
2.常见的凸函数 (6)
4.凸函数的定理 (6)
二.凸函数在证明不等式中的简单应用 (7)
1．凸函数在几何平均值中的应用 (7)
2．凸函数在Young不等式中的应用 (9)
3.凸函数在Jensen不等式中的应用 (9)
4.凸函数在三角不等式中的应用 (10)
注释： (11)
参考文献： (11)
凸函数的性质和一些不等式的证明
——凸函数的证明
XX
内容摘要：
我们通过学习通过我们熟知的一元二次函数:y=x2一些凸函数的定义、概念和它的性质，还有凸函数在Jensen不等式、三角不等式中的应用，让我们了解凸函数的用途。

并且用它的一些特殊的性质来解决我们实际生活中的实际问题。

关键词：
凸函数、性质、Jensen不等式、三角不等式、
一、 凸函数
1.凸函数的定义
我们都学习了二元一次的函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧线总在这两点连线的下方。

我们把具有这一种特性的曲线称为凸的
由此，我们定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧线总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数.
上面的定义只是简单的描述性定义，下面我们介绍关于凸函数的精确定义，以便于我们更好的利用它的性质。

在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：
定义1 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,x x 恒有 12
12()()
(
)2
2
x x f x f x f ++≤
那么称()f x 在(,)a b 内是凸函数.
定义2 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,,(0,1)x x λ∈ ，有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ 则称()f x 在(,)a b 内是凸函数.
上图是凸函数的几何形
2.常见的凸函数
1.2.1 )0()(<=k x x f k 或)0(>k ,x x x f ln )(=均为(0,)∞内的严格凸函数;
1.2.2 22
()ln(1),()(0)x f x e f x c x c =+=
+≠均为(,)-∞+∞内的严格凸函数.
3.凸函数的性质
性质1 设()f x 为凸函数，0k >为常数，则()kf x 是凸函数：若()(1,2,...,)i f x i n =
是凸函数，则1
()n
i i f x =∑ 仍是凸函数：若()u ϕ是增凸函数，()u f x =也是凸函数，
则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.
性质2 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则在(,)a b 的任一闭合子区间上有确界. 性质3 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则()f x 在(,)a b 内一定连续.
4.凸函数的定理
定理1 ()f x 是区间I 上的凸函数的充要条件是：对于满足1
1n
i i λ==∑ 的任意
12,,...,0n λλλ≥ ，有：1
1
()()
n
n
i i i
i i i f x f x λλ
==≤
∑∑ 12,,...,n x x x I ∀∈ (1)
定理2 若()f x 在区间I 上二阶可微，则()f x 在I 上是凸函数的充要条件是：
f ()0x ≥ ，x I ∈ (2)
y
0 X
定理3 设f 为区间I 上的可导函数，则下列论述互相等价： 1) f 为I 上的凸函数； 2) f '为I 上的增函数；
3) 对I 上的任意两点x 1、x 2，有 4) f (x 2)f ≥(x 1)+f '（x 1）（x
x 1
2-
）.
5.凸函数的不等式
1.5.1 Jensen 不等式
定义4 设函数f （x ）定义在某一区间上，对于这区间的任意，如果恒有
f ()()2f f 2
x x x
x 212
1
+≥⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+,
则称f （x ）在这区间上是凸函数。

例 用琴森不等式证明G A n n ≥
证明 设f(x)=㏑x ，对于任意两个相异正实数x ，y ，有 ㏑n
n
x x
x
x
x
n
n
lg
...lg
lg (2)
1
2
1
x
++≥⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
+++
=lg x x
x n n
...2
1
.
因为lgx 在定义域区间上是增函数，所以
n
n n
x x
x x x
x
n
(2)
1
2
1
≥
++
，即G
A
n
n
≥
二.凸函数在证明不等式中的简单应用
1．凸函数在几何平均值中的应用
在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式
可在凸函数框架下统一证明.
例1 讨论函数f （x ）=arctanx 的凸性区间. 解 由于()()
x 2
1x
2x f +-=
''，因而当x 0≤时，()0x f ≥''；x 0≥时()0x f ≤''.从而在
(]0，∞-上f 为凸函数.
例1 设0,1,2,...,i a i n >= ，证明：
12121
2
......111...n
n
n n
a a a n
a a a n
a a a +++≤
≤
+++
证明 设()ln ,(0,)f x x x =-∀∈∞ ，有0
1)(2
''>=x
x f ，从而，函数()ln f x x
=-在(0,)∞是严格凸函数， 取 121(0,),,1,2,...,,...1i i i n x a q i n q q q n
=∈∞==+++=
有 1212ln ln ln ln(...)...n n a a a a a a n
n
n
n
n
n
-+
++
≤-
-
--
或 n
n n n n n
n
a a a a a a n
a a a ...ln
)ln ...ln (ln ...ln
211
12
11
21-=+++-≤+++-
即 1212......n
n n a a a a a a n
+++≤
取 1211(0,),,1,2,...,,...1i i n i
x q i n q q q a n
=
∈∞=
=+++=
同样方法，有
121
2
...111...n
n n
n
a a a a a a ≤
+++
于是，n N +∀∈ ， 有
12121
2
......111...n
n
n n
a a a n
a a a n
a a a +++≤
≤
+++
2．凸函数在Young 不等式中的应用
凸函数在Y oung 不等式中应用很广.现在让我们来看看凸函数在Y oung 不等是怎么应
用的
例2 若0,0,0,0,0a b p q ε>>>>> 且
111p q
+=，求证：Y oung 不等式
p
q q p
a b ab p
q εε
≤+
证明 从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形。

不妨不等式两边同取自然对数，则有 ln()ln(
)p
q q p
a b ab p
q εε
<+
由此很容易找到合适的凸函数。

考察函数()ln (0)f x x x =->，因为
01)(2
'
'>=
x
x f ，
由定理1知，()f x 在0x >时为凸函数，因为有
110,0,
1p q p
q
>>+
=， 所以
1
11
111ln(
)ln()ln()ln()ln()ln()p
q p
q
p p
p
p
q
p
a b a b a b ab p
p
q
q εεεεε
ε
-
-
-+
≤-
-
=--=-
于是 ln()(
)p
q q p
a b ab ln p
q εε
≤+
即 p
q q p
a b ab p
q εε
≤
+
特别地，当1,2p q ε=== 时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式。

3.凸函数在Jensen 不等式中的应用
例3 设,[0,]i i p R x π+∈∈ ，证明： 112211221212...sin sin ...sin sin
......n n
n n
n
n
p x p x p x p x p x p x p p p p p p ++++++≥
++++++
证明 取()sin f x x =-它是[0,]π 上的凸函数，由Jensen 不等式，得
112211221212...sin sin ...sin sin
......n n
n n
n
n
p x p x p x p x p x p x p p p p p p ++++++-≤-
++++++
所以 112211221212...sin sin ...sin sin
......n n
n n
n
n
p x p x p x p x p x p x p p p p p p ++++++≥
++++++
特别的：（1）如果在这个不等式中，令1(1,2,...,)i p i n == 则得 1212 (i)
sin sin ...sin n
n
x x x n x x x n
+++≥+++ ；
（2）对于三角形的三个内角,,αβγ，有 33sin sin ...sin 3sin
3
2
αβγ
αβγ+++++≤=
4.凸函数在三角不等式中的应用
凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下。

例4 设(0,)2
x π
∈，证明：1cos 21cos 2(sin )(cos )2
x x x x -++≥
证明 先将原不等式化为 2
2
2sin 2cos (sin )(cos )2x x x x +≥ 因为()x f x x = 为(0,)∞上的凸函数，故当0,0a b >>时，有 ()(
)
()2
2
a b f a f b f ++≤
令22sin ,cos a x b x ==则 1
22
2sin cos 11
2
(
)(
)()()2
2
222
a b x x
f f f ++====
而
2
2
2
sin 2
cos ()()
(sin )
(cos )2
2
x
x
f a f b x x ++=
所以 2
2
2sin 2cos (sin )(cos )2x x x x +≥
注释：
[1]华东师范大学数学系.数学分析.高等教育出版社.148页
[2]李长明周焕山.初等数学研究.高等教育出版社.1995年6月.266页. 参考文献：
[1]吴良森数学分析（上册）高等教育出版社 2001年.
[2]李长明周焕山.初等数学研究.高等教育出版社.1995年6月.
[3]高尚华数学分析（下册）高等教育出版社。

2001年（2010年重印）
[4] 摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）
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水平
30% 20% 20% 20% 5% 5% 100%
得分
指
导
教
师
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语
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委员
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