2021年高三数学上学期9月调考试卷 文(含解析)

2021年高三数学上学期9月调考试卷文（含解析）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）
1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={1，x}，若B⊆A，则x=（）
A．1B． 2 C．2或4 D．1或2或4
2．（5分）如图，在复平面内，复数z
1和z
2
对应的点分别是A和B，则=（）
A．﹣i B．﹣+i C．﹣i D．﹣+i 3．（5分）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）
A．y=x3B．y=ln（﹣x）C．y=xe﹣x D．y=x+
4．（5分）已知向量、满足||=2，||=3，|﹣|=，则•=（）
A．﹣B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
5．（5分）已知，则sin2α=（）
A．﹣B．﹣C．D．
6．（5分）图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．8πC．D．
7．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
8．（5分）若a=2x，b=logx，则“a＞b”是“x＞1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
9．（5分）某圆的圆心在直线y=2x上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（）
A．（x﹣2）2+（y﹣4）2=20
B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20
C．（x﹣2）2+（y﹣4）2=20或（x+2）2+（y+4）2=20
D．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20或（x+4）2+（y+2）2=20
10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．14 B．15 C．16 D．17
11．（5分）函数的图象大致是（）
A．B．C．D．
12．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与此抛物线相交于A、B两点，O是坐标原点，当||≤||时，直线AB的斜率的取值范围是（）
A．∪（0，] B．（﹣∞，﹣2]∪，
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．（5分）若实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为．
14．（5分）某渔民在鱼塘中随机打捞出60条大鱼，对它们做了标记后放回鱼塘，在几天后的又一次随机捕捞中打捞出80条大鱼，且其中包含标记后的大鱼5条，则鱼塘中大鱼的数量的估计值为．
15．（5分）若函数f（x）=sin（x+φ）+cos（x+φ）（|φ|＜）为偶函数，则φ=．
16．（5分）底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为a的正三棱柱外接球的表面积为．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（10分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．
18．（12分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC=2a﹣c．（1）求角B；
（2）若△ABC的面积S=，a+c=4，求b的值．
19．（12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．
（1）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；
（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率．
20．（12分）如图所示几何体是正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥B1﹣A1BC1后所得，点M为A1C1的中点．
（1）求证：A1C1⊥平面MBD；
（2）当正方体棱长等于时，求三棱锥D﹣A1BC1的体积．
21．（12分）如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，满足M•m=a2．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，求的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）=，其中a为实数，常数e=2.718…．
（1）若x=是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）当a取正实数时，求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=﹣4时，直接写出函数f（x）的所有减区间．
吉林省长春市xx届高三上学期9月调考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）
1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={1，x}，若B⊆A，则x=（）
A．1 B．2 C．2或4 D．1或2或4
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：集合．
分析：有B⊆A，集合B的元素都是集合A的元素．
解答：解：由题可得x=2或x=4才能满足集合的互异性．
故选：C．
点评：本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性．
2．（5分）如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）
A．﹣i B．﹣+i C．﹣i D．﹣+i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的几何意义、运算法则即可得出．
解答：解：由图可知：z1=i，z2=2﹣i，
则则====．
故选：D．
点评：本题考查复数的除法运算、几何意义，属于基础题．
3．（5分）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）
A．y=x3B．y=ln（﹣x）C．y=xe﹣x D．y=x+
考点：利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．
解答：解：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项y=x3单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值．
故选：D．
点评：本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查．
4．（5分）已知向量、满足||=2，||=3，|﹣|=，则•=（）
A．﹣B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：由|﹣|=两边平方，结合向量的模的平方等于向量的平方，即可得到所求的值．解答：解：由|﹣|=，
且|﹣|2=2+2﹣2=4+9﹣2=17，
可知=﹣2．
故选C．
点评：本题主要对向量的运算进行考查，考查向量的数量积的性质，考查运算能力．
5．（5分）已知，则sin2α=（）
A．﹣B．﹣C．D．
考点：二倍角的正弦．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：条件两边平方，结合二倍角公式即可求解．
解答：解：将两边平方得，，
可得，
故选B．
点评：本题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值．
6．（5分）图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．8πC．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：V=V半球﹣V圆锥，由三视图可得球与圆锥内的长度．
解答：解：球的半径为2，圆锥的半径为2，高为2；
则V=V半球﹣V圆锥
=，
故选：D．
点评：本题通过三视图考查几何体体积的运算．
7．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得结论．
解答：解：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，
作差可得8d=16，即d=2．
故选：B．
点评：本题考查数列基本量的求法．
8．（5分）若a=2x，b=logx，则“a＞b”是“x＞1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：函数的性质及应用；简易逻辑．
分析：先画出函数的图象，根据图象以及充分条件，必要条件的定义即可判断a＞b与x ＞1的关系．
解答：解：如图，x=x0时，a=b，∴若a＞b，则得到x＞x0，且x0＜1，∴a＞b不一定得到x＞1；
∴a＞b不是x＞1的充分条件；
若x＞1，则由图象得到a＞b，∴a＞b是x＞1的必要条件；
∴a＞b是x＞1的必要不充分条件．
故选：B．
点评：本题考查指数函数、对数函数图象，充分条件，必要条件，必要不充分条件的概念．
9．（5分）某圆的圆心在直线y=2x上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（）
A．（x﹣2）2+（y﹣4）2=20
B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20
C．（x﹣2）2+（y﹣4）2=20或（x+2）2+（y+4）2=20
D．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20或（x+4）2+（y+2）2=20
考点：圆的标准方程．
专题：计算题；直线与圆．
分析：设圆心为（a，2a），半径为R，利用在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，即可求出该圆的方程．
解答：解：由题意可设圆心为（a，2a），半径为R，
则有R2=a2+4=4a2+16或R2=a2+16=4a2+4，
解得a=±2，
故选：C．
点评：本题考查圆的标准方程以及弦长的基本知识．
10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．14 B．15 C．16 D．17
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．
解答：解：第一次循环：，n=2；
第二次循环：，n=3；
第三次循环：，n=4；
…
第n次循环：=，n=n+1
令解得n＞15
∴输出的结果是n+1=16
故选：C．
点评：本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．
11．（5分）函数的图象大致是（）
A．B．C．D．
考点：函数的图象．
专题：计算题．
分析：利用函数的奇偶性可排除B，再通过导数研究函数的单调性进一步排除，即可得到答案．
解答：解：∵y=f（﹣x）==﹣f（x），
∴y=f（x）=为奇函数，
∴y=f（x）的图象关于原点成中心对称，可排除B；
又x＞0时，f（x）=，f′（x）=，
∴x＞e时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上单调递减，
0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上单调递增，故可排除A，D，而C满足题意．故选C．
点评：本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性与单调性，着重考查导数的应用，属于中档题．
12．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与此抛物线相交于A、B两点，O是坐标原点，当||≤||时，直线AB的斜率的取值范围是（）
A．∪（0，] B．（﹣∞，﹣2]∪，
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由题可知，点B的横坐标时，满足，此时，即可求出直线AB（即直线FB）的斜率的取值范围．
解答：解：由题可知，点B的横坐标时，满足，此时，
故直线AB（即直线FB）的斜率的取值范围是．
故选：D．
点评：本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识．
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．（5分）若实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为1．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z 在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．
解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分
由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小
由题意可得，当y=﹣2x+z经过点C时，z最小
由，可得C（0，1），
此时z=1
故答案为：1．
点评：本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义
14．（5分）某渔民在鱼塘中随机打捞出60条大鱼，对它们做了标记后放回鱼塘，在几天后的又一次随机捕捞中打捞出80条大鱼，且其中包含标记后的大鱼5条，则鱼塘中大鱼的数量的估计值为960．
考点：收集数据的方法．
专题：计算题；概率与统计．
分析：设鱼塘中大鱼数量的估计值为M，有，即可得出结论．
解答：解：设鱼塘中大鱼数量的估计值为M，有，从而估算出M=960．
故答案为：960．
点评：本题考查用样本对总体的估计，考查学生的计算能力，比较基础．
15．（5分）若函数f（x）=sin（x+φ）+cos（x+φ）（|φ|＜）为偶函数，则φ=．
考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的求值．
分析：由题意可知为偶函数，所以，根据，有
解答：解：为偶函数，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
点评：本题考查三角函数奇偶性、两角和差公式和诱导公式运用．对三角函数的性质能熟练记忆．
16．（5分）底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为a的正三棱柱外接球的表面积为．
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
解答：解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，
设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，
则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，
在直角三角形EDA1中，EA1=，
在直角三角形ODA1中，OE=，由勾股定理R=OA1=，
∴球的表面积为S=4π•=．
故答案为：．
点评：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（10分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）设出公比，利用已知条件列出关系式，即可求解公比与首项，然后求数列{a n}的通项公式；
（2）通过b n=log2a n，得到通项公式b n，然后求解数列{a n+b n}的前n项和T n．
解答：解：（1）设等比数列的公比为q，有，
解得a1=2，q=2，所以；（5分）
（2）由（1）知，有，
从而．（10分）
点评：本题考查数列通项公式及其前n项和公式的求法，数列求和的方法拆项法的应用，考查计算能力．
18．（12分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC=2a﹣c．（1）求角B；
（2）若△ABC的面积S=，a+c=4，求b的值．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）根据正弦定理2bcosC=2a﹣c可化为2sinBcosC=2sinA﹣sinC，即
2sinBcosC=2sin（B+C）﹣sinC整理求得cosB，进而求得B．
（2）由面积，求得ac，进而根据a+c，求得a=c=2，由可得△ABC为等边三角形，求得b．解答：解：（1）根据正弦定理，2bcosC=2a﹣c可化为2sinBcosC=2sinA﹣sinC，
即2sinBcosC=2sin（B+C）﹣sinC
整理得2sinCcosB=sinC，
即，．
（2）∵，
∴ac=4，
∵a+c=4，
∴a=c=2，
∵，
∴△ABC为等边三角形，
∴b=2．
点评：小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力．
19．（12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．
（1）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；
（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
专题：计算题；概率与统计．
分析：（1）利用古典概型的概率公式，即可得出结论；
（2）由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，列举基本事件，即可求这两人获得相等优惠金额的概率．
解答：解：（1）设事件A=“某人获得优惠金额不低于300元”，则．（6分）
（2）设事件B=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出两人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个，其中使得事件B 成立的为b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个，则．（12分）
点评：本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过考查随机抽样，对学生的数据处理能力提出较高要求．
20．（12分）如图所示几何体是正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥B1﹣A1BC1后所得，点M为A1C1的中点．
（1）求证：A1C1⊥平面MBD；
（2）当正方体棱长等于时，求三棱锥D﹣A1BC1的体积．
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）分别证明出DM⊥A1C1和BM⊥A1C1，进而根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面MBD；
（2）先求得M到BD的距离进而求得△MBD的面积，进而利用体积公式求得答案．
解答：解：
（1）证明：因为几何体是正方体ABCD﹣A1B1C1D1截取三棱锥B1﹣A1BC1后所得，
；
（2）由题意知，点M到BD的距离为，
则△MBD的面积为，由（1）知A1C1⊥平面MBD
所以．
点评：本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识．本题通过分层设计，考查了空间直线与平面的垂直关系，简单几何体体积的求法，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
21．（12分）如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，满足M•m=a2．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，求的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）设F（﹣c，0）（c＞0），利用椭圆性质得M=a+c，m=a﹣c，通过M•m=a2．推出a=2c，即可求该椭圆的离心率；
（2）求出椭圆的方程为．判断直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为y=k （x+c），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，利用韦达定理求出G的坐标，通过DG⊥AB，化简D的横坐标，通过Rt△FGD与Rt△EOD相似，即可求的取值范围．
解答：（本小题满分12分）
解：（1）设F（﹣c，0）（c＞0），则根据椭圆性质得M=a+c，m=a﹣c，
而，所以有，
即a2=4c2，a=2c，
因此椭圆的离心率为．（4分）
（2）由（1）可知a=2c，，
椭圆的方程为．
根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，
设直线AB的方程为y=k（x+c），
并设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由消去y并整理得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2﹣12c2=0
从而有，（6分）
．
因为DG⊥AB，所以，．
由Rt△FGD与Rt△EOD相似，
所以．（12分）
点评：本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力．
22．（12分）已知函数f（x）=，其中a为实数，常数e=2.718…．
（1）若x=是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）当a取正实数时，求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=﹣4时，直接写出函数f（x）的所有减区间．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）通过x=，利用函数f（x）的一个极值点，列出关系式即可求a的值；（2）当a取正实数时，利用导数以及导函数为0，判断函数的符号，即可求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=﹣4时，结合（2）即可直接写出函数f（x）的所有减区间．
解答：（本小题满分12分）
（1）解：（2分）
因为是函数f（x）的一个极值点，所以，
即．
而当时，，
可验证：是函数f（x）的一个极值点．因此．（4分）
（2）当a取正实数时，，
令f'（x）=0得ax2﹣2ax+1=0，
当a＞1时，解得．
所以当x变化时，f'（x）、f（x）的变化是
x
f'（x）+ 0 ﹣0 +
f（x）↗极大值↘极小值↗
所以f（x）的单调递增区间为，，
单调减区间为；
当0＜a≤1时，f'（x）≥0恒成立，故f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞）．（9分）（3）当a=﹣4时，f（x）的单调减区间是，，．
点评：本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力．26886 6906 椆> 6.25184 6260 扠T737602 92E2 鋢*f25546 63CA 揊0y38495 965F 陟。