建力第2章 结构的计算简图

第一篇
结构的力学计算模型
第2章结构的计算简图
【内容提要】
本章简要介绍力与力偶的相关概念和性质、约束与约束力的基本概念，重点介绍结构的计算简图，并通过受力分析举例加以说明。

建筑工程结构设计的第一步就是结构模型的建立，并对其进行受力分析。

因此，本章内容是结构受力分析的基础，也是结构内力计算的基础。

【学习目标】
1. 了解力与力偶的相关概念和性质，掌握力矩的计算方法。

2. 了解约束与约束力的概念，能对常见的约束和约束力进行分析。

3. 理解结构计算简图的概念，熟练掌握杆件结构的简化方法。

4. 熟练掌握结构受力分析步骤，能够完整、准确地画出构件和结构的受力图。

5. 初步具有恰当选取工程中常见结构计算简图的能力，基本真实地反映实际结构的主要特征。

§2－1 力与力偶
2－1－1 刚体和变形体
实践表明，任何物体受力作用后，总会产生一些变形。

但在通常情况下，绝大多数构件或零件的变形都是很微小的。

研究证明，在很多情况下，这种微小的变形对物体的外效应影响甚微，可以忽略不计，即认为物体在力作用下大小和形状保持不变。

我们把这种在力作用下不产生变形的物体称为刚体，刚体是对实际物体经过科学的抽象和简化而得到的一种理想模型。

当然，在研究力的内效应或研究力对物体产生的变形时，就必须如实地将物体看作可变形的、可破坏的变形体。

2－1－2 力的概念
人们在长期生活和实践中，建立了力的概念：力是物体间的相互作用，这种作用使物体运动状态或形状发生改变。

例如图2－1中弹簧能够伸长是由于人用力拉弹簧使其变形，在这同时人的手也能感觉到车和弹簧对自己的作用力。

因此，一个物体受到力的作用，必定有别的物体对它施加了这种作用。

受力物体和施力物体是相对而言的。

物体间的相互作用可分为两类：一类是物体间直接接触的相互作用，另外一类是场和物体间的相互作用。

图2－1
物体在受到力的作用后，产生的效应可以分为两种： 一种是使物体运动状态改变，称为运动效应或外效应；另一种是使物体的形状发生变化，称为变形效应或内效应。

静力学主要研究物体的外效应。

实践证明，力对物体的作用效果，取决于三个要素，即力的大小、方向和作用点。

这三个要素通常称为力的三要素。

当这三个要素中的任何一个改变时，力的效应也将发生变化。

在国际单位制中，力的单位是N （牛顿）或kN （千牛顿）。

力作用在物体上都有一定的范围。

当力的作用范围与物体相比很小时，可以近似地看作是一个点，该点就是力的作用点。

作用于一点的力称为集中力。

而当力作用的范围不能看作一个点时，则该力称为分布力。

一般情况下，我们在讨论力的运动效应时，分布力通常可以用一个与之等效的集中力来代替。

力是一个既有大小，又有方向的量，所以力是矢量。

力通常可用一段带箭头的线段来表示。

如图2－2所示，线段的长度表示力的大小；线段与某确定直线的夹角表示力的方位，箭头表示力的指向；线段的起点或终点表示力的作用点。

(a) (b)
图2－2
对于分布力来说，我们可以将其理解为单位长度或单位面积上的力。

用力的线集度或力的面集度来度量，其单位相应变为N/m 或2
m /N 。

2－1－3 静力学公理
静力学公理是人类在长期的生产和生活实践中，经过反复观察和实验总结出来的普遍规律。

它阐述了力的一些基本性质，是静力学的基础。

（1）作用与反作用公理
两个物体间相互作用的一对力，总是大小相等，方向相反，沿同一直线，并分别而且同时作
用在这两个物体上。

这个公理概括了任何两个物体间相互作用的关系。

有作用力，必定有反作用力。

两者总是同时存在，又同时消失。

因此，力总是成对地出现在两相互作用的物体上的。

（2）二力平衡公理
作用在同一刚体上的两个力，使刚体平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。

如图2－3 a、b所示。

(a) (b)
图2－3
必须注意，不能将二力平衡问题和作用与反作用关系混淆。

二力平衡公理中的两个力是作用在同一物体上的，作用与反作用公理中的两个力分别作用在不同物体上。

虽然都是大小相等、方向相反并且作用在一条直线上，但含义不同。

若一根杆（直杆或曲杆）只在两点受力的作用而平衡，则作用在此两点的二力方向必在这两点的连线上。

此杆称为二力杆，如图2－4a。

受二力作用而平衡的物体，称为二力构件，如图2－4 b、c和d。

(a) (b) (c) (d)
图2－4
（3）加减平衡力系公理
作用于刚体的任意力系中，加上或减去任何一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。

因为平衡力系不会改变物体的运动状态，即平衡力系对物体的运动效果为零，所以在物体的原力系加上或减去一个平衡力系，不会改变物体的运动效果。

推论：力的可传性原理：
作用在刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内任意一点，而不改变原力对刚体的作用效应，如图2－5所示。

图2－5
实践经验告诉我们，在水平道路上用水平力F推车（图2－6a）或沿同一直线用水平力F拉车（图2－6b），两者对车（视为刚体）的作用效应相同。

图2－6
由力的可传性原理可知，对刚体而言，力的作用点已不是决定其效应的要素之一，而是由作用线取代。

因此，作用于刚体上的力的三要素可改为：力的大小、方向和作用线。

注意：此原理只适用于刚体，那么对于变形体情况如何？如图2－7a为一刚性杆，在A、B 两端作用有一对大小相等、方向相反的拉力，刚体处于平衡状态；如果将二力沿杆分别传至另一端，刚性杆虽然受压，但平衡状态不变。

如果将刚性杆换成柔性绳（图2－7b），在原来的拉力作用下绳平衡；如果将力传递到另一端，绳将失去平衡。

(a) (b)
图2－7
（4）力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力也作用于该点，其大小和方向由以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。

如图2－8a。

为了简便，只须画出力的平行四边形的一半即可。

其方法是：先从任一点O画出某一分力，再自此分力的终点画出另一分力，最后由O点至第二个分力的终点作一矢量，它就是合力R，这种求合力的方法，称为力的三角形法则。

如图2－8 b、c。

(a) (b) (c)
图2－8
（5）三力平衡汇交定理
一刚体受共面不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。

三力平衡汇交定理常用来确定物体在共面不平行的三个力作用下平衡时其中未知力的方向。

三力平衡汇交定理也可以从实践中得到验证。

例如，小球搁置在光滑的斜面上，并用绳子拉住，这时小球受到重力G、绳子的拉力T和斜面的支承力N的作用。

如果这三个力的作用线不汇交于一点，如图2－9a、b，则此小球不会平衡。

只有当小球滚动到如图2－9c、d所示的三力汇交于一点的情况下，小球才能处于平衡状态。

(a) (b) (c) (d)
图2－9
2－1－4 力对点之矩
力对点之矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念，现以扳手拧螺钉（图2－10）为例来说明。

O
图2－10
在扳手的A点施加一个力F，将使扳手和螺钉一起绕螺钉中心O转动，这就是说，力F有使扳手产生转动的效应。

实践证明，这种转动效应不仅与力F的大小成正比，而且还与螺钉中心O到该力作用线的垂直距离成正比。

另外，力F使扳手绕O点转动的方向不同，作用效果也不同。

通常，顺时针转动，螺钉将被拧紧；逆时针转动，螺钉将被松开。

因此我们用力F 的大小与O 点到力F 作用线的垂直距离的乘积Fh ，再冠以适当的正负号，来度量力F 使物体绕O 点转动的效应，称为力F 对O 点之矩，简称力矩。

记作)(F M O ，计算公式为
Fh F M O ±=)( （2－1）
式中：O ——力矩中心，简称矩心；
h ——力臂，式中正负号表示力矩的转向。

通常规定力使物体绕矩心作逆时针方向转
动时力矩为正值，反之则为负值。

在平面问题中，力矩是一个代数量。

力矩的单位常用m N ⋅或m kN ⋅。

由力矩的定义容易得出力矩有如下性质：
（1）力矩的值与矩心位置有关，同一个力相对不同的矩心，其力矩不同。

（2）力沿其作用线任意移动时，力矩不变。

（3）力的作用线通过矩心，或当力的大小等于零时，力矩为零。

根据合力与分力的关系，可以导出合力矩定理：合力对平面内任一点之矩等于其各分力对同一点之矩的代数和。

以图2－10为例，可以将力F 分解为沿OA 方向的分力x F 和垂直于OA 方向的分力y F ，显然
x F =αcos F ，y F =αsin F （2－2） 根据合力矩定理，则有
)(F M O =)(x O F M +)(y O F M =αsin Fl （2－3）
而根据力矩定义，计算结果为
)(F M O =Fh =αsin Fl （2－4） 两者的计算结果相同。

力矩的计算方法有直接法与间接法两种。

（1）直接法：按定义进行，即找力臂、求乘积、定符号。

（2）间接法：当力臂不便求出时，可将该力分解成为两个力臂已知的力，然后利用合力矩定理求出。

这种方法可简化力矩的计算。

例2－1 试计算图2－11中力F 对A 点之矩。

已知F ，a ，b 。

解 方法1：由定义求)(F M A 。

首先求力臂。

由图中几何关系得
h =αsin AE =αsin )(ED AD -=ααsin )cot (b a -=ααcos sin b a -
)(F M A =Fh =ααcos sin Fb Fa -
方法2：由合力矩定理求)(F M A 。

由上述可见，计算力臂h 较麻烦。

现将力F 分解为互相垂直的两个分力x F 和y F ，如图2－11所示，利用合力矩定理可方便地计算出力F 对A 点之矩为
)(F M A =)(x A F M +)(y A F M =a F b F y x +-
=b F αcos -+a F αsin =ααcos sin Fb Fa -
例2－2 分别计算图2－12中重力w F 及水平力F 对箱体上A 点之矩。

解 本题用直接法计算力臂较为困难，而用合力矩定理则较为简便。

选取坐标系如图2－12所示，将此二力分别沿两坐标轴方向分解后，所得分力对A 点之矩的力臂极易求出，于是
)(F M A =)(x A F M +)(y A F M =b F αcos -+a F αsin =ααcos sin Fb Fa -
同理，)(W A F M =+-2sin b F W α2cos a F W α=ααsin 2
cos 2b F a F W W -
图2－11 图2－12
例2－3 求图2－13所示各分布荷载对A 点的矩。

解 沿直线平行分布的线荷载可以合成为一个合力。

合力的方向与分布荷载的方向相同，合力作用线通过荷载图的重心，其合力的大小等于荷载图的面积。

根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该点之矩。

（1）计算图2－13a 三角形分布荷载对A 点的力矩。

m kN 31322
1)(⋅-=⨯⨯⨯-=q M A （2）计算图2－13b 均布荷载对A 点的力矩为：
m kN 185.134)(⋅-=⨯⨯-=q M A
（3）计算图2－13c 梯形分布荷载对A 点之矩。

此时为避免求梯形形心，可将梯形分布荷载分解为均布荷载和三角形分布荷载，则有：
m kN 152322
15.132)(⋅-=⨯⨯⨯-⨯⨯-=q M A
图2－13
2－1－5 力偶的概念和性质
在日常生活中，经常见到物体同时受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行但不共线的一对力作用而转动的情形。

例如，钳工用双手拧螺钉和汽车司机用双手转动方向盘时，所施加的力F 和F '，就是这样的两个力，如图2－14所示。

（a ）丝锥拧螺钉 （b ）转动方向盘
图2－14
力学中，把作用于物体上的一对等值、反向、平行的力组成的力系称为力偶，记作（F 和F '）。

力偶中，二力作用线间的垂直距离d 称为力偶臂，二力所在的平面称为力偶的作用面。

力偶具有如下特点：
（1）力偶不会引起物体的移动效应，只能使物体发生转动效应（纯转动）。

（2）力偶中的二力不满足二力平衡公理，故不是平衡力系。

（3）力偶在任何坐标轴上的投影都等于零。

实践证明，力偶对物体的转动效应与组成力偶的力之大小和力偶臂的长度成正比，若组成力偶的力F （或F '）越大以及力偶臂d 越大，则力偶使物体的转动效应就越强，反之就越弱。

在力学上把力偶中力的大小与力偶臂的乘积Fd 并冠以适当的正负号称为此力偶的力偶矩，它可以用来度量力偶在其作用面内对物体的转动效应。

记作),(F F M '或M ，即
Fd F F M ±='),( （2－5） 力偶矩与力矩一样，在平面上也是代数量。

正负号规定同力矩，即力偶使物体逆时针转动时，力偶矩为正，反之为负。

力偶矩的单位亦与力矩的单位相同，即m N ⋅或m kN ⋅。

综上所述，力偶对物体的转动效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向及力偶的作用面，此即力偶的三要素。

力偶是由两个具有特殊关系的力组成的力系，它表现出了与单个力不同的特性。

（1）力偶无合力。

由于力偶中的二力等值、反向、平行，此二力在任一轴上的投影之和均为零，故力偶无合力，即力偶既不能与一个力等效，也不能与一个力平衡，力偶只能与力偶等效，也只能与力偶相平衡。

这是力偶的独特性质。

（2）力偶对其作用面内的任一点之矩，恒等于该力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。

设有一力偶),(F F '，力偶臂为d ，如图2－15所示。

在其作用面内任取一点O 为矩心，设O 点到F '作用线的距离为x ，则该力偶对O 点之矩为
),(F F M '=)(0F M +)(0F M '
=M Fd x F d x F =='-+)(
图2－15
结果表明力偶矩与矩心位置无关。

可以证明，作用在刚体上同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则此二力偶彼此等效。

由此不难得出力偶的另外两个性质。

（3）力偶可在其作用面内任意移动或转动，而不改变它对刚体的转动效应。

（4）在保持力偶矩不变的情况下，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不改变它对刚体的转动效应。

由以上讨论可以看出，力偶中力的大小、力偶臂的长短及力偶在其作用面内的位置，都不能独立地决定力偶对刚体的转动效应，只有力偶矩的代数值才能唯一地决定力偶对刚体的转动效应。

故表示力偶时，可不必画出力和力偶臂，而是用一个弧形箭头表示力偶的转向，并在箭头附近标出力偶矩的绝对值，如图2－16所示。

(a) (b) (c)
图2－16
§2－2 约束与约束力
2－2－1 约束与约束力的概念
自由体是运动不受任何限制的物体。

如飞行的炮弹、火箭等。

相反如果某些方向的运动受到限制的物体称为非自由体，如梁、柱等。

工程构件的运动大多受到某些限制，因而都属于非自由体。

对非自由体起限制作用的物体称为约束体，简称约束。

如地基是基础的约束，基础是柱子（或墙）的约束等。

约束是阻碍物体运动的物体，这种阻碍作用就是力的作用。

阻碍物体运动的力称为约束力。

所以，约束力的方向总是与物体运动或运动趋势的方向相反。

这是确定约束力的方向或作用线位置的主要依据。

由此可以把物体受到的力归纳为两类：一类是使物体运动或使物体有运动趋势的主动力，如重力、水压力、土压力、风压力等；另一类是约束体对物体的约束力，又称被动力。

一般主动力是已知的，而约束力是未知的。

在受力分析计算中，约束力和已知的主动力共同作用使物体平衡，利用平衡条件就可以求解出约束力。

由于当前建筑工程越来越复杂，故其约束类型也越来越多，现将工程中常见的约束类型和约束力介绍如下：
（1）柔体约束
柔软的绳索、链条、胶带等用于阻碍物体的运动时，都称为柔体约束。

其特点是只能承受拉力，不能承受压力。

所以柔体约束只能限制物体沿柔体中心线且离开柔体的运动，而不能限制物体沿其他方向的运动。

因此，柔体约束的约束反力通过接触点，其方向沿着柔体的中心线且背离物体（为拉力）。

常用T表示，如图2－17所示。

图2－17
（2）光滑接触面约束
物体与约束体接触面光滑，摩擦力可以忽略不计时，就是光滑接触面约束。

这类约束不能限制物体沿约束表面公切线的位移，只能阻碍物体沿接触表面公法线并指向约束物体方向的位移。

因此，光滑接触面约束对物体的约束力是作用于接触点，沿接触面的公法线且指向物体的压力，常用N表示，如图2－18a所示。

当两个物体中有一个接触面是尖角时，公法线应是另一物体的法线，如图2－18b。

(a) (b)
图2－18
（3）圆柱铰链约束
圆柱铰链简称铰链，是由一个圆柱形销钉插入两个物体的圆孔中构成，并且认为销钉和圆孔的表面都是光滑的，如图2－19a、b所示。

常见的铰链实例如门窗用的合页。

圆柱铰链的筒图如图2－19c所示。

销钉只能限制物体在垂直于销钉轴线平面内任意方向的相对移动，而不能限制物体绕销钉的转动。

当物体相对于另一物体有运动趋势时，销钉与圆孔壁将在某点接触，约束力通过销钉中心与接触点，由于接触点的位置一般不能预先确定，所以，圆柱铰链的约束力是垂直于销钉轴线并通过销钉中心，而方向不定，如图2－19e、f所示。

图2－19
（4）链杆约束
两端用铰链与物体连接且中间不受力（自重忽略不计）的刚性杆（可以是直杆，也可以是曲杆）称为链杆，如图2－20g中虚线AB杆。

链杆只在两端各有一个力作用而处于平衡状态，故链杆为二力杆，如图2－20a、d、g中的AB杆。

这种约束只能阻止物体沿着杆两端铰连线的方向运动，不能阻止其他方向的运动。

所以链杆的约束反力方向沿着链杆两端铰连线，指向未定。

链杆约束的计算简图及其反力如图2－20e和f。

图2－20
2－2－2 常见的支座与支座反力
工程中将结构或构件支承在基础或另一静止构件上的装置称为支座。

支座也是约束。

支座对它所支承的构件的约束力称为支座反力。

现将工程中常见的支座介绍如下：
（1）固定铰支座（铰链支座）
用圆柱铰链把结构或构件与支座底板连接，并将底板固定在支承物上构成的支座称为固定铰支座（图2－21a）。

固定铰支座的计算简图如图2－21b或图2－21c所示。

这种支座能限制构件在垂直于销钉平面内任意方向的移动，而不能限制构件绕销钉的转动。

可见固定铰支座的约束性能与圆柱铰链相同，固定铰支座对构件的支座反力也通过铰链中心，而方向不定。

如图2－21d 或图2－21e所示。

图2－21
在工程实际中，桥梁上的某些支座比较接近理想的固定铰支座，而在房屋建筑中这种理想的支座很少，通常把限制移动，而允许产生微小转动的支座都视为固定铰支座。

例如，在房屋建筑
当中的屋架，它的端部支承在柱子上，并将预埋在屋架和柱子上的两块钢板焊接起来，它可以阻止屋架的移动，但因焊缝的长度有限，对屋架的转动限制作用很小，因此，可以把这种装置视为固定铰支座（图2－22）。

图2－22
（2）可动铰支座
在固定铰支座的下面加几个辊轴支承于平面上，并且由于支座的连接，使它不能离开支承面，就构成可动铰支座（图2－23a）。

可动铰支座的计算简图如图2－23b或图2－23c所示。

这种支座只能限制物体垂直于支承面方向的移动，但不能限制物体沿支承面切线方向的运动，也不能限制物体绕销钉转动。

所以，可动铰支座的约束反力通过销钉中心，垂直于支承面，但指向未定，如图2－23d所示。

图中Y A的指向是假设的。

在房屋建筑中，如钢筋混凝土梁通过混凝土垫块搁置在砖墙上，如图2－23e、f所示，就可将砖墙简化为可动铰支座。

(e) (f)
图2－23
（3）固定端支座
房屋建筑中的阳台挑梁如图2－24a，它的一端嵌固在墙壁内，或与墙壁、屋内梁一次性浇筑。

墙壁对挑梁的约束，既限制它沿任何方向移动，又限制它的转动，这样的约束称为固定端支座。

它的构造简图如图2－24b，计算简图和受力分析如图2－24c。

(a) (b) (c)
图2－24
§2－3 结构的计算简图
在工程实际中的建筑物（或者构筑物），其结构、构造以及作用在其上的荷载，往往是比较复杂的。

结构设计时，如果完全严格地按照结构的实际情况进行力学分析和计算，会使问题非常复杂甚至无法求解，因此是不可能的，也是不必要的。

因此在对实际结构进行力学分析和计算时，必须用简化的图形作为模型代替实际的工程结构，这种简化了的图形称为结构的计算简图。

2－3－1 结构计算简图的简化原则
在结构设计中，计算简图的选取是力学计算的基础，我们是以计算简图作为力学计算的主要对象。

因此，如果计算简图选取不合理，就会使结构的设计不合理，造成差错，严重的甚至造成工程事故。

所以，合理选取结构的计算简图是一项十分重要的工作，必须引起足够的重视。

一般来说，在选取结构的计算简图时，应当遵循以下两个原则：
（1）尽可能符合实际——尽可能正确地反映结构的主要受力情况，使计算的结果接近实际情况，有足够的精确性；
（2）尽可能简单——要忽略对结构的受力情况影响不大的次要因素，使计算工作尽量简化。

一般结构实际上都是空间结构，各部分互相联结成为一个空间整体，以便抵抗多个方向可能出现的荷载。

因此，在一定的条件下，根据结构的受力状态和特点，设法把空间结构简
化为平面结构，这样可以简化计算。

简化成平面结构后，结构中又往往会有许多构件，存在着复杂的联系，因此，仍有进一步简化的必要。

根据受力状态和特点，可以把结构分解为基本部分和附属部分；把荷载传递途径分为主要途径和次要途径；把结构变形分为主要变形和次要变形。

在分清主次的基础上，就可以抓住主要因素，忽略次要因素。

2－3－2 结构计算简图的简化内容
一般可以从结构体系的简化、支座的简化以及荷载的简化三个方面来进行。

1. 结构体系的简化
结构体系的简化包括平面简化、杆件的简化和结点的简化。

（1）平面简化
实际的工程结构，一般都是由若干构件或杆件按照某种方式组成的空间结构。

因此，首先要把这种空间形式的结构，根据实际受力情况，简化为平面状态；而对于构件或杆件，由于它们的截面尺寸通常要比其长度小得多，因此，在计算简图中，是用其纵向轴线（画成粗实线）来表示。

（2）杆件的简化
杆件截面的大小及形状虽千变万化，但它的尺寸总远远小于杆件的长度。

后面会学到，杆件中的每一个截面，只要求出截面形心处的内力、变形，则整个截面上各点的内力、变形情况就能确定。

因此，在结构的计算简图中，构件的截面以它的形心来代替，而结构的杆件可用其纵向轴线来代替。

如梁、柱等构件的纵轴线为直线，就用相应的直线表示，如图2－25所示；而曲杆、拱等构件的纵轴线为曲线，则用相应的凹线表示。

杆件的长度用结点间的距离表示，而荷载的作用点也转移到轴线上。

图2－25
（3）结点的简化
在结构中，杆件与杆件相互连接处称为结点。

尽管各杆之间连接的形式是多种多样的，特别是材料不同会使得连接的方式有较大的差异，但是，在计算简图中，只简化为两种理想的连接方式，即铰结点和刚结点，或者两种结点的组合形式。

①铰结点。

其特征是被连接的杆件在连接处不能相对移动，但可相对转动。

铰结点能传递力，但不能传递力矩。

在工程实际中，完全用理想铰来连接杆件的实例是非常少见的。

但是，从结点的构造来分析，把它们近似地看成铰结点所造成的误差并不显著。

如屋架的端部和柱顶都设置有。