高中数学吧必修2第四章知识点总结
新教材 人教B版高中数学必修第二册 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 知识点考点及解题方法提炼汇总
第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数 (1)4.1.1实数指数幂及其运算 (1)4.1.2指数函数的性质与图像 (5)第1课时指数函数的性质与图像 (5)第2课时指数函数的性质与图像的应用 (9)4.2对数与对数函数 (13)4.2.1对数运算 (13)4.2.2对数运算法则 (17)4.2.3对数函数的性质与图像 (20)第1课时对数函数的性质与图像 (20)第2课时对数函数的性质与图像的应用 (23)4.3指数函数与对数函数的关系 (27)4.4幂函数 (30)4.5增长速度的比较 (35)4.6函数的应用(二) (38)4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0x＝__na__x＝__±na__0不存在根式(1)当na有意义时，na称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．(2)性质：①(na)n＝__a__；②na n＝⎩⎨⎧__a__，n为奇数，__|a|__，n为偶数.分数指数幂的意义正分数 指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n ＝__na __正分数m n ，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数 指数幂 s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1a s __无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__． 实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R ) (1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __． 题型n 次方根的概念及相关问题 典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围； (2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎨⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要n a 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．根式与分数指数幂的互化 典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15 ；a 34 ；a －23 ； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解．[解析] (1)a 15 ＝5a ；a 34 ＝4a 3；a －23 ＝1a 23 ＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63 ＝a 2；13a 2＝1a 23 ＝a －23 ．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．有理(实数)指数幂的运算法则的应用 典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75；(3)32＋3×27－33；(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716．(3)32＋3×27－33 ＝32＋3×(33)－33 ＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12 ＋(2)1－3＋1＋3 ＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14 ]＋2＝(2)14 ＋2＝2＋218 ．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 易错警示 典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12 ．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14 ．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1．[正解] ∵(－a ) 12 存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a ) 14 ．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时 指数函数的性质与图像知识点 指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1． 思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义．②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义． ③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．指数函数的图像和性质0＜a ＜1a ＞1图像定义域 实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质 过定点__(0,1)__ 是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x，y ＝3x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，…，为什么一定过点(0,1)?(2)对于指数函数y x底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0？0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a ＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1题型指数函数的概念 典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__．(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __． [分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1， 即(a －2)(a －1)＝0， 解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ． 规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式．指数函数的图像问题 典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x的图像，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像( A )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增． 由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1； 当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ．(2)因为y ＝23－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x －3，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3 ，即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．指数函数的定义域、值域问题 典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12． 规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 易错警示 典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎨⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时 指数函数的性质与图像的应用知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解； (2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝b x (b ＞0且b ≠1)的图像求解．与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)函数的性质有： (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有__相同__的定义域．(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有__相同__的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(a x)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y ＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c 时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得1．70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23)16＝816，33＝313＝(32)16＝916而8＜9.∴816＜916，即2＜33，又2＝212 ＝(25) 110 ＝32110 ，55＝515 ＝(52) 110 ，而25＜32，∴55＜2． 总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较． 2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域 典例剖析典例2 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域．[分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解[解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，因为t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在R 上是减函数，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞；又t ≤94，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1294，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1294，＋∞． 规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域．指数函数性质的综合应用 典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a2＞0，a ≥6－a2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1，因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )， 即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3，由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 易错警示 典例剖析典例4 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞．[辨析] 在换元时，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点．[正解] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34．因为t ＞0，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b＝N(a＞0且a≠1)，N∈(0，＋∞)中，幂指数b称为以a 为底N的对数．(2)记法：b＝__log a N__，a称为对数的__底数__，N称为对数的__真数__．(3)范围：N＞0，即__负数和零没有对数__．思考：(1)为什么负数和零没有对数？(2)对数式log a N是不是log a与N的乘积？提示：(1)因为b＝log a N的充要条件是a b＝N，当a＞0且a≠1时，由指数函数的值域可知N＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．知识点对数恒等式(1)a log a N＝N．(2)log a a b＝B．知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log10N，简写为lg N．(2)自然对数：log e N，简写为ln N，e＝2.718 28…．题型对数的概念典例剖析典例1若a2 020＝b(a＞0，且a≠1)，则(A)A．log a b＝2 020B．log b a＝2 020C．log2 020a＝b D．log2 020b＝a(2)对数式log(a－2)(5－a)中实数a的取值范围是(C)A．(－∞，5)B．(2,5)C．(2,3)∪(3,5)D．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(B)A．e0＝1与ln 1＝0B．log39＝2与912＝3C．8－13＝12与log812＝－13D．log77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0． (3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎨⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值 典例剖析典例2 求下列各式的值： (1)log 381；(2)log 4116； (3)log12 8；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4．(2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2． (3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，所以log12 8＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1． 角度2 两个特殊对数值的应用 典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝ log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． [解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0， 所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80．规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对数恒等式的应用 典例剖析 典例4 计算： (1)71－log 75；(2)412 (log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95．(3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数． 易错警示 典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值． [错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3， 即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1． [辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎨⎧x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2对数运算法则知识点积、商、幂的对数若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有(1)积的对数：__log a(MN)＝log a M＋log a N__．(2)商的对数：__log a MN＝log a M－log a N__．(3)幂的对数：__log a M n＝n log a M__．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a(MNQ)＝log a M＋log a N＋log a Q，积的对数运算性质可以推广到n项的乘积．知识点换底公式若a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，则有__log a b＝log c blog c a__．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？(2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m＝mn log N M吗？提示：(1)log a b＝lg blg a，log a b＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M mlg N n＝m lg Mn lg N＝mn·lg Mlg N＝mn log N M．题型利用对数的运算法则求值典例剖析典例1计算：(1)log a2＋log a 12(a＞0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；(4)2log525＋3log264；(5)log2(log216)；(6)62log63－20log71＋log41 16．[解析] (1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0． (2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2． (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2．(4)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝4＋18＝22． (5)log 2(log 216)＝log 24＝2．(6)原式＝6log 69－20×0＋log 44－2＝9－2＝7． 规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．利用对数的运算法则化简 典例剖析典例2 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z ．[解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ．(2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ．(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ．(4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ． 规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．换底公式及其应用 典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值；(2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y ．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明． [解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a． (2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1，∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg tlg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ． ∴1z －1x ＝12y ．规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log a b ＝log b A ．易错警示 典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy 的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵xy ＝1或4，∴log 2x y ＝log 21＝0或log 2xy ＝log 24＝4． [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴x y ＝4，∴log 2xy ＝log 24＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像知识点对数函数函数y＝__log a x__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②log a x的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．求函数的定义域典例剖析典例2求下列函数的定义域：(1)y＝lg (2－x)；(2)y＝1log3(3x－2)；(3)y＝log(2x－1)(3－4x)．[分析]函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围．求定义域时，要结合使根式、分式等有意义的条件和对数式的定义求解．[解析](1)由题意得lg (2－x)≥0，即2－x≥1，∴x≤1，则y＝lg (2－x)的定义域为{x|x≤1}．(2)欲使y ＝1log 3(3x －2)有意义，应有log 3(3x －2)≠0，∴⎩⎨⎧3x －2＞03x －2≠1.解得x ＞23，且x ≠1．∴y ＝1log 3(3x －2)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞23，且x ≠1．(3)使y ＝log (2x －1)(3－4x )有意义时，⎩⎨⎧2x －1＞02x －1≠13－4x ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞12x ≠1x ＜34，∴12＜x ＜34．∴此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12 ＜x ＜34．规律方法：求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0．(2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．应用对数函数的单调性比较数的大小 典例剖析典例3 比较下列各组中两个数的大小： (1)log 23.4和log 28.5； (2)log 0.53.8和log 0.52； (3)log 0.53和1; (4)log 20.5和0； (5)log 0.30.7和0; (6)log 34和0．[分析] (1)(2)中两数同底数，不同真数，可直接利用对数函数的单调性比较大小；(3)中将1化为log 0.50.5，(4)中将0化为log 21，(5)中将0化为log 0.31，(6)中将0化为log 31，然后再利用对数函数的单调性比较大小．[解析] (1)∵y ＝log 2x 在x ∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4＜8.5， ∴log 23.4＜log 28.5．(2)∵y ＝log 0.5x 在x ∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8＞2， ∴log 0.53.8＜log 0.52．(3)∵1＝log 0.50.5，∴log 0.53＜log 0.50.5，∴log 0.53＜1． (4)∵0＝log 21，∴log 20.5＜log 21，∴log 20.5＜0． (5)∵0＝log 0.31，∴log 0.30.7＞log 0.31， ∴log 0.30.7＞0．(6)∵0＝log 31，∴log 34＞log 31，∴log 34＞0．规律方法：比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性． (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1、0等中间量进行比较．易错警示 典例剖析典例4 解不等式log a (2x －5)＞log a (x －1)． [错解]原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＞x －1，解得x ＞4．故原不等式的解集为{x |x ＞4}．[辨析] 误解中默认为底数为a ＞1，没有对底数a 分类讨论． [正解]当a ＞1时，原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＞x －1，解得x ＞4；当0＜a ＜1时，原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＜x －1，解得52＜x ＜4．综上可知，当a ＞1时，原不等的解集为{x |x ＞4}，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |52＜x ＜4}．第2课时 对数函数的性质与图像的应用知识点y ＝log a f (x )型函数性质的研究(1)定义域：由f (x )＞0解得x 的取值范围，即为函数的定义域．(2)值域：在函数y ＝log a f (x )的定义域中确定t ＝f (x )的值域，再由y ＝log a t 的单调性确定函数的值域．(3)单调性：在定义域内考虑t ＝f (x )与y ＝log a t 的单调性，根据__同增异减__法则判定(或运用单调性定义判定)． (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．(5)最值：在f (x )＞0的条件下，确定t ＝f (x )的值域，再根据a 确定函数y ＝log a t 的单调性，最后确定最值． 知识点log a f (x )＜log a g (x )型不等式的解法 (1)讨论a 与1的关系，确定单调性．(2)转化为f (x )与g (x )的不等关系求解，且注意真数大于零． 题型对数函数的图像 典例剖析 典例1如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为( A )A ．3、43、35、110B ．3、43、110、35C ．43、3、35、110D ．43、3、110、35[解析] 解法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排C 1、C 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图像靠近x 轴的底大，C 1、C 2对应的a 分别为3、43.然后考虑C 3、C 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时图像靠近x 轴的底小，C 3、C 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A ．解法二：作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C 1、C 2、C 3、C 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A．规律方法：函数y＝log a x(a＞0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响．观察图像，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴．(2)左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．形如y＝log a f(x)的函数的单调性典例剖析典例2求函数y＝log12(1－x2)的单调区间．[分析]求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．[解析]要使函数有意义，应满足1－x2＞0，∴－1＜x＜1.∴函数的定义域为(－1,1)．令u＝1－x2，对称轴为x＝0．∴函数u＝1－x2在(－1,0]上为增函数，在[0,1)上为减函数，又∵y＝log12u为减函数．∴函数y＝log12(1－x2)的单调递增区间为[0,1)，递减区间为(－1,0]．规律方法：1.求形如y＝log a f(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．2．求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求解；(2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝log a t在定义域上的单调性，从而判定y＝log a f(x)的单调性．形如y＝log a f(x)的函数的奇偶性典例剖析典例3判断函数y＝lg (x2＋1－x)的奇偶性．[分析]判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称．[解析]∵x2＋1＞x，∴x2＋1－x＞0恒成立，∴函数的定义域为R．f(－x)＝lg (x2＋1＋x)＝lg (x2＋1－x)(x2＋1＋x)x2＋1－x＝lg1x2＋1－x＝－lg (x2＋1－x)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，∴函数y＝lg (x2＋1－x)是奇函数．规律方法：判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，因为定义域关于原点对称是函数具有奇偶性所需具备的条件．若定义域关于原点对称，再利用奇偶性定义判断f(x)与f(－x)的关系．形如y＝log a f(x)的函数的值域典例剖析典例4求函数f(x)＝log12(x2－6x＋17)的值域．[分析]利用对数函数的真数大于0及内函数的值域求解．[解析]∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8＞0，∴函数f(x)的定义域为R，令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，又0＜12＜1，∴y＝log12t在[8，＋∞)上是减函数，∴f(x)≤log128＝－3，故所求函数的值域是(－∞，－3]．规律方法：对于形如y＝log a f(x)(a＞0，a≠1)的复合函数，求值域的步骤：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)求log a f(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．易错警示典例剖析典例5已知y＝log a(2－ax)在[0,1]上是减函数(x是自变量)，则a的取值范围是(B)A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)[错解]选A．令u＝2－ax，因为u＝2－ax是减函数，所以a＞0．在对数函数中底数a∈(0,1)，所以0＜a＜1.故选A．[辨析]本题解答时犯了两个错误：(1)忽略真数为正这一条件；(2)对数函数的底数含有字母a，忘记了对字母分类讨论．[正解]设u＝2－ax，由y＝log a u，得a＞0，因此u＝2－ax单调递减．要使函数y＝log a(2－ax)是减函数，则y＝log a u必须是增函数，所以a＞1，排除A，C．又因为a＝2时，y＝log a(2－2x)在x＝1时没有意义，但原函数x的取值范围是[0,1]，所以a≠2，因此排除D．故选B．4.3指数函数与对数函数的关系知识点反函数的概念(1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中__任意一个y__的值，只有__唯一__的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数，可以记作x＝f－1(y)．(2)一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x 表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．思考：函数f(x)＝x2有反函数吗？为什么？提示：没有．若令y＝f(x)＝1，则x＝±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义．知识点求反函数的两种方法(1)可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到反函数y＝f－1(x)．(2)从y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y对调得到y＝f－1(x)．知识点互为反函数的图像与性质(1)图像y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线__y＝x__对称．(2)性质①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的__值域__相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的__定义域__相同．②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是__增函数__；如果y＝f(x)是__减函数__，则y＝f －1(x)也是减函数．题型判断函数是否有反函数典例剖析典例1(1)下列函数中，存在反函数的是(D)A．x x＞0x＝0x＜0f(x)10－1B．x x是有理数x是无理数g(x)10C．x12345h(x)－12042D．x12345l(x)－2－1034(2)判断下列函数是否有反函数．①f(x)＝x＋1 x－1；②g(x)＝x2－2x．[分析]根据反函数的定义进行判断．[解析](1)因为f(x)＝1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；因为g(x)＝1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在；因为h(x)＝2时，x＝2或x＝5，即对应的x不唯一，因此h(x)的反函数不存在；因为l(x)的值域{－2，－1,0,3,4}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在．(2)①令y＝f(x)，因为y＝x＋1x－1＝1＋2x－1，是由反比例函数y＝2x向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．②令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在．规律方法：判定函数存在反函数的方法(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在．(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在．(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在．求反函数典例剖析典例2求下列函数的反函数．(1)y＝2x＋1(x∈R)；(2)y＝1＋ln(x－1)(x＞1)；(3)y＝x＋2x＋1(x∈R且x≠－1)．[分析]按照求反函数的步骤求反函数．[解析](1)函数y＝2x＋1，当x∈R时，y＞0．方法一：∵x＋1＝log2y，∴x＝－1＋log2y，x，y互换得反函数为y＝－1＋log2x(x ＞0)．方法二：对y＝2x＋1中的x，y互换得x＝2y＋1，∴y＋1＝log2x，即反函数为y＝－1＋log2x(x＞0)．(2)由y＝1＋ln(x－1)，得x＝e y－1＋1，又由x＞1，知y∈R，∴反函数为y＝e x－1＋1(x∈R)．(3)y＝x＋2x＋1＝1＋1x＋1(x∈R且x≠－1)，∴y∈R且y≠1．对y＝x＋2x＋1，x，y互换得x＝y＋2 y＋1，∴反函数为y＝2－xx－1(x∈R且x≠1)．规律方法：1.求反函数时，要先确定原函数的值域．2．两种方法：x，y先互换，再求y与先求x，再x，y互换．3．最后要注明反函数的定义域．。
高中数学必修2必修4知识点总结
高中数学必修2必修4知识点总结高中数学必修2知识点总结第一章 立体几何初步1.几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积rhS π2=圆柱侧()l r r S +=π2圆柱表rlS π=圆锥侧面积()l r r S +=π圆锥表lR r S π)(+=圆台侧面积()22R Rl rl r S +++=π圆台表2.柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh=柱''1()3V S S S S h=++台 2V Sh r hπ==圆柱13V Sh =锥hr V 231π=圆锥''2211()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台V 球=343R π S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系1.直线与平面的位置关系公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αLA ·αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线C ·B·A· α P· α Lβ共面a ∥bc ∥b公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
高中数学吧必修2第四章知识点总结(20201110143759)
4.1.1圆的标准方程4. 1.2圆的一般方程+ + 2yDxEyF21、圆的一般方程：02、圆的一般方程的特点：（1） 0x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy 这样的二次项.（2） 圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F,因之只要求岀这三个系数，圆的方程就确定了. （3） 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4・2・1圆与圆的位置关系=++++ =____1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.DE> 2y 2DxEyF =设直线1： axbycO.iC x0,圆的半径为「圆心）< （，22到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当dr 时，直线1与閱C 相禺；（2）当dr 时，直线1与侧C 相切； （3）当dr 时，直线1与閱C 相父； 4.2.2圆与圆祜位曹关系=*两圆的位置关系.丄一 V V +设两圆的连心线长为 1 •则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:屮的标准方ZZZ(x 羽(ybfr2、点M （Xo, yo ）与圜 圆心为A （①b ）,半径为r 的圆的方程一 z 比一 =（xa ） （yb ） r 的关(1)_ 2厶 (xa) (yb) > 00zz (xa) (yb)< 002 _ +r •点在圆外（2）■ 殆 （嚅（心2 r •点在恻上= —V —（1）当1讣2时，圆C1与圆C2相离；（2）当lrr时，圆C1与圆C2外切；（3）当时，圆Ci与圆C2相交;(4)当1 时，圆G与圆C2内切；(5)当1 :rrl时，圆Ci与圆S内含;4. 2. 3直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步：建立适当的平而直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题;第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.4. 3・1空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z). x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组(x, y, z).对应着空间直角坐标系屮的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x, y, z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记M(x, y, z). x叫做点M的横坐标.y叫做点M的纵坐标.z叫同步检测第四章圆与方程一、选择题，1.若圆C的圆心坐标为(2, —3),且圆C经过点M (5-7),则圆C的半径为()・厂A. 5B. 5C. 25D. 102.过点A(l, -1), B(-l, 1)且圆心在直线x+ y— 2= 0上的圆的方程是()•A . (x— 3) ~+ D~= 4B・(x+ 3)"+ (y~ 1)"= 4z zC・(x— 1) + (y—=4D・(x+ 1)1) 2+ (y +1)zA. (x_ 3) ~+(y+ 4)_= 16B. (x+ 3)■+ (y — 4)2= 16A. 0 或 2B. 2C. 2D.无解5圆(x — 1) + &+ 2)~= 20在x 轴上截得的弦长是()・ A. 8B. 6C. 62D. 432+y 2+ 2x+ 2y-2 = 0 与 C 2+ y 2- 4x- 2y + 1= 0 的位置关系为()・6. 两个圆Ci ：x 2： xA ・内切相交C ・外切D ・相离2+y 2-2x-5 = 0与圆x 2+y 2+2x-4y-4 =0的交点为A, B,则线段AB 的垂直 7•圆x平分线的方程是()・A. x+y —l=0B ・ 2x —y+l=0 C. x — 2y+ l = 0D. x —y+ 1 = 02+ y 2 —2x= 0和圆x 2+ y 2 + 4y= 0的公切线有且仅有().8•圆xA. 4条B ・3条C ・2条D. 1条9. 在空间直角坐标系中，已知点M(a, b, c),有下列叙述: 点M 关于x 轴对称点的坐标是Mi (a, —b, c):点M 关于yoz 平面对称的点的坐标是M 2 (a, —b, —c)； 点M 关于y 轴对称的点的坐标是M 3 (a, —b, c)； 点M 关于原点对称的点的坐标是Mi(—a, —b, —c)・ 其中正确的叙述的个数是()・10. 空间直角坐标系中，点A(—3, 4, 0)与点B(2, -1, 6)的距离是()・ A. 243B. 221C. 9D. 86 二、填空题+4)切++ (y 9D -3) + (Xzz+ (y~ = 194)ID. 02 + y2—2x—2y+ 1 = 0上的动点Q到直线3x+4y+8 = 0跖离的最小值为.11.EJx12.圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1, 0)的圆的方程为. -13・以点C( — 2, 3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是.22 、乙2+ y=l和(x+4) + (y— a) =25相切，试确定常数a的值.14.两圆x15.圆心为C(3, 一5),并且与直线x—7y+2= 0相切的圆的方程为.H.y2®4x-5 = 0的弦AB的中点射3,1),贝揍B的方程是.三、解答题17.求圆心在原点，且圆周彼篡+4y + 15= 0分成1 ： 2两部分的圆的方程.18.求过原点，在x轴，y轴上截距分别a, b的圆的方程QbHO).19.求经A(4, 2), B(-l, 3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之起2的圆的方20.求经过点(8, 3),并且和直线x=6与x=10都相切的圆的方程.第四章圆与方程参考答案-、选择题1. B圆心C与点M的距离即为圆的半径，(2^)2 + (-3+7)2=5,2. C解析一：由圆心在直线x + y—2= 0上可以得到A, C满足条件，再把A点坐标(1, 一1)代入圆方程.A不满足条件.・••选C.解析二：设圆心C的坐标为(a, b),半径为「因为圆心C在直线x+y—2=0上，・・・b = 2_a・由CA|= CB，得(a-1)"+(b+ 2= (a+ "+ (b—",解得a=l, b=l.1)1) 1)因此所求圆的方程为(x— l)2+ (y- 1)2=4.解析：•・•与x轴相切,.・.r=4・又圆心（一3, 4）, ・・・圆方程迪+3）2+（y-4）2=16.4. B解析：Vx + y+m= 0 与x2+y2= m 相切，厂・•・（0, 0）到直线距离等if2ni= 2.5. A解析：令y=0,・・・(x—2 = 16・1).•.x— 1= ±4,・・Xi=5, x?= — 3.・•・弦长=|5—(一3) | =8.6. B解析后两个圆的方程G： (x+1) 2+(y+l)2=4, C2： (x-2)2+ (y-l)2= 4可求得圆心距d=13G (0, 4) , ri=r2=2,且ri —r2< d<ri+r2故两圆相交，跣7. A解析：对已知圆的方程x'+y‘一2x —5=0, x'+y'+2x—4y —4=0,经配方，得(x—1) 2+ y2— 6, (x4-1)2+ (y—2尸=9・圆心分别肉(1, 0), C2(-l, 2).直线CG的方程妁by — 1 = 0.8. C ____解析：将两圆方程分别配方得(x-1) 2+V= 1和x24 (y+2)2=4,两圆圆6分别肉(1, 0), 02(0, —2), ri=l, r2 = 2, 0i02 = 1 ~5\ 又1 =「一「<5V11 + 匕=3, '+2-2+2-故两圆相交，所以有两条公切线，磁C.9. C解：①②③错，④对.选10. D解析：利用空间两点间的距离公式.二、填空题11. 2.解析：圆心到直线的距离d= 呼+ I =3'5・•・动点Q到直线距离的最小值为d-r= 3- 1 = 2.12.(x- 2+ (y-D2=i.1)解析：画图后可以看出，圆心在(1, 1),半径为1・故所求圆的方程为：(x—1)，+(y—i)2=i・13.(x+ ?+(y_3)2 = 4・2)解析：因为圆心为(一2, 3),且圆与y轴相切，所以圆的半径为2・故所求圆的方程为(x+ 2+ (y-3)V4.2)乂14.0 或±25. J 丁解析：当两圆相外切时，由Io山=「+.知4?=6,即a=±25- 2+2________ +r~~当两圆相内切时，由|OiO2| =ri—r2 (ri>r2)ftJ24a= 4,即a= 0.・・・a的值为0或±25.Z Z1?・(X—+ (y+ =32.3)5)解析：圆的半径即为圆心到直线x- 7y+ 2= 0的距离;16.x+ y— 4= 0.解析：圆X2+y2- 4x-5= 0的圆心为C(2, 0) , P(3, 1)为弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，即kAB- kcP=-l,解得kAB=-l,又直线AB过P⑶1),程为x+ y—4=0.三、解答题22+ y=36.17.x 解析：设直线与圆交于A, B两点，则ZA0B=120°,设A 2R所求圆方程为：x2+y2=r2, r15, °则圆心到直线距离为 2 5所"95X2+y2=r2, 5 2 r则圆心到直-B线距离为4以r=6,所求圆方程为x2+y2 = 36.2+厂=36.第17题(第17题) C C「+ y-— ax— by= 0.18.x解析：・・•圆过原点，・・・设圆方程为x2+y2 + Dx+Ey=0.：•圆过(a, 0)和(0, b),a2+Da=0, b2+bE=0.又Va^O, bHO,・°・ D = —E ——b.故所求圆方程为x' + y‘一ax—by= 0・2+y2-2x-12=0.19.x22 解杯设所求圆的方程为x+ y+Dx + Ey+F=O.TA, B两点在圆上，代入方程整理得：D-3E-F= 10 ①4D+2E+F = -20 ②设纵截距为4, b2,横截距为比.在圆的方程中，令x=0得y2+Ey+F= 0, /. bi+ b2 = —E；令y = 0 得xl+a2=—D.2+D X+F=0, A a由已知有一D_E=2③①②③联立方程组得D = -2, E=0, F=-12・故所求圆的方程为x2+ y2-2x-12=0.20.解：设所求圆的方程为(x-a) +®_ =rb) •106根据题意：r = = 2,2圆心的横坐标a= 6+ 2 = 8,所以圆的方程可化为：(x-8) 2+ (y-b)2=4.又因为圆过(8, 3)点，所以(8-8) 2+(3_b)2=4,解得b=5或b=l,所求圆的方程为(x-8) 2+ (y—5尸=4 或(X —8)24- (y- 1)2=4.。
必修二数学第四章知识点归纳
必修二数学第四章知识点归纳必修二数学第四章知识点归纳标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R;(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：(x-a)2+(y-b)2=R2当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x2+y2=R2圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-R2=0设D=-2a，E=-2b，F=a2+b2-R2;则方程变成：x2+y2+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1);(2)没有xy的乘积项。
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆 x2+y2=r2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0·x+b0·y=r2在圆(x2+y2=r2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2。
如何快速学好数学适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。
高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解
第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋5 5－5典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)， 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.[题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义；②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围． 针对训练若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ， 则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根．故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫2552， 解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32， 则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2012·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7B ．2 2C ．3D. 2解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜ 3.答案：(－3， 3)5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．典题导入[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能[自主解答] 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， 所以点P (3,0)在圆内．故过点P 的直线l 定与圆C 相交． [答案] A本例中若直线l 为“x －y ＋4＝0”问题不变． 解：∵圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心(2,0)，r ＝2. 又圆心到直线的距离为d ＝62＝32＞2. ∴l 与C 相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1.故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k2≤1，解得－33≤k ≤ 33.典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝2×100－68＝8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[尝试解题]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为__________________．解析：显然x＝2为所求切线之一．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝02．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________． 解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； 当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0， 即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3.3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1， 所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝ 12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx－2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k.1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值； (3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2. (3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．2．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知，问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43. 答案：43 3．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案：1或1774．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 2的半径为r 2，∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 因为圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为 |r 22－12|42＝ 4－⎝⎛⎭⎫2222＝2， 解得r 22＝4或r 22＝20.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
必修二数学第四章知识点
必修二数学第四章知识点
第四章知识点主要涉及到图形的性质和关系，包括平行四边形和矩形的性质、梯形的性质、圆的性质以及相关的计算方法等等。
1. 平行四边形的性质：
- 对角线互相平分
- 相邻角互补
- 对角线长度相等
- 任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形
- 相邻边互相平行且长度相等
2. 矩形的性质：
- 两对对边分别平行且相等
- 相邻角为直角
- 对角线相等
3. 梯形的性质：
- 两条底边平行
- 两个对角线相交于一点
- 两个底角和两个顶角之和为180度
4. 圆的性质：
- 圆心到圆上任意一点的距离都相等
- 直径是最长的线段，而半径是一半长
- 任意两条弦之间的弦长相等时，这两条弦是等长的
- 切线和半径所形成的角是直角
- 切线与圆心连线所形成的角等于其对应的弧所对的角
5. 图形的计算方法：
- 平行四边形的面积 = 底边长×高
- 矩形的面积 = 长×宽
- 梯形的面积 = 上底 + 下底×高÷ 2
- 圆的面积 = π×半径的平方，其中π约等于3.14
- 圆的周长 = 2 ×π×半径
这些是第四章必修二数学的主要知识点，掌握了这些知识点可以帮助你理解和解决与图形性质和关系相关的问题。
高中数学必修2第四章知识点总结
高中数学必修２第四章知识点总结4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
高中数学必修2知识点总结第四章-圆和方程
第四章 圆与方程 知识点与习题1. ★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内;（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； ②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可； ②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
数学必修2第四章知识点总结
数学必修2第四章知识点总结第四章是高中数学必修课程中的一章，主要内容是复数与概率。
本文将对第四章的知识点进行总结。
一、复数1.复数的引入复数是为了解方程$x^2=-1$而引入的一种新的数，其中$i$称为虚数单位，$i^2=-1$。
复数可以表示为$a+bi$的形式，其中$a$为实部，$b$为虚部。
2.复数的四则运算复数的加减法可以分别对实部和虚部进行运算。
复数的乘法是根据$i$的性质进行简化，即$i^2=-1$。
复数的除法可以通过有理化分母的方法进行。
3.复数的共轭与模复数$a+bi$的共轭是$a-bi$，即实部不变虚部改变符号。
复数的模表示为$，a+bi，=\sqrt{a^2+b^2}$，表示复数到原点的距离。
4.求复数的正弦、余弦与辐角复数$a+bi$的正弦、余弦可以由Euler公式得到$e^{ix}=\cosx+i\sin x$，再通过对比系数得到正弦、余弦的表达式。
复数的辐角是指复数与正实轴的夹角，可以由正弦、余弦的关系得到。
5.复数的乘方和开方复数的乘方可以利用复数的乘法进行展开计算。
复数的开方是指找到一个复数的平方等于原复数，可以利用复数的乘方和解方程的方法进行求解。
二、概率1.概率的引入概率是研究随机事件发生可能性的数学方法。
概率的范围在0到1之间，事件发生的概率越大，其可能性越高。
2.随机事件与样本空间随机事件是指在一定条件下可能发生或不发生的事件。
样本空间是指所有可能结果的集合，可以用列举、图表或文字等形式表示。
3.事件的概率事件的概率可以用频率定义、古典定义和几何定义等方法进行计算。
频率定义是指通过大量实验统计得到事件出现的次数，用次数除以总次数得到概率。
古典定义是指在等可能的情况下，事件发生的概率等于有利结果的个数除以总结果的个数。
几何定义是指在几何模型中，事件发生的概率等于事件对应的区域面积与样本空间的面积之比。
4.事件发生的关系与运算事件发生的关系包括包含关系和互斥关系。
高中数学吧必修2第四章知识点总结
高中数学吧必修2第四章知识点总结高中数学必修2第四章主要讲述了函数的性质和应用。
本章内容较多，需要了解的知识点较多。
以下是第四章的知识点总结：一、函数的概念与性质1.函数的概念：函数是指一种特殊的对应关系，将一个或多个元素映射到唯一确定的输出。
2.自变量和因变量：在函数中，自变量是指输入的数值，因变量是指输出的数值。
3.定义域和值域：函数在定义域内有意义。
在函数的定义域内，每一个自变量都有唯一确定的因变量。
自变量的取值范围称为定义域，因变量的取值范围称为值域。
4.奇偶函数：当函数满足f(-x)=-f(x),x∈D（D为定义域）时，称为奇函数；当函数满足f(-x)=f(x),x∈D时，称为偶函数；若既不满足奇函数的条件，也不满足偶函数的条件，则为一般函数。
5.函数的图象：函数的图象是由平面上所有满足函数方程的点的集合组成。
6.函数的单调性：函数在一定区间上的取值可以是递增的（称为增函数），也可以是递减的（称为减函数）。
增函数和减函数统称为单调函数。
7.复合函数：当一个函数的自变量是另一个函数时，称这个函数为复合函数。
8.反函数：如果一个函数f的定义域和值域分别改换后，得到的新函数是一个函数，则称之为原函数的反函数。
二、函数的应用1.函数建模：在实际问题中，选择合适的函数建立数学模型，可以更好地描述问题和解决问题。
2.利润函数：利润函数可以通过分析成本与收益之间的关系来研究企业的盈利情况。
3.数量关系函数：数量关系函数可以描述两个物体之间的数量关系，如速度、加速度等。
4.利率问题：利率问题是函数的增长和变化问题，通常使用指数函数来描述。
5.累加函数：累加函数可以描述对其中一变化过程中所有变化量的累加情况。
三、函数的图象与性质1.基本初等函数：常数函数、一次线性函数、二次函数、反比例函数、绝对值函数和有理函数等都是基本初等函数。
2.一次函数：一次函数的图象是一条直线，可以通过两点的坐标来确定。
3.二次函数：二次函数的图象是抛物线，可以通过顶点坐标和另外一点的坐标来确定。
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第四章 圆与方程 知识点与习题★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为圆径.设M(x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作:P = ｛M | |MA ｜ = r ｝★2、圆的方程(1）标准方程()()222r b y a x =-+-,圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+-〉2r ，点在圆外； 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-〈2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x）/4 (0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时,方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3)求圆的方程的方法：待定系数法:先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系 判断条件 公切线条数外离 ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条 外切 ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条 相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条 内切 ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条 内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
必修二数学第四章知识点
必修二数学第四章知识点
必修二数学第四章主要讲解函数和导数的相关知识点，主要包括以下内容：
1. 函数的概念：函数是一个变量的变化规律，可以用一个自变量和一个因变量的关系
式来表示，常用的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 函数的表示方法：可以用表格、图像、公式等方式表示函数。
3. 线性函数：线性函数是一种最简单的函数形式，表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
4. 幂函数：幂函数是一种基本的函数形式，表示为y = ax^n，其中a为常数，n为指数。
5. 指数函数：指数函数是一种特殊的幂函数形式，表示为y = a^x，其中a为底数。
6. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，表示为y = loga(x)，其中a为底数。
7. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是数学中常用的函数形式。
8. 导数的概念：导数表示函数在某一点上的变化速率，也可以理解为函数曲线在该点
的切线斜率。
9. 导数的计算方法：常用的方式有用定义法、利用已知函数的导数性质、利用导数的
四则运算法则等。
10. 函数的图像和导数的关系：函数的图像和导数的关系可以通过导数的正负和零点、导数的增减性等来描述。
这些知识点是必修二数学第四章的主要内容，掌握了这些知识点可以帮助学生更好地理解函数和导数的概念和性质，为后续学习打下基础。
高中数学必修2第四章知识点总结
高中数学必修2第四章知识点总结一、几何证明几何证明是数学中的一种重要方法。
在几何证明中，我们需要运用已知条件和几何定理进行推理，以得到我们要证明的结论。
1.等腰三角形性质等腰三角形的性质包括两边相等、两底角相等等。
在证明等腰三角形时，可以利用相等的角、相等的边、对称性等性质进行推导。
2.相似三角形性质相似三角形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
在证明相似三角形时，可以运用角度对应、边长比例、平行性等性质来推导。
3.圆的性质圆的性质包括切线与半径垂直、半径相等的弧对应的角相等等。
在证明圆的性质时，可以使用切线、弦、弧等基本概念和定理进行推导。
二、平面上的向量向量是数学中一个重要的概念，表示有大小和方向的量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量的线性组合。
1.向量的加法和减法向量的加法满足交换律和结合律，减法是加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。
2.数量乘法向量与实数的乘法称为数量乘法，它可以改变向量的大小和方向。
3.向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量与一些实数相乘再相加而得到的新的向量。
4.向量共线和共面两个向量共线是指它们的方向相同或相反，两个向量共面是指它们在同一个平面上。
三、线性规划线性规划是一种优化问题，它的目标是在一定的约束条件下，使其中一目标函数达到最大或最小值。
线性规划的基本步骤包括建立数学模型、确定目标函数和约束条件、求解可行解集和最优解。
1.线性规划问题的建立线性规划的问题可以用一个线性方程组来表示，其中包括目标函数和约束条件。
2.目标函数和约束条件目标函数是要优化的目标量，约束条件是对决策变量的限制要求。
3.可行解集和最优解可行解集是满足约束条件的决策变量的取值范围，最优解是在满足约束条件下使目标函数达到最大或最小值的解。
四、数列与数列的合成数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
数列的合成是指将两个或多个数列按照一定规律进行组合。
1.数列的概念数列可以用函数来表示，其中自变量是自然数，函数值是一系列按照一定规律排列的数。
必修二数学第四章知识点归纳
必修二数学第四章知识点归纳
必修二数学第四章的主要知识点包括：
1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，通过一个自变量和一个因变量的对应关系来
描述。
函数可以用一个公式、图表或者一段描述来表示。
2. 函数的图像与性质：函数的图像是将自变量的取值代入函数中，得到对应的因变量
值所得到的点的集合。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、有界性等。
3. 四种基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数。
这四种函数是常见
的函数类型，并且它们在实际问题中经常出现。
4. 复合函数：复合函数是两个或多个函数通过代数运算所得到的新函数，其中一个函
数的输出作为另一个函数的输入。
5. 反函数：反函数是原函数的输入和输出进行互换后得到的新函数，即输出变为输入，输入变为输出。
6. 函数的运算：函数的加法、减法、乘法、除法等运算按照相应的规则进行。
7. 指数函数与对数函数的性质：指数函数和对数函数是互逆关系，具有一系列特定的
性质，如指数函数的零点、对数函数的基本性质等。
8. 指数函数与对数函数的应用：指数函数和对数函数在实际问题中具有广泛的应用，
如在金融、经济、生物、物理等领域中。
以上是必修二数学第四章的主要知识点，理解这些知识点能够帮助解答相关的题目和问题。
数学必修2第四章知识点小结及典型习题
第四章 圆与方程一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.二、圆的方程：（标准方程和一般方程）（一）标准方程：()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r圆的参数方程（还未学习，暂作了解）()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 1、求标准方程的方法——关键是求出圆心()b a ,和半径r①待定系数法：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P例2 ②利用平面几何性质：往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交。
相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式圆心在原点 ()2220x y r r +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b r r +-=≠圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b b b +-=≠与x 轴相切()()()2220x a y b b b -+-=≠与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠ （二）圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1、圆的一般方程的特点：(1)①2x 和2y 的系数相同，且不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2) 求圆的一般方程采用待定系数法：圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．如教材122P 例4(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
必修二数学第四章知识点归纳
必修二数学第四章知识点归纳
第四章是关于一次函数的知识点，主要包括以下内容：
1. 一次函数的概念：一次函数是指函数的表达式为y=ax+b，其中a和b是常数，且a ≠0。
2. 一次函数的图像特征：一次函数的图像是一条直线，且具有以下特征：
- 斜率：斜率为a，表示直线的倾斜程度。
斜率大于0时，表示直线向右上方倾斜；斜率小于0时，表示直线向右下方倾斜。
- 截距：截距为b，表示直线与y轴的交点。
3. 一次函数的性质：
- 增减性：当a>0时，函数图像单调递增；当a<0时，函数图像单调递减。
- 定义域和值域：一次函数的定义域为整个实数集，值域也是整个实数集。
- 零点：一次函数的零点是使得函数值为0的x值，即当ax+b=0时，得到x=-b/a。
- 与坐标轴的交点：与x轴的交点为(-b/a, 0)，与y轴的交点为(0, b)。
4. 一次函数的应用：
- 故事性实例：通过实际故事或问题来引入一次函数的概念与应用。
- 直线的方程：通过已知函数图像上的两个点来确定一次函数的方程。
- 解一次方程：通过一次函数建立的方程来求解实际问题。
这些是第四章一次函数的主要知识点，希望对你有帮助！。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学吧必修２第四章知识点总结4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=同步检测第四章 圆与方程一、选择题，1．若圆C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆C 经过点M (5－7)，则圆C 的半径为()． A ．5B ．5C ．25D ．102．过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是()． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝43．以点(－3，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9D．(x＋3)2＋(y－4)2＝194．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()．A．0或2B．2C．2D．无解5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是()．A．8B．6C．62D．436．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是()．A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝08．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有()．A．4条B．3条C．2条D．1条9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)；点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述的个数是()．A．3B．2C．1D．010．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是()．A．243B．221C．9D．86二、填空题11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是．14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．三、解答题17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．19．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．20．求经过点(8，3)，并且和直线x ＝6与x ＝10都相切的圆的方程．第四章 圆与方程参考答案一、选择题 1．B圆心C 与点M 的距离即为圆的半径，227＋3－＋5－2)()(＝5． 2．C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A ，C 满足条件，再把A 点坐标 (1，－1)代入圆方程．A 不满足条件．∴选C ．解析二：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a ．由|CA |＝|CB |，得(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝1，b ＝1．因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．解析：∵与x 轴相切，∴r ＝4．又圆心(－3，4)， ∴圆方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝16． 4．B解析：∵x ＋y ＋m ＝0与x 2＋y 2＝m 相切， ∴(0，0)到直线距离等于m ．∴2m ＝m ，∴m ＝2． 5．A解析：令y ＝0， ∴(x －1)2＝16． ∴x －1＝±4， ∴x 1＝5，x 2＝－3． ∴弦长＝|5－(－3)|＝8． 6．B解析：由两个圆的方程C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4可求得圆心距d ＝13∈(0，4)，r 1＝r 2＝2，且r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2故两圆相交，选B ．7．A解析：对已知圆的方程x 2＋y 2－2x －5＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0，经配方，得 (x －1)2＋y 2＝6，(x ＋1)2＋(y －2)2＝9．圆心分别为 C 1(1，0)，C 2(－1，2)． 直线C 1C 2的方程为x ＋y －1＝0． 8．C解析：将两圆方程分别配方得(x －1)2＋y 2＝1和x 2＋(y ＋2)2＝4，两圆圆心分别为O 1(1，0)，O 2(0，－2)，r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝222＋1＝5，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C ．9．C解：①②③错，④对．选C ．解析：利用空间两点间的距离公式． 二、填空题 11．2．解析：圆心到直线的距离d ＝58＋4＋3＝3，∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2． 12．(x －1)2＋(y －1)2＝1．解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为1． 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝1． 13．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．14．0或±25．解析：当两圆相外切时，由|O 1O 2|＝r 1＋r 2知22＋4a ＝6，即a ＝±25． 当两圆相内切时，由|O 1O 2|＝r 1－r 2(r 1＞r 2)知22＋4a ＝4，即a ＝0．∴a 的值为0或±25． 15．(x －3)2＋(y ＋5)2＝32．解析：圆的半径即为圆心到直线x －7y ＋2＝0的距离； 16．x ＋y －4＝0．解析：圆x 2＋y 2－4x －5＝0的圆心为C (2，0)，P (3，1)为弦AB 的中点，所以直线AB 与直线CP 垂直，即k AB ·k CP ＝－1，解得k AB ＝－1，又直线AB 过P (3，1)，则所求直线方程为x ＋y －4＝0．三、解答题 17．x 2＋y 2＝36．解析：设直线与圆交于A ，B 两点，则∠AOB ＝120°，设 所求圆方程为：x 2＋y 2＝r 2，则圆心到直线距离为5152 r ，所以r ＝6，所求圆方程为x 2＋y 2＝36．(第17题)18．x2＋y2－ax－by＝0．解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0．∵圆过(a，0)和(0，b)，∴a2＋Da＝0，b2＋bE＝0．又∵a≠0，b≠0，∴D＝－a，E＝－b．故所求圆方程为x2＋y2－ax－by＝0．19．x2＋y2－2x－12＝0．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵A，B两点在圆上，代入方程整理得：D－3E－F＝10①4D＋2E＋F＝－20 ②设纵截距为b1，b2，横截距为a1，a2．在圆的方程中，令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，∴b1＋b2＝－E；令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴a1＋a2＝－D．由已知有－D－E＝2．③①②③联立方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12．故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．20．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．根据题意：r＝2610＝2，圆心的横坐标a＝6＋2＝8，所以圆的方程可化为：(x－8)2＋(y－b)2＝4．又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b)2＝4，解得b＝5或b＝1，所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4或(x－8)2＋(y－1)2＝4．。