数学_2011年广西桂林市、河池市、防城港市高三第一次联考数学试卷(文科)(含答案)

2011年广西桂林市、河池市、防城港市高三第一次联考数学试卷
（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. 不等式|x +1|−2>0的解集是（ ）
A (−∞, −1)∪(3, +∞)
B (−1, 3)
C (−∞, −3)∪(1, +∞)
D (−3, 1)
2. 已知函数y =f(x)的反函数f −1(x)=log 2(x +2)，则方程f(x)=0的根为（ ） A 1 B 0 C −3
2 D 2
3. 已知tanθ=2则sin2θ+cos2θ=( ) A 1
3
B 1
5
C −1
3
D −1
5
4. 已知向量a →
=(a n+1, 1)，b →
=(a n +1, 1)，n ∈N +，且a 1=2，a →
 // b →
，则数列{a n }的前5项和为（ ）
A 10
B 14
C 20
D 27 5. 椭圆x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的离心率是1
2
，则
a 2+1b
的最小值为（ ）
A
4√33 B 2√33 C 1
2
D 1 6. 设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则m // α的一个充分条件是（ ）
A α // β且m ⊂β
B α∩β=n 且m // n
C α⊥β且m ⊥β
D m // n 且n // α 7. 过点A(0, 3)，且被圆(x −1)2+y 2=4截得的弦长为2√3的直线方程是（ ） A y =−1
3
x +3 B x =0或y =−4
3
x +3 C x =0或y =−1
3
x −3 D x =0或y =
−1
3
x −3
8. 在坐标平面上，不等式组{x +y ≥2
2x −y ≤4x −y ≥0
，所表示的平面区域的面积为（ ）
A 3√2
B 6√2
C 6
D 3
9. 某班要从6名男生、4名女生中选派6人参加某次社区服务，要求女生甲、乙要么都参加，要么都不参加，且至少要有两名女生参加，那么不同的选派方案种数为（ ） A 70 B 85 C 105 D 185
10. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB =1，点D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面AA 1CC 1所成角的正切值为（ ） A √3 B 1 C
√104 D √15
5
11. 若对任意角θ，都有cosθa
+
sinθb
=2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A a 2+b 2≤4
B a 2+b 2≥4
C a 2+b 2≤4a 2b 2
D a 2+b 2≥4a 2b 2
12. 若函数y ＝x 3−3ax +a 在(1, 2)内有极小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A 1<a <2
B 1<a <4
C 2<a <4
D a >4或a <1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 高三某班有50名学生，其中男生30人，女生20人，为了调查这50名学生的身体状况，现采取分层抽样的方法，抽取一个容量为20的样本，则男生被抽取的人数是________人． 14. 若(x +1
x )n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为________．
15. 若球O 的表面积为16π，边长为2的正三角形ABC 的三个顶点在球O 的表面上，则球心O 到平面ABC 的距离为________．
16. 已知抛物线C:y 2
=4x 的焦点为F ，C 上的点M 在C 的准线上的射影为M′，若MM′→
⋅MF →
=
12
|MM′→
|⋅|MF →
|，则点M 的横坐标为________．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c =2，C =π
3，且sinB =
2sinA ，求△ABC 的面积．
18. 某高中学校共有学生2000名，各年级男、女人数如下表：
已知全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19． （1）求x 的值；
（2）已知y ≥245，z ≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．
19. 如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP // BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC =1
2AP ＝2，D 是AP 的
中点，E ，F ，G 分别为PD ，PC ，CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD ．
（1）求证：AP // 平面EFG ；
（2）求二面角G −EF −D 的大小．
20. 已知数列{a n }是由正数组成的等比数列，a 3=8，前3项的和S 3=14 （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）已知数列{b n }满足b 1a 1
+b 2a 2
+...+b n a n
=n
2n (n ∈N ∗)，证明：{b n }是等差数列．
21. 已知函数f(x)=13mx 3−(2+m
2)x 2+4x +1，g(x)=mx +5
（1）当m ≥4时，求函数f(x)的单调递增区间；
（2）是否存在m <0，使得对任意的x 1，x 2∈[2, 3]都有f(x 1)−g(x 2)≤1？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22. 已知圆A ：(x +2)2+y 2=254
和圆B ：(x −2)2+y 2=1
4
，若圆P 与圆A 、圆B 均外切，
（1）求圆心P 的轨迹方程；
（2）延长PB 与点P 的轨迹交于另一点Q ，若PQ 的中点R 在直线l:x =a(a ≤1
2)上的射影C 满
足：PC →⋅QC →
=0，求a 的取值范围．
2011年广西桂林市、河池市、防城港市高三第一次联考数学试卷
（文科）答案
1. C
2. A
3. B
4. C
5. A
6. A
7. B
8. D
9. B 10. D 11. D 12. B 13. 12 14. 20 15.
2√6
3
16. 3
17. 解：由sinB =2sinA 及正弦定理得：b =2a①，
由c =2，C =π
3及余弦定理得：a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab =c 2=4，即a 2+b 2−
ab =4②， 联立①②，解得a =
2√33
，b =
4√33，
则△ABC 的面积S =12absinC =1
2×
2√33×4√33×√3
2
=
2√33
．
18. 解：（1）∵ x
2000=0.19，∴ x =380
高三年级人数为y +z =2000−(373+377+380+370)=500
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，
应在高三年级抽取的人数为48
2000
×500=12（名）．
（2）设高三年级女生比男生多的事件为A，高三年级女生，
男生数记为(y, z)，由②知y+z=500，且y，z∈N，
基本事件空间包含的基本事件有(245, 255)，(246, 254)，(247, 253)，┅，(255, 245)共11个．
事件A包含的基本事件(251, 249)，(252, 248)，(253, 247)，(254, 246)，(255, 245)共5个．
∴ P(A)=5
11
．
19. 连接AC，BD交与点O，连接GO，FO，EO，
∵ E，F分别为PC，PD的中点，
∴ EF=∥1
2CD,GO=∥1
2
CD∴ EF=∥GO
∴ 四边形EFOG是平行四边行，∴ EO⊂平面EFOG，又在△PAC中，
E，O分别为PC，AC的中点∴ PA // EOEO⊂平面EFOGPA不在平面EFOG
∴ PA // 平面EFOG，即PA // 平面EFG；
取AD的中点H，连接GH，则由GH // CD // EF知平面EFG即为平面EFGH，
由已知底面ABCD为正方形∴ AD⊥DC
又∵ PD⊥平面ABCD∴ PD⊥CD又PD∩DC＝D∴ CD⊥平面PAD
又EF // CD∴ EF⊥平面PAD∴ EF⊥FD，EF⊥FH∴ ∠HFD为二面角的平面角
在直角三角形FDH中，由FD＝DH＝1得∠HFD＝45∘，故二面角G−EF−D的平面角为45∘．20. 解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，
则q>0且{a1+a1q+a1q2=14①
a1q2=8②
，
①÷②得：1+q+q2
q2=7
4
，整理得：3q2−4q−4=0，
解得：q=−2
3
（舍去），q=2，∵ a1=2，∴ a n=2n(n∈N+)；
（2）当n=1时，b1
a1=1
2
，a1=2，∴ b1=1，
当n≥2时，b1
a1+b2
a2
+...+b n
a n
=n
2n
①，b1
a1
+b2
a2
+...+b n−1
a n−1
=n−1
2n−1
②(n∈N∗)，
①-②得：b n
a n =n
2n
−n−1
2n−1
=2−n
2n
，又a n=2n，
∴ b n=2−n(n≥2)，又∵ b1=1=2−1，∴ b n=2−n(n∈N+)，
∵ b n+1−b n =−1，
∴ 数列{b n }是以1为首项，−1为公差的等差数列．
21. 解：（1）∵ f(x)=1
3
mx 3−(2+m
2
)x 2+4x +1，∴ f′(x)=mx 2−(4+m)x +4=
(mx −4)(x −1)
1)若m >4，则0<4
m <1，此时x ∈(−∞,4
m )∪(1,+∞)都有f /(x)>0，x ∈(4
m ,1)， 有f′(x)<0，∴ f(x)的单调递增区间为(−∞,4
m ]和[[1, +∞)；
2)若m =4，则f′(x)=4(x −1)2≥0，∴ f(x)的单调递增区间为(−∞, +∞)． （2）当m <0时，f /(x)=mx 2−(4+m)x +4=m(x −4
m )(x −1)且4
m <1 ∴ 当2≤x ≤3时，都有f′(x)<0
∴ 此时f(x)在[2, 3]上单调递减，∴ f(x)max =f(2)=2
3m +1
又g(x)=mx +5在[2, 3]上单调递减，∴ g(x)min =g(3)=3m +5 ∴ 2
3
m +1−3m −5≤1，解得m ≥−15
7
，又m <0，
所以−
157
≤m <0
22. 解：（1）设动圆的半径为r ，则PA =r +52
，PB =r +1，两式相减得PA −PB =2， 由双曲线的定义知点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，由A(−2, 0)，B(2, 0)， 故2a =2，c =2，∴ b =√3，故其方程为x 2
−
y 23
=1(x ≥1)．
（2）由PC →
⋅QC →
=0知，PC →
⊥QC →
，故P 、Q 、C 构成直角三角形，点R 到直线l 的距离等于 RC =
PQ 2
=x R −a ①．
当PQ 的斜率不存在时，R 与B 重合，a =−1，满足条件．
当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y =k(x −2)，代入双曲线方程得：(3−k 2)x 2+4k 2x −(4k 2+3)=0，
则由{ △>0
x 1+x 2=4k 2
3−k
2>0x 1⋅x 2=4k 2+3
3−k 2>0 解得k 2>3，且x R =x 1+x 22=2k 2k 2−3， PQ =√1+
k 2
⋅|x 1−x 2|=
6(k 2+1)k 2−3
，代入①可得a =
−k 2−3k 2−3
=−1−
6
k 2−3
，
由k 2>3，得a <−1． 综上，a ≤−1．。