第讲整体思想与换元法

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因式分解中的数学思想

因式分解中的数学思想数学思想是数学的精髓，是连接知识和能力的桥梁，是解题的灵魂。

因式分解这一章用到的数学思想有：一、整体思想例1 分解因式(x+2)(x+4)+x 2－4分析：分解因式时，此题如把括号展开整理后再分解很费事，若把x 2－4x 先分解成(x+2)(x －2),把(x+2)看成一个整体提出后即可分解因式。

解：(x+2)(x+4)+x 2－4=(x+2)(x+4)+ (x+2)(x －2)=(x+2)(x+4+x －2)=(x+2)(2x+2)=2(x+2)(x+1)点评：从整体的角度出发，通过观察思考，寻求解题的途径。

二、换元思想例2 分解因式()()()()12341x x x x +++++分析：可考虑把()()()()1423x x x x ++++及分别结合相乘，将原式恒等变形为()()2254561x x x x +++++，视其中相同的部分()25x x +为一个整体，并用字母y 来代换，则原式变为()()461y y +++，展开整理后再用公式法分解既可。

解：设x 2+5x=y ，则原式=()()()()14231x x x x +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ =()()2254561x x x x +++++=()()461y y +++=y 2+10y+25=()25y +=()2255x x ++点评：换元法实质是整体求解法，只是将某一整体用另一个字母来代换，将多元化少元，高次转低次。

三、转化思想例3分解因式x3+6x2－27x分析：x3+6x2－27x提出x后剩下x2+6x－27不能直接分解因式，想法转化为平方差公式分解。

给x2+6x加9减9即可。

解：x3+6x2－27x=x(x2+6x－27)=x(x2+6x+9－9－27)=x[(x+3)2－62]=x(x+3+6)(x+3－6)=x(x+9)(x－3)点评：转化思想是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去的一种思想方法。

数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想

专题知识突破五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

马老师中考数学专题复习专题_数学思想方法(二) 整体思想、转化思想

中考数学专题复习专题数学思想方法（二）（整体思想、转化思想）一、、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

二、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

对应训练考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2（•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）．对应训练 2．（•宁德质检）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 是AB 上的任意一点，作PD ⊥AC 于点D ，PE ⊥CB 于点E ，连结DE ，则DE 的最小值为．三、中考真题演练一、选择题1．（•杭州）若a+b=3，a-b=7，则ab=（）A ．-10B ．-40C ．10D ．403．（•达州）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 最小的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．55. （济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（）A 1BC ．526. （十堰）如图，直线y=6x ，y=23x 分别与双曲线k y x=在第一象限内交于点A ，B ，若S △OAB =8，则k= ．8．（•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．π二、填空题三、解答题27.在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（2，2），点C 是线段OA 上的一个动点（不运动至O ，A 两点），过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，以CD 为边作如图所示的正方形CDEF ，连结AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连结OF ，设OD ＝t .（1）tan AOB ∠= ，tan FOB ∠= ；（2）用含t 的代数式表示OB 的长；（3）当t 为何值时，△BEF 与△OFE 相似？A F xB E DC y O （第27题）。

数学中的整体思想

数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。

有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。

一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。

设船往返共用x小时。

则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。

分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。

因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。

高中数学专题思想讲义：03整体思想

1 1 xyz 4(m 3 ) 3 2
2 2
10. 【解】设两切点为 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 。两切线方程为 x1 x y1 y r , x2 x y2 y r 又两切线均过 P ( a, b) ，则 x1a y1b r , x2 a y2b r
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第讲整体思想
学生姓名授课教师核心内容学生年级上课日期整体思想学科时段课型数学
精准诊查
【课首沟通】
询问学生的复习进度及目前遇到的困难。
【知识导图】
研究问题若能有意识地放大考察问题的“视角” ，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过对整体结构的调节和转化使问题获解。把这种从整体观点出发研究问题的心理活动过程，叫做整体思维或整体思想。
2 6 12 11 2
2. 若 log 7 2 2 1 log 2

2 1 a ，求 log 7 2 2 1 log 2

2 1 的值。

3. 已知：方程 ax bx c 0 的两根之和为 S1 ，两根的平方和为 S 2 ，两根的立方和为 S 3 。证明：
k
k k 2Cn 0；
③
1 2 n 1 1 k C 。 n n 1 k 0 k 1
2 / 14
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【导学二】整体代入在求解有此问题时，不能（或不必）分别求出各个量的具体值，常考虑求出这些量所构成的某代数式的整体值，继而达到解题的目的。【例 3】长方体的全面积为 11，十二条棱长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为（ A. 2 3 B. ）

整体思想与换元法

过几个例子来说明两者的一致性，即为思想找方法，为方法寻思想。所谓整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理。换元法是指解数学题时把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从
B
C
注：扇形的面积公式为
S=
n仔r2 360
，其中 n 表示扇形的圆心角的
度数。题中无法求出每一个扇形的圆心角的度数，但是我们看到
三个圆心角度数的和恰好是一个三角形的内角和 180毅。
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证
等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体
嗓嗓嗓先解出 A，B 的值 A =2 ，则 3x-1=2 ，所以 x=1
B=-1 4y+3=-1
y=-1
注：观察这个方程组，都含有（3x-1）与（4y+3），所以可以把它
们进行换元看做一个整体先求出，再来求 x 与 y。
四、在几何中的应用
例 4：如图，一块三边形绿化园地，三角都做有半径为 R 的圆
解：令 A =（2x-1），B=（x+1），求 A 2-2AB+B2=（A -B）2=［（2x-1）（x+1）］2=（x-2）2
注：一眼看去，要分解的式子比较长，难以下手。但我们观察到（2x-1）与（x+1）都出现了两次，若把它们看做一个整体，运用换元法求解，即令 A =（2x-1），B=（x+1），原式就变成了完全平方公式 A 2-2A B+B2=（A -B）2。

整体思想与换元法

整体思想与换元法
换元法是一种有效的数学方法，它可以帮助我们快速求解解方程，对复杂问题的计算也非常有用。

它的核心思想就是将原问题转换成一
个新的方程，然后使用合适的替换法则来求解新方程的解。

换元法的一个基本思想是，一般来说，当我们遇到一个复杂的问
题时，可以先将这个问题转换成一个简单的问题，然后依次求解。

举
个例子，假设我们要求解一个复杂的方程：
x2 + 3x + 2 = 0
通过换元法，可以将其转换成如下的新的方程：
y2 + 2y + 1 = 0
两个方程的形式相同，只是参数变了，因此，求解新方程的解就
容易多了，然后根据求得的解将其转换回原方程的解就可以了。

另外，我们也可以利用换元法来把一个多项式方程转换成一个一
元方程，从而求解其根。

例如，将x3 - 4x2 + 5x - 2 = 0转换成一
元方程z3 - 5z + 2 = 0，然后求解z3 - 5z + 2 = 0就可以得到x3
- 4x2 + 5x - 2 = 0的根了。

总之，换元法是一种有效的数学方法，它能让我们有效地求解许
多复杂的问题，当遇到困难的问题时，写不出答案时，就可以拿出来
使用，把复杂问题转化为简单问题，为解决困难问题提供有力的帮助。

数学思想方法专题讲解第一讲---换元法

考点一：换元法换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，又称整体换元。

（一）直接换元（但请注意检验）：1．用换元法解方程：（1）256011x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2）22211122124x x x x x x +=--+-+2．解方程：()()4233340x x +-+-=3．用换元法分解因式： ()()22323416a a a a +-++-（二）间接换元1．解方程（先配方，后换元）：.2．解方程（倒数换元）： .3．解方程（变形换元）：（1）（2）()()()()1234150a a a a +++++=1)1(3)1(222=+-+x x x x 031)1(21122=-+++++x x x x 12222422=+-+-x x x x3．用换元法解方程组（双换元）：（1）36101610x y x yxy x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+.323,18y x y x（三）用换元法求值：（1）)2005131211)(200613121(+++++++ )200513121)(2006131211( ++++++-（2）2222009200820092007+200920092-=____________________（四）内部换元：利用题目中的某个字母或某个整体进行换元，从而简化题目。

1．已知113x y -=，求代数式2322y xy xy xy x --+-的值。

2．当1x =时，代数式37ax bx ++的值为4，求当1x =-时代数式37ax bx ++的值。

3．已知3208a x =-，3188b x =-，3168c x =-，求：代数式222a b c ab ac bc ++---的值。

4．已知2310x x -+=，求代数式的值：（1）221x x +；（2）2421x x x ++。

人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组复习专题2：整体思想换元法整数解

整数解整体思想换元法1、请你写出方程25x y +=的一组正整数解：2、若62x -为自然数，则满足条件的x 值有（）个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、53、13．已知关于x ，y 的方程组有正整数解，则整数a 的值为4、若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 是方程2x ＋y ＝0的解，则6a ＋3b ＋2＝．5、（1）求11x+15y=7的整数解；（2）求方程的正整数解：5x+7y=876、七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？7、a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？8、m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？9、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=+531542153y x y x（2）⎩⎨⎧=+=+11541378y x y x（3）⎩⎨⎧+=++=--+y x y x y x y x 3153)(43)(3)(210、如果2x+3y+z=130，3x+5y+z=180，求z y x y x +++2的值．11、为开拓学生的视野，全面培养和提升学生的综合素质，让学生感受粤东古城潮州的悠久历史，某中学组织八年级师生共420人前往潮州开展研学活动．学校向租车公司租赁A 、B 两种车型接送师生往返，若租用A 型车3辆，B 型车5辆，则空余15个座位；若租用A 型车5辆，B 型车3辆，则15人没座位．（1）求A 、B 两种车型各有多少个座位？（2）租车公司目前B 型车只有6辆，若A 型车租金为1800元/辆，B 型车租金为2100元/辆，请你为学校设计使座位恰好坐满师生且租金最少的租车方案．。

数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想

数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想专题知识突破五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

初高中数学衔接学习专题18 整体思想和主元思想及应用

初高中数学衔接学习专题18 整体思想和主元思想及应用整体思想：我们在解决某些数学问题时，不能只着眼于问题的各个组成部分，而是将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式结构或作整体处理，从而达到顺利又简捷地解决问题的思想方法，我们称之为整体的思想方法.其实这种数学思想方法在初中也是经常用到的.例如：解应用题时常把总工作量记为a ，将一个复杂的式子整体换元等就是整体思想的具体体现.主元思想：在处理含多个字母（元）的数学问题时，我们可以选取其中一个字母将其看做“主元”，而把其他的字母看做常量，从而达到减少变量简化运算的思想方法称之为主元思想.例1 已知012=-+x x ，求222234-+++x x x x 的值.分析：方程012=-+x x 的两根为251+-，251--，再将两根代入所求式子是很繁的.但是如果将x x +2视为整体，将所求式子化为关于x x +2的式子，再代入就简单多了.解：222234-+++x x x x 02112)()(2222=-+=-+++=x x x x .例2 图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm ）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为 cm 3．（计算结果保留π）分析：曲部看图1的三个小几何体是没有办法求出体积的，如果将图2再补一小块补成一个完整的圆柱，则其41块的体积就油然而生了.解：将图2再补一块图1的小几何体，就变为一个完整的圆柱，此时体积为2832⋅⋅π，则一小块的体积为π63，所以图2的几何体的体积为3189cm π（本题也可以将图2割补一块，请同学们试一试）例3 若存在实数t 使等式t t m --=2成立，求m 的范围.分析：将t 看成主元，m 为常数，存在实数t 使等式成立，说明关于t 的方程02=++m t t 有解，则0≥∆即得m 的范围.解：存在实数t 使等式t t m --=2成立，则关于t 的方程02=++m t t 有实数解，∴041≥-=∆m ，41≤∴m .例4 记函数m x mx y --=22，若m x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>--<1001202m x x x ，求证：函数值y 恒正.分析：证0>y ，即证022>--m x mx （一元二次不等式要到高中阶段才研究，即使用高中一元二次不等式知识来解决也十分复杂），初中阶段对一元二次不等式不作要求.但如果视m 为主元而x 为常数，不等式为02)1(2>--x m x ，记一次函数x m x y 2)1(21--=，由一次函数的图象可以看出：只要当自变量m 取0和1时，对应的函数值均大于0即可.证明：记关于m 的函数x m x y 2)1(21--=，∴<,0x 当m=0时对应的函数值为-2x>0.又,0122>--x x 所以当m=1时对应的函数值02)1(2>--x x ，∴函数x m x y 2)1(21--=在10≤≤m 上恒正，即022>--m x mx ，∴原函数m x mx y --=22恒正.习题1．用换元法解分式方程01131=+---x x x x 时，如果设y xx =-1，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（）A ． 032=-+y y B. 0132=+-y yC ． 0132=+-y y D. 0132=--y y2．若022=--x x ，则31)(32222+--+-x x x x 的值等于（） A 332 B 33 C 3 D 3或33 3．当21≤≤m 时，要不等式012>-+mx mx 恒成立，则x 必须满足（）A 012>-+x xB 01222>-+x xC ⎩⎨⎧>-+>-+01220122x x x x D 以上答案都不对 4.为了求231222++++…+20082的值，可令231222S =++++…20082+，则。

整体换元法基本步骤

整体换元法基本步骤嘿，咱今儿就来唠唠整体换元法的基本步骤。

你可别小瞧这整体换元法，它就像是一把神奇的钥匙，能打开好多难题的门锁呢！先来说说啥是整体换元法。

其实啊，就是把一个复杂的式子，看成一个整体，用一个新的变量去替换它，让问题变得简单明了。

就好像你有一堆乱麻，你把它捆成一捆，是不是就好处理多啦？那具体咋操作呢？第一步，你得仔细观察式子，找到那个可以作为整体的部分。

这就像是在茫茫人海中找到那个特别的人一样，得有一双敏锐的眼睛。

比如说，有个式子是 3(x+2)^2 + 5(x+2) - 2，那这里的(x+2)不就是个很明显可以作为整体的嘛。

第二步，设这个整体为一个新的变量。

咱就假设它是 t 吧，那式子就变成了 3t^2 + 5t - 2，是不是一下子清爽多啦？这就好比给这个式子来了个大变身。

第三步，解这个关于 t 的新方程。

就跟平时解方程一样，该怎么算就怎么算。

等求出 t 的值了，可别高兴太早哦。

第四步，再把 t 换回到原来的式子中去。

这就好比把变身后的式子再变回来，可不能忘了咱的初衷呀。

你看，整体换元法是不是挺有意思的？就像玩一个解谜游戏，一点点找到线索，解开难题。

咱再举个例子吧，比如有个式子是 2(x^2 - 2x) + 3(x^2 - 2x) + 1。

这里的(x^2 - 2x)就是那个可以整体换元的部分呀。

咱设它是 u，那式子就变成了 2u + 3u + 1 = 5u + 1。

求出 u 的值后，再换回去，不就把问题解决啦？整体换元法在好多数学问题中都大有用处呢！它能让那些看似复杂得让人头疼的问题，变得简单易懂。

你说这是不是很神奇呀？所以啊，同学们，遇到难题别发愁，想想整体换元法，说不定就能找到突破口啦！好好掌握这个方法，让数学变得不再那么可怕，而是充满乐趣和挑战呢！你还在等什么，赶紧去试试吧！。

初中数学解题方法第8章整体思想

第一节整体代入法
例题 1
例题 2
例题 3
例题 4
例题 5
第二节方程中的整体思想
例题1
例题
例题 3
例题 4
例题 5
例题 6
第三节几何中的整体思想
例题1
例题2
例题3
例题4
例题 5
例题 6

2
初中数学解题方法
第八章整体思想
所谓整体思想，就是从全局入手，找出问题的共同特征，聚零为整，把握问题的共性联系或结构的思想方法。把注意力和着眼点放在问题的整体结构改造上，从整体上把握问题的内容和解决的方向和策略，这样往往能使问题的解答简洁、明快，运用整体思想解题，能使不少复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。

整体思想与换元法

整体思想与换元法一、计算求值1、2、已知23,87a c ==，求8a c+的值。

3、计算：11231362346⎛⎫÷-+- ⎪⎝⎭4、计算：（1）13572011+++++（2）2011248162+++++（3）11111112320052320061111111232006232005⎛⎫⎛⎫----+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-----+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭二、用换元法解方程和方程组 6、解方程组()()9()()25(1)28(2)a b a b a b a b ++-=⎧⎨+--=⎩7、解方程13321++=+x x x x三、整式的运算与求值8、已知1,5==+xy y x ，求下列各式的值：① 22y x + ；② 2)(y x - 。

8、化简)212)(212(z y x z y x -++-9、已知(a 2＋b 2)(a 2＋b 2－1)＝12。

求a 2＋b 2的值．10、当y －x ＝5时，求x 2－y 2＋5x ＋5y ＋2006的值。

11、因式分解(a －b)(a 2－ab ＋b 2)－ab(a －b)；12、已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边的长． (1)当b 2＋2ab ＝c 2＋2ac 时，试判断△ABC 属于哪一类三角形；(2)判断a 2－b 2＋c 2－2ac 的值的符号，并说明理由．13、（1）已知()()2123x x a x x -+=+-，则a ＝（2）若()()226a m a a na +-=+-对于a 取任何值都成立，求,m n 的值。

四、分式的运算 14、已知113x y-=,则代数式21422x xy yx xy y----的值为15、若把分式xyyx +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（）A 、扩大2倍B 、不变C 、缩小2倍D 、缩小4倍 16、已知1n >，1n M n =-，1n N n-=，1nP n =+，则M 、N 、P 的大小关系是（）。

一元二次方程中的整体思想换元法

一元二次方程中的整体思想〔换元法〕一、内容概述所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体构造的特性，从而导出局部构造和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。

最具体的代表就是换元法的运用。

二、例题解析初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。

何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。

〔一〕换元法在解方程中的应用我们知道，解分式方程时一般用“去分母〞的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方〞的方法，将无理方程化成有理方程来解。

然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。

1.利用倒数关系换元例1 解分式方程：224343x x x x+=-- 分析：此分式方程假设两边同时去分母的话，会产生高次方程，比拟复杂难解。

但是假设稍加整理成2243403x x x x -++=-，那么可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单了。

解：移项整理得2243403x x x x -++=- 设23x x y -=，那么原方程可化为440y y++= 去分母得2440y y ++=解得122y y ==-当2y =-时，232x x -=-解得11x =22x =经检验：11x =22x =是原方程的根所以，原方程的根为11x =22x =练习1103=2.利用平方关系进展换元例2解方程：226x x +-=分析：代数式22x x +y =，那么原方程可化为256y y -=解得16y =，21y =-当6y =6=解得14x =292x =- 当1y =-1=-，此方程无实数根经检验：14x =292x =-是原方程的根所以，原方程的根为14x =292x =- 练习2解方程：2265x x --=分析：如果这个方程两边平方，那么就会得到一个一元四次方程，但此题的2x 项与x 的一次项，系数分别成比例，利用换元法可化成一个一元二次方程3.利用对称关系换元例3解方程组：2252616x xy y =+-=⎪⎩ 分析：将第二个方程左边分解因式可得()()22316x y x y +-=a =，b =，那么原方程组可化为简单的对称方程组22516a b a b +=⎧⎨=⎩4.均值换元例4 分解因式()()2274784x x x x -+-++分析：初步观察此代数式，似乎很难很快找到因式分解的方法，但仔细琢磨，发现两个二次三项式很“相似〞，不妨可以设276x x a -+=，解题步骤如下：解：设276x x a -+=，那么原式=()()()()()222222247616a a a x x x x -++==-+=-- 当然换元法在因式分解中还有其它的应用，比方说局部换元、和积换元、和差换元等。

初中数学整体换元法

初中数学整体换元法整体换元法是解决函数复杂的积分问题的一种常用方法，通常适用于一些特殊的函数或形式。

在初中数学的学习中，整体换元法是一个比较高深的数学知识点，需要很好的数学基础和分析能力才能掌握。

本篇文章将系统地介绍初中数学整体换元法，帮助大家掌握这一难点知识点。

一、基本概念整体换元法是指将积分变换为另一种形式，使得原来难以计算的积分变得容易计算。

以下是整体换元法的一些基本概念：1.变量代换：将函数中的自变量用一个新的变量（常数）表示，称为变量代换。

例如：设 y=f(x)，则将 x 替换为 u=g(x) 后，y=f(u)。

2. Jacobian 行列式：Jacobi 行列式是指变量代换中的导数式。

设有变量代换 x=g(u)，则有：$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} u}=g'(u)$$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partialx}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$Jacobian 行列式在整体换元法中非常重要，它可以帮助我们计算新的积分变量。

二、标准形式整体换元法的关键在于将积分式子变成标准形式。

以下是几种常见的标准形式：4. $\int\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2+1}}=\ln|x+\sqrt{x^2+1}|+C$其中，C 为常数。

三、例题以下是一些常见的例题和解法：$\int\frac{\sqrt{1-2x}}{x}\mathrm{d}x=-\int\frac{\sqrt{u^2-1}}{1-u^2}\mathrm{d}u=\ln|\frac{(u+\sqrt{u^2-1})^2}{u-1}|+C=\ln|\frac{(1-2x+\sqrt{1-2x})^2}{2x}|+C $四、注意事项2.整体换元法要注意选取合适的新变量，只有选取合适的变量才能使积分变得简单。

第讲整体思想与换元法

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