2020-2021学年安徽省合肥十中高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年安徽省合肥十中高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,4，6，8}，则A ∩B =( )
A. {1,3，5}
B. {2,4，6}
C. {2,3，4，5，6}
D. {1,2，3，4，5，6，8}
2. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2−x +1>0，则￢p( )
A. ∃x ∈R ，x 2−x +1≤0
B. ∀x ∈R ，x 2−x +1≤0
C. ∃x ∈R ，x 2−x +1>0
D. ∀x ∈R ，x 2−x +1≥0
3. 设α的终边上一点(−3,4)，则sinα=( ) A. 4 B. −3 C. 45 D. −35
4. 若幂函数f(x)=(m 2+m −1)x m+1在(0,+∞)上是增函数，则实数m 的值为( )
A. 1
B. −1
C. −2
D. −2或1 5. 函数y =√log 12(5x −2)的定义域为( )
A. (−∞,35]
B. (25,35)
C. (25,35]
D. [3
5,+∞) 6. 智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音.已知某噪音的声波曲线y =Asin(x +φ)(A >0,0≤φ<π
2)的振幅为2，经过点(π6,√3)，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为( )
A. y =2sin(x +π6)
B. y =−2sin(x +π
6) C. y =2sinx
D. y =−2sinx 7. 函数f(x)=x−x −12|x|+x 2的大致图象为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=3−4||x−1|−1|，则函数y=f(x)−lg|x|的零点个数为()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 以上都不对
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.“x
x−2
≤0”的充分条件有()
A. 0<x<2
B. −1<x<2
C. 0≤x<2
D. 0≤x≤2
10.已知函数f(x)=cos(2x+π
3
)，则下列说法正确的是()
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 当x=kπ−π
6
(k∈Z)时，f(x)取得最大值1
C. 函数f(x)图象的一个对称中心是(5π
6
,0)
D. 将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π
12
个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为y=cos4x
11.下列说法不正确的是()
A. 函数f(x)=1
x
在定义域上是减函数
B. 函数f(x)=2x−x2有且只有两个零点
C. 已知x>0，y>0，且1
x +1
y
=1，若x+y>m2+3m恒成立，则−4<m<1
D. 若f(x)={−x 2+(3a−1)x−8,x≤1
ax,x>1，在
R上是增函数，则实数a的取值范围是[1,+∞)
12.若函数f(x)的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，都有f(x+T)=f(x)+T，则称f(x)为
类周期函数，T为f(x)的类周期.则()
A. 函数f(x)=x是类周期函数
B. 函数f(x)=2x是类周期函数
C. 若函数f(x)是类周期为T 的类周期函数，则函数y =f(x)−x 为周期函数
D. 若f(x)=sinx +kx 为类周期函数，则k =1
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知扇形的圆心角为23π，半径为2，则该扇形的面积为______ ．
14. 已知函数f(x)={(14)x +6,x ≤1log a (x +1),x >1
，其中a >0，a ≠1.若f(f(−12))=2，则实数a 的值是______ ． 15. 已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f(x)+g(x)=2x −x ，则f(0)的值
为______ ：若函数ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x −2021)−2λ2有唯一零点，则实数λ的值为______ ．
16. 已知函数f(x)=x 2+2ax +8(a >0)，集合A ={x|f(x)≤0}，B ={x|f(f(x))≤8}，若A =B ≠⌀，
则a 的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知集合A ={x|(x +2)(x −3)<0}，B ={x|k +2<x <3−k}．
(1)当k =−3时，求A ∪B ；
(2)若A ∪B =B ，求实数k 的取值范围．
18. 在①tan(π+α)=2，②sin(π−α)−sin(π2−α)=cos(−α)，③2sin(π2+α)=cos(3π2+α)这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知_______，
(1)求3sinα+2cosαsinα−cosα的值；
(2)当α为第三象限角时，求sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−
3π2)的值．
19.已知函数f(x)=log a(1+x)+log a(1−x)(a>0,a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)证明：f(x)为偶函数；
(3)求关于x的不等式f(x)≥log a(x2+x)的解集．
20.已知函数f(x)=2sin(1
2x+π
6
)，x∈R．
(1)用“五点法”画出函数f(x)一个周期内的图象；
(2)求函数f(x)在[−π,π]内的值域；
(3)若将函数f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[−π,π]内的单调增区间．
21.在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD
的三边AB，BC，CD由长为8厘米的材料弯折而成，BC边的长为2t厘米(0<t<4)；曲线AOD是
一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=−x2
3
，记窗户的高(点O到BC边的距离)为f(t)．
(1)求函数f(t)的解析式；
(2)要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？
(3)要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？
22. 已知函数f(x)=(12)x ，g(x)=f(x)+a
f(x)是定义在R 上的奇函数．
(1)求实数a 的值
(2)用单调性的定义证明：g(x)是减函数；
(3)若函数ℎ(x)=f(2x)+1f(2x)−2mg(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点x 1，x 2．
(ⅰ)求实数m 的取值范围；
(ⅰ)求证：x 1+x 2>log 2(2+√3)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,4，6，8}，
∴A ∩B ={2,4，6}．
故选：B ．
进行交集的运算即可．
本题考查了列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R 变为∃x ∈R ，再将不等号>变为≤即可．
故选：A ．
命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．
本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵x =−3，y =4，
∴|OP|=√(−3)2+42=5，
∴sinα=y |OP|=45，
故选：C ．
直接利用三角函数的定义即可得出．
本题考查了三角函数的定义，属于基础题． 4.【答案】A
【解析】解：因为幂函数f(x)=(m 2+m −1)x m+1在(0,+∞)上是增函数，
所以有{m 2+m −1=0m +1>0
， 解得m =1．
故选：A ．
直接利用幂函数的定义以及幂函数的单调性列出关于m的关系，求解即可．
本题考查了幂函数的应用，涉及了幂函数的定义以及幂函数的单调性，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得：0<5x−2≤1，
解得：2
5<x≤3
5
，
故选：C．
根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
本题考查了二次根式的性质，考查对数函数的性质，是一道基础题．6.【答案】B
【解析】解：因为振幅为2，
所以A=2，
又经过点(π
6
,√3)，
则有2sin(π
6+φ)=√3，所以sin(π
6
+φ)=√3
2
，
因为0≤φ<π
2，所以φ=π
6
，
故噪音的声波曲线为y=2sin(x+π
6
)，
又反向波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，
所以反向波曲线为y=−2sin(x+π
6
)．
故选：B．
利用振幅求出A，然后利用特殊点求出φ，从而得到噪音的声波曲线，再利用反向波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，即可得到答案．
本题考查了函数解析式的求解，此类问题的一般解法是：利用最值可以求A的值，周期可以求ω的值，特殊点可以求φ的值．
7.【答案】D
【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f(−x)=− x+x−1
2|−x|+(−x)2=−x−x−1
2|x|+x2
=−f(x)，
则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当x>1时，f(x)>0，排除C，
故选：D．
判断函数的奇偶性和对称性，结合当x>1时，函数值的符号进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及特殊值的对应性，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为函数y=f(x)−lg|x|的零点个数即为y=f(x)与y=lg|x|的交点个数，
在同一直角坐标系中画图可得：
即有4个不同的交点，
故有4个零点，
故选：C．
可化为函数y=f(x)与y=lg|x|有几个不同的交点，作函数的图象求解．
本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由x
x−2≤0，得{x−2<0
x≥0，解得：0≤x<2，
故x
x−2
≤0”的充分条件有(0,2)，[0,2)，
故选：AC．
根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．10.【答案】AB
【解析】解：函数f(x)=cos(2x +π3)，
对于A ：函数f(x)的最小正周期为π，故A 正确；
对于B ：当x =kπ−π6(k ∈Z)时，f(x)取得最大值1，故B 正确；
对于C ：函数f(x)图象的一个对称中心是(5π6,0)，故C 错误；
对于D ：将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，
再将图象向右平移π12个单位长度，
则所得到的图象的函数解析式为y =cos4x ，故D 错误；
故选：AB ．
直接利用余弦型函数的性质的应用判定A 、B 、C 、D 的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 11.【答案】ABD
【解析】解：对于A ：函数f(x)=1
x 在(−∞,0)和(0,+∞)为单调减函数，故A 错误；
对于B ：当x =2和4时，函数f(x)=2x −x 2满足f(2)=f(4)=f(x 1)=0，
如图所示：
故函数有且只有三个零点，故B 不正确；
对于C ：已知x >0，y >0，且1x +1
y =1，若x +y >m 2+3m 恒成立，
只需满足(x +y)min =4>m 2+3m ，整理得m 2+3m −4<0，解得−4<m <1，故C 正确；
对于D ：若f(x)={−x 2+(3a −1)x −8,x ≤1ax,x >1，在R 上是增函数，
故{3a−12≥1
a >0a ≥−1+3a −1−8
，解得a ∈[1,5]，故D 错误． 故选：ABD ．
直接利用函数的单调性，函数的零点，基本不等式，参数的取值范围判断A 、B 、C 、D 的结论．
本题考查的知识要点：函数的单调性，函数的零点，基本不等式，参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：对于A ，因为对于非零常数T ，f(x +T)=x +T =f(x)+T 对任何x ∈R 成立，函数f(x)=x 是类周期函数，则A 对；
对于B ，假设函数f(x)=2x 是类周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有f(x +T)=f(x)+T ， 2x+T =2x +T ⇒2x ⋅2T =2x +T ⇒2x(2T−1)=2x +T ⇒2T −1=1+
T 2x 令x →+∞得：2T −1=0⇒
T =0，与假设矛盾，则B 错；
对于C ，令f(x)=x ，由A 知f(x)是类周期函数，F(x)=f(x)−x =0，假设非零常数T ，为F(x)的类周期，
所以，F(x +T)=F(x)+T ⇒0=0+T ⇒T =0，与假设矛盾，则C 错；
对于D ，因为f(x)=sinx +kx 为类周期函数，存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有f(x +T)=f(x)+T ， ⇒sin(x +T)+k(x +T)=sin(x)+kx +T ⇒sin(x +T)−sin(x)=(1−k)T ⇒2cos(x +T 2)sin(T 2)=(1−k)T ，由x ∈R ，
所以sin(T 2)=0⇒(1−k)T =0⇒1−k =0⇒k −1，则D 对；
故选：AD ．
由类周期函数定义判断AB ，用举反例法判断C ，用三角函数公式判断D ．
本题以命题的真假判断为载体，考查了正弦函数和差化积公式，理解新定义解题关键，属难题． 13.【答案】4π3
【解析】解：由扇形的圆心角为23π，半径为2，
所以该扇形的面积为S =12αr 2=12×
2π3×22=4π3． 故答案为：4π3．
由扇形的面积公式计算即可．
本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．
14.【答案】3
【解析】解：因为函数f(x)={(14)x +6,x ≤1log a (x +1),x >1
， 所以f(−12)=(14)−12+6=2+6=8， 所以f(f(−12))=f(8)=log a (8+1)=log a 9=2，
所以a 2=9，
又中a >0，a ≠1，
所以a =3．
故答案为：3．
先利用分段函数的解析式求出f(−12)，再利用f(f(−12))=2，求出a 的值即可．
本题考查了函数求值问题，涉及了分段函数的应用，对于分段函数问题，一般会运用分类讨论或是数形结合法求解． 15.【答案】1 −1或12
【解析】解：因为g(x)是定义在R 上的奇函数，
所以有g(0)=0，
因为f(x)+g(x)=2x −x ，
所以f(0)+g(0)=1，所以f(0)=1，
令F(x)=2|x|−λf(x)−2λ2，因为f(x)是定义在R 上的偶函数，
所以F(−x)=2|−x|−λf(−x)−2λ2=2|x|−λf(x)−2λ2=f(x)，
所以F(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，
所以ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x −2021)−2λ2=F(x −2021)，
所以ℎ(x)的图象关于x =2021对称，
因为ℎ(x)有唯一零点，
所以ℎ(2021)=0，即1−λf(0)−2λ2=0，即1−λ−2λ2=0，
解得λ=−1或12．
故答案为：1，−1或12．
由奇函数的性质可得g(0)=0，从而可求得f(0)，令F(x)=2|x|−λf(x)−2λ2，可得F(x)为偶函数，可得
ℎ(x)的图象关于x=2021对称，由题意可知ℎ(2021)=0，从而可解得λ的值．
本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，属于中档题．
16.【答案】[2√2,4]
【解析】解：因为函数f(x)=x2+2ax+8(a>0)，集合A={x|f(x)≤0}，A≠⌀，
所以函数f(x)=x2+2ax+8与x轴有交点，△=(2a)2−4×8≥0，解得a≤−2√2或a≥2√2，
B={x|f(f(x))≤8}，令t=f(x)，f(f(x))=f(t)≤8，而f(0)=f(−2a)=8，
根据二次函数的对称性有−2a≤t≤0，即−2a≤f(x)≤0，
所以B={x|−2a≤f(x)≤0}，而A=B，所以−2a≤(x2+2ax+8)min=f(−a)=8−a2，
解得：−2≤a≤4，而a≤−2√2或a≥2√2，
所以a的取值范围为[2√2,4]．
故答案为：[2√2,4]．
根据集合A非空可求出a的一个范围，然后令t=f(x)，可求出f(x)的值域，最后根据A=B建立关系式，即可求出所求．
本题主要考查了二次函数的值域，以及复合函数的性质，解题的关键是化简集合B，同时考查了学生的推理能力和换元的思想．
17.【答案】解：(1)A={x|−2<x<3}，k=−3时，B={x|−1<x<6}，
∴A∪B={x|−2<x<6}；
(2)∵A∪B=B，
∴A⊆B，
∴{k+2≤−2
3−k≥3，解得k≤−4，
∴实数k的取值范围为：(−∞,−4]．
【解析】(1)可求出A={x|−2<x<3}，k=−3时求出集合B，然后进行并集的运算即可；
(2)根据A∪B=B可得出A⊆B，然后即可得出{k+2≤−2
3−k≥3，从而解出k的范围即可．
本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)若选①，tan(π+α)=tanα=2，
可得3sinα+2cosα
sinα−cosα=3tanα+2
tanα−1
=8；
若选②，sin(π−α)−sin(π
2
−α)=cos(−α)，
可得：sinα−cosα=cosα，即tanα=2，
可得3sinα+2cosαsinα−cosα=
3tanα+2tanα−1=8； 若选③，2sin(π2+α)=cos(3π2+α)，
可得2cosα=sinα，即tanα=2，
可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8；
(2)当α为第三象限角时，tanα=2，sin 2α+cos 2α=1，
解得sinα=−2√55，cosα=−√55
， 所以sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−3π2)
=−sinα+cosα+sinαcosα
=2√55−√55+(−2√55)×(−√55
) =
2+√55．
【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
(1)若选①或②或③，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；
(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，利用诱导公式化简即可求解． 19.【答案】(1)解：函数f(x)=log a (1+x)+log a (1−x)中，
令{1+x >01−x >0
，解得−1<x <1； 所以函数f(x)的定义域为(−1,1)．
(2)证明：函数f(x)=log a (1+x)+log a (1−x)，定义域为(−1,1)；
任取x ∈(−1,1)，都有f(−x)=log a (1−x)+log a (1+x)=f(x)，
所以函数f(x)是定义域(−1,1)上的偶函数．
(3)解：不等式f(x)≥log a (x 2+x)等价于log a (1−x 2)≥log a (x 2+x)，
当a >1时，不等式转化为{−1<x <11−x 2≥x 2+x
， 解得−1<x ≤12，
所以不等式的解集为(−1,12].
当0<a <1时，不等式转化为{−1<x <11−x 2≤x 2+x ，
解得1
2
≤x<1，
所以不等式的解集为[1
2
,1)．
综上知，a>1时，不等式的解集为(−1,1
2
]；
0<a<1时，不等式的解集为[1
2
,1)．
【解析】(1)利用对数的定义列不等式组求出解集即可．
(2)根据偶函数的定义证明f(−x)=f(x)即可．
(3)不等式等价于log a(1−x2)≥log a(x2+x)，讨论a>1和0<a<1时，求出不等式的解集即可．本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分类讨论与转化思想，是中档题．
20.【答案】解：(1)列表如下：
1 2x+π
6
π
2π
3π
2
2π
x−π
3
2π
3
5π
3
8π
3
11π
3
y=2sin(1
2
x+
π
6
)020−20
描点连线，可得函数图象如下：
(2)∵x∈[−π,π]，
∴1
2x+π
6
∈[−π
3
,2π
3
]，
∴f(x)=2sin(1
2x+π
6
)∈[−√3,2]，即函数f(x)在[−π,π]内的值域为[−√3,2]．
(3)将函数f(x)的图象向右平移π
6个单位长度，得到函数g(x)=2sin[1
2
(x−π
6
)+π
6
]=2sin(1
2
x+π
12
)的图象，
令2kπ−π
2≤1
2
x+π
12
≤2kπ+π
2
，可解得4kπ−7π
6
≤x≤4kπ+5π
6
，k∈Z，
又x∈[−π,π]，
可得函数f(x)的单调增区间是[−π,5π
6
].
【解析】本题主要考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
(1)根据已知中函数的解析式，描出函数图象上几个关键点的坐标，进而可得函数f(x)一个周期内的图象；
(2)根据已知先求得1
2x+π
6
∈[−π
3
,2π
3
]，利用正弦函数的性质即可求解；
(3)利用三角函数的平移变换可求函数g(x)，进而根据正弦函数的单调性即可求解．21.【答案】解：(1)由题意知，2|CD|+|BC|=8，
∴|CD|=8−2t
2
=4−t，
∵BC边的长为2t厘米，且点D在抛物线y=−x2
3
上，
∴D(t,−t2
3
)，
∴f(t)=t2
3+(4−t)=t2
3
−t+4(0<t<4)．
(2)由(1)知，f(t)=t2
3−t+4=1
3
(t−3
2
)2+13
4
，
∵0<t<4，
∴当t=3
2，即2t=3时，f(t)取得最大值，为13
4
，
故要使得窗户的高最小，BC边应设计成3厘米．
(3)f(t)
|BC|=
t2
3
−t+4
2t
=t
6
+2
t
−1
2
≥2√t
6
⋅2
t
−1
2
=2√3
3
−1
2
，
当且仅当t
6=2
t
，即t=2√3，也即2t=4√3时，f(t)
|BC|
最小，
故要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC边应设计成4√3厘米．
【解析】(1)推导出|CD|=4−t，D(t,−t2
3
)，再写出函数f(t)的解析式，即可；
(2)利用配方法对(1)中的函数f(t)进行整理，即可得解；
(3)f(t)
|BC|=t
6
+2
t
−1
2
，再结合基本不等式，即可得解．
本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】(1)解：g(x)是R上的奇函数，
则有g(0)=0，
所以有f(0)+a f(0)=1+a=0，解得a=−1；
(2)证明：g(x)=f(x)+a
f(x)=1
2x
−2x，
设x 1<x 2，
则g(x 2)−g(x 1)=(12x 2−2x 2)−(12x 1−2x 1)
=(2x 1−2x 2)⋅(1
22+1)，
因为x 1<x 2，所以2x 1−2x 2<0，12x 1+x 2+1>0，
则g(x 2)−g(x 1)<0，即g(x 2)<g(x 1)，
所以函数g(x)是减函数．
(3)(i)解：ℎ(x)=f(2x)+1f(2x)−2mg(x)=122x +22x −2m(12x −2x )
=(2x −12x )2+2m(2x −12x )+2，
令t =2x −12x ，x >0，则t >0，
令μ(t)=t 2+2mt +2，由(2)知g(x)为减函数，
令t =−g(x)，则−g(x)为增函数，t 与x 一一对应，
故ℎ(x)在(0,+∞)上有2个不同的零点x 1，x 2，
即μ(t)在(0,+∞)上有2个不同的零点t 1，t 2，
则t 1=−m −√m 2−2，t 2=−m +√m 2−2，
故△=4m 2−8>0，−m −√m 2−2>0，解得m <−√2；
(ii)证明：由(i)可知t 1+t 2=2m ，t 1t 2=2，
又t 1=2x 1−121，t 2=2x 2−122，
则t 1t 2=(2
x 1−12x 1)(2x 2−12x 2)=2x 1+x 2+12x 1+x 2−(2x 22x 1+2x 12x 2)， 因为
2x 22x 1>0，由x 1≠x 2， 所以2x 2
2x 1+2x 12x 2>2，则t 1t 2<2x 1+x 2+12x 1+x 2−2，
所以2<2x 1+x 2+12x 1+x 2−2，故(2x 1+x 2)2−4⋅2x 1+x 2+1>0，
解得2x 1+x 2>2+√3或2x 1+x 2<2−√3，由x 1+x 2>0，
则2x 1+x 2>1>2−√3，
故2x 1+x 2>2+√3，
所以x 1+x 2>log 2(2+√3)．
【解析】(1)直接利用奇函数的性质g(0)=0，求解即可；
(2)利用函数单调性的定义的步骤进行证明即可；
(3)(i)利用换元，令t=2x−1
，x>0，则t>0，令μ(t)=t2+2mt+2，转化为μ(t)在(0,+∞)上有2个
2x
不同的零点t1，t2，求解即可；
(ii)利用(i)中的结论，结合基本不等式进行分析证明即可．
本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了函数奇偶性、单调性的应用，同时考查了函数的零点问题以及不等式的证明，综合性强，属于中档题．。