2022年北师大版一元二次方程 单元试卷含答案解析

一元二次方程 单元测验（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1． 已知关于x 的方程x 2＋m 2x －2＝0的一个根是1，则m 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．±1
D ．±2
2．一元二次方程x 2+2x+2=0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．无实数根
3．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个根，则x 1+x 2的值是（ ）
A ．1
B ．5
C ．﹣5
D ．6
4．已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．﹣2 D ．2
5．若关于x 的方程0222=-+-a ax x 有两个相等的实根，则a 的值是（ ）
A ．－4
B ．4
C ．4或－4
D ．2
6．若关于的x 方程230x x a ++=有一个根为 -1，则a 的值为
A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4-
7．某商品原价800元，连续两次降价a ％后售价为578元，下列所列方程正确的是（ ）A ．800(1+a%)2=578 B ．800(1－a%)2=578 C ．800(1－2a%)=578 D ．800(1－a 2%)=578
8．（2016湖北随州第8题）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ）
A ．20（1+2x ）
B ．（1+x ）2=20
C ．20（1+x ）2=28.8
D ．20+20（1+x ）+20（1+x ）2
9．用配方法解方程2x 2+3=7x ，方程可变形为（ ）
A ．2737()24x
B ．2743()24
x C ．271()416
x D ．2725()416x 10．关于x 的方程01)4(22=++-+k x k x 的两个根互为相反数，则k 值是（ ）
A.1-
B.2±
C.2
D.2-
11．写出一个解为1和2的一元二次方程： ．
12．方程x 2－3=0的根是
13．已知一元二次方程x 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根，则m= ．
14．已知1是关于x 的一元二次方程022=+-k x x 的一个根，那么=k ．
15．某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x 名学生，根据题意，可列方程 ．
16．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中，会得到一个新的实数a 2﹣2b+3．若将实数（x ，﹣2x ）放入其中，得到﹣1，则x= ．
17．（2015秋•芜湖期末）若方程kx 2﹣6x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 ．
18．已知x 1、x 2是方程x 2－3x －2＝0的两个实根，则(x 1－2) (x 2－
2)= ．
19．某玩具店今年3月份售出某种玩具2500个，5月份售出该玩具3600个，每月平均增长率为 ．
20．对于实数a ，b ，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣6x+8=0的两个根，则x 1⊗x 2= ．
三、解答题
21．解下列方程：
（1）246x x +=
（2）()33x x x -=-+
22．制造某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元，求平均每次降低成本的百分率．
23．已知：关于x 的方程2210x kx +-=
⑴ 求证：方程有两个不相等的实数根；⑵ 若方程的一个根是1-，求另一个二、填空题
根及k值．
24．关于x的一元二次方程2(31)+210
---=，其根的判别式的值为
mx m x m
1，求m的值及该方程的根．
25．周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
26．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．
27．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，合肥市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递
总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
28．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。

（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程。

在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：将x=1代入方程可得：2m -1=0，解得：m=1或m=-1.
考点：解一元二次方程
2．D
【解析】
试题解析：x 2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，
∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×2=﹣4＜0，∴方程无实数根，故选D ．
考点：根的判别式．
3．B
【解析】
试题分析：依据一元二次方程根与系数的关系可知，x 1+x 2=﹣
b a ，这里a=1，b=﹣5，据此即可求x 1+x 2=5．
故选B ．
考点：根与系数的关系
4．A.
【解析】
试题分析：由一元二次方程根与系数关系得知:α＋β=-
a b =3,α⋅β=a
c =-3,所求式子化为（α＋β）÷（α⋅β）=3÷（-3）=-1.故本题选A.
考点：一元二次方程根与系数关系. 5．B ．
【解析】
试题分析：2220x ax a -+-=有两个相等的实根，则224()42(2)0b ac a a =-=--⨯⨯-=，解得 4.a =故选B ．
考点：一元二次方程的根的判别式．
6．C
【解析】
试题解析：∵若关于的x 方程230x x a ++=有一个根为-1
∴()213(1)0a -+⨯-+=
解得：a=2．
故选C ．
考点：一元二次方程的解．
7．B
试题分析：因为商品原价800元，连续两次降价a ％后售价为800(1－a%)2元，所以可列方程为：800(1－a%)2=578，故选：B.
考点：一元二次方程的应用.
8．C.
【解析】
试题分析：设这两年观赏人数年均增长率为x ，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得方程20（1+x ）2=28.8．故答案选C ．
考点：一元二次方程的应用.
9．D
【解析】
试题分析：首先将常数项平移到等式的右边，然后将二次项系数化为1，左右两边都加上一次项系数一半的平方．
22x －7x=－3
2x －
72x=－32
2x －72x+4916=－32+4916
∴2725()416
x ． 考点：配方法解一元二次方程 10．D
【解析】本题考查的是根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可。

设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程01)4(22=++-+k x k x 的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则x 1+x 2=b a
-=-(k 2-4)=0，即k= 2±，当k=2时，方程无解，故舍去。

故选D
11．x 2-3x+2=0．
【解析】
试题解析：∵1+2=3，1×2=2，
∴以1和2为根的一元二次方程可为x 2-3x+2=0．
考点：根与系数的关系． 12．x 1=3，x 2= -3．
【解析】
试题分析：移项得x 2=3，开方得x 1=3，x 2= -3．
考点：解一元二次方程．
13．2．
试题分析：已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，可得△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×（m﹣1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2=0，解得m=2.
考点：根的判别式．
14．1．
【解析】
试题分析：将x=1代入此方程得：1-2+k=0,解得：k=1．
考点：一元二次方程的根的意义．
15．x（x﹣1）=2550．
【解析】
试题分析：如果全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张，全班应该送照片x（x﹣1），那么根据题意可列的方程．
解：全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张；
全班应该送照片x（x﹣1），
则可列方程为：x（x﹣1）=2550．
故答案为x（x﹣1）=2550．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
16．﹣2．
【解析】
试题分析：根据新定义得到x2﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，然后把方程整理为一般式，然后利用配方法解方程即可．
解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，
整理得x2+4x+4=0，
（x+2）2=0，
所以x1=x2=﹣2．
故答案为﹣2．
考点：解一元二次方程-配方法．
17．k≤9，且k≠0
【解析】
试题分析：若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解：∵方程有两个实数根，
∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0，
即k≤9，且k≠0
考点：根的判别式．
18．4
【解析】由于x1+x2=3，x1•x2=-2，∴（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=-2-2×3+4=-4．
【解析】
试题分析：设每月的平均增长率为x ．根据题意得：22500(1)3600x +=，解得：x=20%或x=﹣220%（舍去），故答案为：20%．
考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．
20．±4
【解析】
试题分析：x 2﹣6x+8=0，
解得：x=4或2，
当x 1=2，x 2=4时，x 1⊗x 2=22﹣2×4=﹣4；
当x 1=4，x 2=2时，x 1⊗x 2=4×2﹣22=4；
故答案为：±4．
考点：解一元二次方程的应用．
21．（1）12x =-22x =-（2）13x =，21x =．
【解析】
试题分析：（1）24464x x ++=+，∴2(2)10x +=，∴2x +=，∴
12x =-22x =-
（2）()3(3)0x x x ---=，(3)(1)0x x --=，∴13x =，21x =．
考点：1、解一元二次方程-配方法；2、解一元二次方程-因式分解法． 22．20％
【解析】
等量关系为：原来的成本×（1-降低的百分率）2=192，把相关数值代入计算即可． 解：设平均每次降低成本的百分率为x ，
300×（1-x ）2=192，
（1-x ）2
∴
∴x=20%．
答：平均每次降低成本的百分率为20%．
23．（1）△=280k +> （2）1k = 12
x = 【解析】
试题分析：（1）根据根的判别式：24b ac =-=280k +>，可知方程有2个不相等实数根。

2210x x +-=
用十字交叉法：
（x-1）（2x+1）=0. 求出另一根12x = 考点：一元二次方程
点评：本题难度中等，主要考查学生对一元二次方程的掌握。

做这类题使用根的判别式与十字交叉法求值即可。

24．x 1=1, x 2=32
. 【解析】解：,(31),21(1)a m b m c m ==--=-分，⊿=b 2-4ac=（3m-1）2+4m(1-2m)=1,
∴m=2或0（3分），显然m=2.(4分)．当m=2时，此方程的解为： x 1=1, x 2=32
. 25．8支.
【解析】
试题分析：此题利用一元二次方程解决，等量关系为：比赛总场次=28场. 试题解析：设要邀请x 支球队参加比赛，由题意得 x （x ﹣1）=28，解得：x 1=8，x 2=﹣7（舍去）． 答：应邀请8支球队参加比赛.
考点：一元二次方程的应用.
26．（9﹣2x ）•（5﹣2x ）=12．
【解析】
试题分析：由于剪去的正方形边长为xcm ，那么长方体纸盒的底面的长为（9﹣2x ），宽为（5﹣2x ），然后根据底面积是12cm 2即可列出方程．
解：设剪去的正方形边长为xcm ，
依题意得（9﹣2x ）•（5﹣2x ）=12，
故填空答案：（9﹣2x ）•（5﹣2x ）=12．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
27．（1）10%；（2）不能，增加2名业务员.
【解析】
试题分析：（1）首先设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，然后根据增长率的基本公式列出方程求出x 的值；（2）首先根据增长率求出6月份的任务，然后根据每人的投递两求出需要增加的业务员的人数.
试题解析：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，
根据题意得 102)1(x +=12.1，
解得1x =0.1，2x =﹣2.2（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
×（1+10%）=13.31（万件）
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴×21=12.6＜13.31
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
∴﹣12.6）÷0.6=11160
≈2（人）． 答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
考点：一元二次方程的应用
28．解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x 个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，
根据题意，得()()x x 56x x 5+=++，即2x 7x 300--=，
解得12x 10x 3==-，（不合题意，舍去）。

∴x 515+=。

答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月。

（2）设甲队的施工时间为y 个月，则乙队的施工时间为1y 2
个月， 根据题意，得1100y 50y 15002+⋅≤，
解得y 12≤。

答：甲队最多施工12个月才能使工程款不超过1500万元。

【解析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。

若乙队单独完成这项工程需x 个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”。

不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。

若设甲队的施工时间为y 个月，则乙队的施工时间为1y 2个月，不等量关系为：“工程款不超过1500万元”。

北师大版八年级上期中测试卷（1）
一、选择题（有且只有一个正确答案，每小题3分，共39分）
1、下列各组数中互为相反数的是（ ）
A 、2)2(2--与
B 、382--与
C 、2)2(2-与
D 、22与-
2、在ABC △中，34AC BC ==，，则AB 的长是（ ）
A 、5
B 、7
C 、5或7
D 、大于1且小于7 3、在()02-，38, 0, 9, 34……， 2
π…， 5…(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
4、满足73<<-x 的整数x 是（ ）
A 、3,2,1,0,1,2--
B 、2,1,0,1-
C 、3,2,1,0,1,2--
D 、3,2,1,0,1-
5、若2(2)a +与|b +1|互为相反数,则a b -的值为（ ）
A 、2
B 、12+
C 、12-
D 、12-
6、下列语句：①1-是1的平方根。

②带根号的数都是无理数。

③1-的立方根是1-。

④38的立方根是2。

⑤2)2(-的算术平方根2。

⑥125-的立方根是±5。

⑦有理数和数轴上的点一一对应。

其中正确的有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
7、下列运算中错误的有（ ）个
①416= ② 393= ③332-=- ④3)3(2=- ⑤±332=
A 、４
B 、３
C 、２
D 、１
8、若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则a b -的值为（ ）
A 、2
B 、0
C 、－2
D 、以上都不对
9、在平面内，确定一个点的位置一般需要的数据个数是（ ）个．
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
10、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2 m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7 m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ，同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（ ）
A 、小于1 m
B 、大于1 m
C 、等于1 m
D 、小于或等于1 m
第10题图 第11题图 第14题图 第19题图
11、将一根24 cm 的筷子置于底面直径为15 cm ，高为8 cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设
筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）
A 、h ≤17
B 、h ≥8
C 、15≤h ≤16
D 、7≤h ≤16
12、如果1-x +x -9有意义，那么代数式|x －1|+2)9(-x 的值为（ ）
A 、±8
B 、8
C 、8-
D 、无法确定 13、若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是（ ）
A 、直角三角形
B 、等腰直角三角形
C 、等腰三角形
D 、以上结论都不对
二、填空题（每小题5分，共35分）
14、如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.
15、2)5(-的算术平方根是 ，
81的平方根是 ，－8的立方根是 ， －3的相反数是 ，16的算术平方根是
16、比较下列实数的大小（在 填上 > 、< 或 ＝）
①3- 2-；②215- 2
1；③112 53；④310 5； ⑤6 17，在 Rt △ABC 中，斜边AB=2，则AB 2+BC 2+AC 2= ；
18、若一个正数的两个平方根分别为231a a +-与，则________a = ，这个正数是 。

19、如图，有一圆柱，其高为12cm ，它的底面半径为3cm ，在圆柱下底面A 处有一只蚂蚁，它想得到上面B 处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_____ _ cm 。

（π取3）
20111233+112344+=113455
+=律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来______________________________。

三、解答题（需写出必要的解题过程，共76分）
21、计算（24分）
（1）
32218-+ （2）312732-+
;
（3）2)75)(75(++-
（1）20)21(82
1)73(4--⨯++
22、（10分）已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求13+++
-d c ab 的值。

23、（10分）如图所示，折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，
求CE 的长。

23、（10分）已知12+b 的平方根为±3，123-+b a 的算术平方根为4,求b a 2+的平方根。

25、（12分）一架云梯长25 m ，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C 离墙7 m.
（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m 吗？为什么？
26、（10分）观察下列各式：322322=，833833=，15
441544=） （1）找出规律，再继续写出下面的两个等式。

（6分）
（2）用含字母n （n ≥2的整数）的式子表示以上各式的特点。

（4分）。